Logaritmik ölçek
Bir logaritmik ölçekli bir a, bitirme sistemi içinde geometrik ilerlemesi . Her adım, değeri pozitif bir sabitle çarpar . Bu nedenle, bir değerin eksenindeki konum, logaritması ile orantılıdır .
Logaritmik bir ölçek, uygulamalardaki büyüklük sıralarını hesaplamak için özellikle uygundur . Sıfır olmayan ve aynı işaretli olmaları koşuluyla, küçük bir alanda geniş bir değer aralığını gösterir.
Logaritmik ölçekler, analog hesaplamalar yapmak veya sonuçları grafikler üzerinde sunmak için kullanılır .
Tanım
Logaritmik ölçek, değerleri üssel olarak büyüyen eksene yerleştirir . Aynı mesafeyle ayrılan noktalar, aynı rapordaki değerleri temsil eder.
Logaritmik ölçek yalnızca kesin olarak pozitif değerler için tanımlanır.
Doğrusal ölçek ve logaritmik ölçeğin karşılaştırılması
Yukarıdaki resimde iki tür ölçek gösterilmektedir:
- Doğrusal ölçek ile , farkı 10 olan iki derecelendirme sabit bir mesafede.
- Logaritmik ölçek ile , oranı 10 olan iki derecelendirme sabit uzaklıkta.
Logaritmik ölçekte, büyük sayılar sıkıştırılır, 1'e yaklaştırılır ve kolayca temsil edilirken, 1'den küçük sayılar genişletilir ve çok hızlı bir şekilde negatif sonsuza döndürülür.
Logaritmik birimler
Bazen, değeri bir miktarın iki değeri arasındaki oranın logaritması olan logaritmik birimler kullanılır. Seçilen logaritmik temel , onları kullanan disiplinin alışkanlıklarına bağlıdır:
- doğal logaritma kimin üssü, sıfır , belli hesaplamaları kolaylaştıran ve daha doğrudan sayesinde değerlendirilir Taylor serisi , ancak büyüklük ondalık sırasına sezgisel erişime izin vermiyor. Neper iki güç arasındaki oran doğal logaritmasıdır.
- ondalık logaritma (10 tabanı) doğrudan büyüklük sıralaması fikrini verir, çünkü karakteristik , yani işaret ve virgülden önceki kısım doğrudan verir. Okunabilirliği, değiştirilmiş bir biçimde de olsa , teknolojinin birçok alanında yararlı olmasını sağlar . İstatistikte kullanılır ve kimyada pH'ı tanımlar .
- Desibel yaygın olarak kullanılan, telekomünikasyon , elektronik ve akustik iki güç arasındaki oran 10 katı ondalık logaritmik olarak tanımlanır; ancak logaritma tabloları ve daha sonra, cep hesaplayıcıları ondalık logaritmaya daha kolay erişim sağlamamış olsaydı, desibelin iki üs arasındaki ilişkinin 10 0.1 (veya yaklaşık 1.26) temel logaritması olduğunu kesin bir şekilde söyleyebiliriz . Aslında, bu çarpana bir desibel karşılık gelir.
- Taban 2 logaritma kullanılan işlem ile, bitleri ve müzik ile oktav .
- Benzer şekilde, yarım ton arasında temperli ölçekli bir oktav onikinci bir parçası olan müzik, baz Logaritma 2 1 ÷ 12 arasında (veya 1.06 ile ilgili) frekans .
Logaritmik bir birim olarak derecelendirilen doğrusal bir ölçek, dikkate alınan miktar açısından logaritmik bir ölçeğe eşdeğerdir.
Kullanım
Slayt kural çarpma izin logaritmik ölçek özelliklerinden yararlanır.
Yarı logaritmik çerçevedeki grafikler, birinin doğrusal evrimine (genel olarak, x eksenindeki bağımsız değişken ) ve diğerinin üstel bir evrime sahip olduğu niceliklerin evrimini göstermek için kullanılır .
Örnek: fiyat evrimi:Gelen ekonomi , değerleri uluslararası para birimleri , hisse senetleri , emtia ve diğer ticari ürünlerin tabi fiyat enflasyonu zaman y ekseni içinde yazılı iken, y ekseninde logaritmik ölçekte ve yazılmıştır. Doğrusal x üzerine eksen.
Örnek: Frekans yanıtı:Olarak elektronik , frekans yanıtı özellikle bir sistemin ve filtre , genel olarak bir logaritmik ölçekli bir yarı-logaritmik diyagramında temsil edildiği frekanslarda apsis ve ordinat ekseninde doğrusal bir ölçek üzerinde, mezun desibel , bağıl belirli bir frekansta elde edilen gerilime (örneğin, 1000 Hz ).
Desibel, elektrik voltajı veya voltaj oranları açısından logaritmik bir birim olduğundan, ölçek aynı zamanda logaritmiktir ve bu, Bode Diyagramında , asimptotik grafiklere düz çizgiler halinde izin verir .
Her iki eksendeki logaritmik işaretteki grafikler , bağımlı değişken son derece farklı değerler alabildiğinden, her iki bağımsız değişkeni içeren boyutlar için uygundur. Biri diğerinin yüksekliğiyle bir kuvvetle orantılı olduğunda, grafik, eğimi üsle orantılı olan bir çizgi çizer.
Merdiven yapımı
Gösterilmesi gereken minimum x min ve maksimum x max değerlerini ve bu iki değer arasındaki ölçeğin l uzunluğunu biliyoruz .
Uzunluk l , r = x maks ÷ x min ile çarpmaya karşılık gelir .
Ortaya yerleştirilen nokta x min ve x max ile aynı uzaklıkta . Orta noktaya karşılık gelen değer , uç değerlerin geometrik ortalamasıdır .
Bunu adım adım hesaplamak yerine, logaritmaların temel özelliğini kullanıyoruz:
günlük ( a × b ) = günlük ( a ) + günlük ( b )Logaritmik fonksiyonun karşılıklı fonksiyonu olan üstel fonksiyon sayesinde değerlerin oranlarını hesaplayabiliriz .
Ekseni ihtiyaçlarınıza göre ölçeklendirmek için eksende birim uzunluk başına değer oranını hesaplayabilirsiniz. Birim uzunluk sayısı başına ilerlemenin logaritması basit bir bölümle elde edilir: log ( r ) ÷ l ve ilerlemenin değeri r 1 / l'dir .
Biz mesafe bölmek, bu şekilde, l içine n eşit parçaya, her bir segmente karşılık gelir değerlerinin oranıdır r 1 / n . X min ve x max arasındaki farka karşılık gelen toplam uzunluk böylece r ile çarpmaya iyi bir şekilde karşılık gelirken, her bir parçanın uzunluğu aynı miktarda bir çarpmaya karşılık gelir.
Eşit aralıklı noktalar, geometrik ilerlemedeki değerleri belirtir .
Logaritmik ölçek oluşturma örneği:
- Minimum değer: 0.1
- Maksimum değer: 100
- bağıl sapma: r = 100 ÷ 0.1 = 1000
- eksen uzunluğu: 600 piksel
10'un katlarının gösterilmesini istiyoruz. 1000 oranı için, 600 ÷ 3 = 200 piksel uzunluğunda üç modüle karşılık gelen 10 ile üç çarpma vardır .
Bu modüllerde, her bir değerin konumunu 2'den 9'a kadar belirtmek istiyoruz.
- 2 ile çarpma 0,1 ve 0,2, 1 ve 2, 10 ve 20 arasındaki mesafeye karşılık gelir. Karşılık gelen uzunluk, logaritmada üç kuralıyla elde edilir : 60,2 piksel verir.
- Benzer şekilde, 3 ile çarpma, 0,1 ile 0,3, 1 ile 3 ile 10 ve 30 arasında 95,4 piksel verir. Açıkçası yuvarlamamız gerekiyor.
- Katları kolayca elde edilir: 1 ile 4 arasındaki mesafe, iki çarpımın ikiye bölünmesidir, dolayısıyla 120,4 pikseldir; 1 ile 8 arasında, üç çarpımın ikiyle çarpımı, yani 180.6; 1 ile 6 arasında üçe çarpma ve ikiyle çarpma, yani 95.4 + 60.2 = 155.6 piksel; ve 1 ile 9 arasında, 3 ile iki çarpma veya 190,8 piksel.
- Derecelendirme 5 kolayca elde edilir: iki kere beş on olduğu için, 0,5'ten 1'e, 5'den 10'a, 50'den 100'e kadar olan uzunluk 60,2 pikseldir (bu nedenle 5 ile çarpmanın 200'lük bir uzunluğa karşılık geldiğini not edebiliriz. - 60,2 = 139,8 piksel).
- Logaritmalarda aynı üç kural prosedürü ile yerleştirilecek sadece 7 kalır.
- Bu parçaların uzunluğu çarpmalar için ve ayrıca bölümler için geçerlidir.
- Bir pikselin sağa kayması, exp'de bir artışa karşılık gelir (log (1000) ÷ 600) in 1.0115795
Modüllerin her biri üç kez yeniden üretilir, şekil değişmez, yalnızca noktaların açıklaması değişir.
Not: Hesaplamaların yapıldığı logaritmanın tabanı konu dışıdır.Makineyi hesaplamadan inşaat
- 2'nin kendisiyle on kez çarpılması 1024 değerini verir. Dolayısıyla, ölçeğin iki ucu arasında 0,1'den 100'e kadar 2 ile çarpmaya karşılık gelen parçanın uzunluğunun en yakın% 2'sine on katı vardır ve bu nedenle bu bölüm 600'ü ölçer ÷ 10 ÷ 60 piksel. Bu uzunluk ile 2, 4, 5 ve 8'i yukarıda gösterildiği gibi yerleştirebiliriz.
- 7 × 7 49 veya% 50 ila 2'dir. 100'ün uzunluğu 200 piksel veya 400 piksellik iki modüldür, değeri ikiye bölmek gerektiğinden uzunluğu 2'ye çıkarıyoruz, kalan 339.8; 7'nin değeri yarım ya da 169,9'dur ve 7 × 7 50'den biraz daha az olduğundan 169'a yuvarlanır.
- 3 × 3 9'dur. 8, 3 × 60.2 = 180.6 piksele karşılık gelen uzunluğun, 10, 200 piksele karşılık gelen, 9'a karşılık gelen uzunluğun ikisi arasında olduğunu biliyoruz, (180.6 + 200) ÷ 2 = 190.3; 3'e karşılık gelen yarıdır ve 95'e yuvarlanır.
Belirli bir değer referans olarak alındığında (örneğin, 1), bir sayıyı temsil eden bir noktadan bu değeri temsil eden noktaya olan mesafeye onun logaritmik koordinatı denir .
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar
- Aix-en-Provence Planetaryum : Logaritmalar
- (tr) Yarı günlük boş kağıt