Mükemmel gaz
İdeal gaz a, termodinamik modeli davranışını tanımlayan gerçek gazlar düşük, basınç .
Bu model orta dan geliştirilen XVII inci ortasına yüzyılın XVIII inci yüzyılın ve resmiyete XIX inci yüzyıl. Bütün gazların ifade edilir gaz, kimyasal doğası ne olursa olsun, yeterince düşük bir basınçta bu davranış, doğru eğilimi olan uygun deneysel gözleme dayanmaktadır Avogadro hakları ile , belirtilen 1811 basıncı arasındaki ilişkinin, hacim ve sıcaklık: bu koşullar altında, gazın doğasından bağımsızdır. Bu özellik, basınç düşük olduğunda, gaz moleküllerinin birbirinden yeterince uzakta olması, böylece gazın doğasına (artı veya eksi moleküller) bağlı olan elektrostatik etkileşimlerin ihmal edilebilmesi ile açıklanmaktadır. Daha az polar ) . Pek çok gerçek gaz, normal koşullar altında ideal gaz modeline çok yakındır . Bu, havadaki ana gazlar için durumdur, nitrojen N 2ve oksijen O 2.
İdeal bir gazın tanımı
Makroskopik düzeyde , herhangi bir gazın aynı anda kontrol edilmesi için ideal gaz olarak adlandırılır:
-
Boyle yasası : sabit bir sıcaklıkta, ürün basıncına göre hacim , basınç düşük olduğu zaman, sabitP{\ displaystyle P} V{\ displaystyle V}PV{\ displaystyle PV}
PV=cste{\ displaystyle PV = {\ text {cste}}} sabit sıcaklıkta
Vm=evrensel cste{\ displaystyle V_ {m} = {\ text {evrensel cste}}} verilen basınç ve sıcaklıkta
V1T1=V2T2{\ displaystyle {\ frac {V_ {1}} {T_ {1}}} = {\ frac {V_ {2}} {T_ {2}}}} sabit basınçta
P1T1=P2T2{\ displaystyle {\ frac {P_ {1}} {T_ {1}}} = {\ frac {P_ {2}} {T_ {2}}}} sabit hacimde
-
Dalton yasası : Bir gaz karışımının uyguladığı toplam basınç, her bir gazın tek başına olsaydı uygulayacağı basınçların toplamına, yani kısmi basınçlara eşittir .
Mikroskobik düzeyde, gazların kinetik teorisi, bu ideal gaz davranışını bulmayı mümkün kılar: İdeal bir gaz, molekülleri şoklar dışında birbirleriyle etkileşime girmeyen ve moleküller arası mesafeye göre boyutu önemsiz olan bir gazdır . Bu nedenle ideal gazın enerjisi , moleküllerin kütle merkezinin kinetik enerjisinin ve her molekülün iç enerjisinin (dönme, salınım) toplamıdır . Bu iki enerji orantılı olduğunda, Laplace'ın mükemmel gazına sahibiz .
Durum denklemi: ideal gaz yasası
İfade
Herhangi bir gaza gelince, ideal bir gazın termodinamik denge durumu, istenildiği gibi iki makroskopik parametre ile moleküllerin molleri için sabitlenir . Diğer parametreler , durum denklemi tarafından seçilen iki parametreden hesaplanabilir .
değil{\ displaystyle n}
En yaygın kullanılan denklem ideal gaz denklemidir.
PV=değilRT{\ displaystyle PV = nRT}
Bir birim hacimde bulunan moleküllerin sayısını düşündüğümüz daha mikroskobik bir yaklaşımla bunu farklı şekilde yazabiliriz.
PV=DEĞİLkBT{\ displaystyle PV = Nk_ {B} T}
Termodinamikte yaygın olarak başka bir versiyon kullanılır:
Pv=rT{\ displaystyle Pv = rT}
Bu ifadelerde,
-
P{\ displaystyle P}gaz basıncıdır ( paskal cinsinden );
-
V{\ displaystyle V}bir hacim (gaz tarafından işgal metreküp );
-
değil{\ displaystyle n}olduğu malzeme miktarı (de mol );
-
DEĞİL{\ displaystyle N} parçacık sayısıdır;
-
R{\ displaystyle R}olan İdeal gazların evrensel sabit : = 8.314 462 1 JK -1 mol -1 ; aslında var burada olduğu Avogadro sayısının (6,022 x 10 23 mol -1 ) ve bir Boltzmann sabiti (1.38 x 10 -23 J .K -1 );R{\ displaystyle R}R=DEĞİLAT⋅kB{\ displaystyle R = N_ {A} \ cdot k_ {B}}DEĞİLAT{\ displaystyle N_ {A}}kB{\ displaystyle k_ {B}}
-
T{\ displaystyle T}mutlak sıcaklıktır ( Kelvin cinsinden );
-
v{\ displaystyle v}kitle hacmi (ya da belirli bir hacim), (yoğuniuğu olarak () metreküp başına kilogram ( m, 3 / kg);v=1ρ{\ displaystyle v = {\ frac {1} {\ rho}}}
-
r{\ displaystyle r}gaza bağlı bir sabittir, göz önünde bulundurulan gazın molar kütlesi nerede olduğu aşağıdaki gibi tanımlanır . Hava için, = 8,314472 / (28,965338 × 10 -3 ) ≈ 287 J kg −1 K −1 .r=RM{\ displaystyle r = {\ frac {R} {M}}}M{\ displaystyle M}r{\ displaystyle r}
Türetilmiş Bu denklem daha önce diğer yasaları bulundu: Charles yasası , Boyle yasası ve Gay-Lussac kanunu .
Dijital Uygulama:
- bir atmosfer basıncı için ( = 1.01325 × 10 5 Pa)P=P0{\ displaystyle P = P_ {0}}
- ve 0 ° C'lik bir sıcaklık ( = 273.15 K, altında eriyen buzun sıcaklığı ),T=T0{\ displaystyle T = T_ {0}}P0{\ displaystyle P_ {0}}
molar hacim
V0{\ displaystyle V_ {0}} = 22,413996 (39) L / mol
Genel olarak, yaklaşık değer 22,4 L / mol'dür.
Bu, molekül başına bir hacim verir (boyutuna bakılmaksızın molekül çevresinde "serbest" hacim):
V0DEĞİL{\ displaystyle {\ frac {V_ {0}} {N}}}Bir bir küp için bu boş hacmi asimile, o zaman bu küpün kenar genel olarak her anda moleküller, ayırma ortalama mesafe olan bir aramalar "uzunluğu Loschmidt " . Bu değer, "serbest" birimin kübik köküdür :
d0{\ displaystyle d_ {0}}
d0{\ displaystyle d_ {0}} = 3,3387925 nm
yaklaşık 3,33 nm değeri genellikle kullanılır.
Atmosfer basıncının milyonda birine ( / 1.000.000) eşit bir basınç için , parçacıklar arası mesafe 333 nm = 1/3 mikrometredir ve gazın yapısından bağımsızdır.
P0{\ displaystyle P_ {0}}
Gösteri (istatistiksel mekanik)
bazı tutarsızlıklar
N özdeş parçacıktan oluşan ideal bir gazı düşünüyoruz. Her parçacığın durumu, konumu ve momentumu ile karakterize edilir . Her parçacık, hızının karesiyle orantılı kinetik enerjiye sahiptir , parçacıklar birbirleriyle koruyucu bir şekilde enerji alışverişinde bulunabilirler.
qben{\ displaystyle q_ {i}}pben{\ displaystyle p_ {i}}pben22m{\ displaystyle {\ frac {p_ {i} ^ {2}} {2m}}}
Toplam enerji verildiğinde , o enerji seviyesine karşılık gelen birçok faz alanı konfigürasyonu vardır .
E0{\ displaystyle E_ {0}} (p,q)=(pben,qben)1≤ben≤DEĞİL∈R3DEĞİL×R3DEĞİL{\ displaystyle (p, q) = (p_ {i}, q_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq N} \ in \ mathbb {R} ^ {3N} \ times \ mathbb {R} ^ { 3N}}
Kuantum mekaniği ile tutarlı olması için faz uzayında bir temel hacim tanımlarız , h Planck sabitine eşittir . Bir enerji aralığı verildiğinde, mikroskobik konfigürasyonun sayısı, mikro durum, faz uzayındaki bu enerji aralığının hacminin temel hacme ve parçacıklar arasındaki olası permütasyonların sayısına bölünmesine eşittir , parçacıklar ayırt edilemez.
δqδp=h3DEĞİL{\ displaystyle \ delta q \ delta p = h ^ {3N}}DEĞİL!{\ displaystyle N!}
Arasında bir enerjiye karşılık gelen mikro-sayısı ve isimli
E0{\ displaystyle E_ {0}}E0+dE{\ displaystyle E_ {0} + dE}
Ω(E0)=-deDEĞİLdEE0(E0ε0)3DEĞİL2,{\ displaystyle \ Omega (E_ {0}) = a_ {N} {\ frac {dE} {E_ {0}}} \ sol ({\ frac {E_ {0}} {\ varepsilon _ {0}}} \ doğru) ^ {\ frac {3N} {2}},}ile ve N'nin bir sayı fonksiyonudur.
ε0=π2ℏ22mV2/3{\ displaystyle \ varepsilon _ {0} = {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2mV ^ {2/3}}}}-deDEĞİL{\ displaystyle a_ {N}}
Gösteri
Aradaki enerjiye karşılık gelen mikro durumların sayısını hesaplamaya çalışıyoruz ve bunun için şundan küçük bir enerjiye karşılık gelen mikro durumların sayısını belirleyerek başlıyoruz .
Ω{\ displaystyle \ Omega}E0{\ displaystyle E_ {0}}E0+dE{\ displaystyle E_ {0} + dE}Φ{\ displaystyle \ Phi}E0{\ displaystyle E_ {0}}
Bu sayı , karşılık gelen faz uzayının hacmine eşittir, bu klasik mikro durumları saymayı mümkün kılan temel bir hücreye bölünür (kuantum mekaniğine göre, bu hücreyi Planck sabitine eşit alıyoruz ) ve permütasyon sayısına bölünür. Bu N parçacığının, N !, ayırt edilemezliklerini açıklamayı mümkün kılar (ki bu hala kuantum mekaniğinden kaynaklanmaktadır):
Φ{\ displaystyle \ Phi}δqδp=h{\ displaystyle \ delta q \ delta p = h}
Φ=1h3DEĞİLDEĞİL!∫V,E<E0d3DEĞİLqd3DEĞİLp =1h3DEĞİLDEĞİL!∫Vd3DEĞİLq∫E<E0d3DEĞİLp{\ displaystyle {\ begin {align {align}} \ Phi & = {\ frac {1} {h ^ {3N} N!}} \ int _ {V, E <E_ {0}} d ^ {3N} qd ^ { 3N} p \\\ & = {\ frac {1} {h ^ {3N} N!}} \ Int _ {V} d ^ {3N} q \ int _ {E <E_ {0}} d ^ { 3N} p \ end {hizalı}}}
İlk biz var
∫Vd3DEĞİLq=∏ben=1DEĞİL∭Vdqxdqydqz =(∭Vdqxdqydqz)DEĞİL =VDEĞİL{\ displaystyle {\ başla {hizalı} \ int _ {V} d ^ {3N} q & = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ iiint _ {V} dq_ {x} dq_ {y} dq_ {z} \\\ & = \ left (\ iiint _ {V} dq_ {x} dq_ {y} dq_ {z} \ right) ^ {N} \\\ & = V ^ {N} \ end {hizalı }}}
nereden
Φ=VDEĞİLh3DEĞİLDEĞİL!∫E<E0d3DEĞİLp{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {V ^ {N}} {h ^ {3N} N!}} \ int _ {E <E_ {0}} d ^ {3N} p}
Varsayıldığında, gaz parçacıkları arasında hiçbir etkileşim yoktur, bu nedenle enerji toplam kinetik enerjiye eşittir . E arttığında , darbeler kümesi, 3N boyutunda olan darbelerin uzayındaki başlangıç noktasının merkezini ve yarıçaplı bir topu tanımlar . Bununla birlikte, böyle bir boşluktaki R yarıçaplı bir topun hacmi formdadır . Böylece sahibiz :
E{\ displaystyle E}E=∑benpben22m{\ displaystyle E = \ toplam _ {i} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i} ^ {2}} {2m}}}E0{\ displaystyle E_ {0}}p{\ displaystyle \ mathbf {p}}2mE0{\ displaystyle {\ sqrt {2mE_ {0}}}}ν3DEĞİLR3DEĞİL{\ displaystyle \ nu _ {3N} R ^ {3N}}
∫E<E0d3DEĞİLp=ν3DEĞİL2mE03DEĞİL{\ displaystyle \ int _ {E <E_ {0}} d ^ {3N} p = \ nu _ {3N} {\ sqrt {2mE_ {0}}} ^ {3N}}
Nereden :
Φ=VDEĞİLh3DEĞİLDEĞİL!ν3DEĞİL2mE03DEĞİL=ν3DEĞİLDEĞİL!23DEĞİL(E0ε0)3DEĞİL/2{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {V ^ {N}} {h ^ {3N} N!}} \ nu _ {3N} {\ sqrt {2mE_ {0}}} ^ {3N} = {\ frac {\ nu _ {3N}} {N! 2 ^ {3N}}} \ left ({\ frac {E_ {0}} {\ varepsilon _ {0}}} \ right) ^ {3N / 2}}
İle ( bir kübik kutudaki bir parçacığın temel seviye enerjisi )
ε0=h28mV2/3{\ displaystyle \ varepsilon _ {0} = {\ frac {h ^ {2}} {8mV ^ {2/3}}}}
Mikro durumların enerjideki yoğunluğu bu nedenle
E0{\ displaystyle E_ {0}}
ω(E0)=dΦdE0=32ν3DEĞİL(DEĞİL-1)!23DEĞİL1E0(E0ε0)3DEĞİL/2{\ displaystyle \ omega (E_ {0}) = {\ frac {d \ Phi} {dE_ {0}}} = {\ frac {3} {2}} {\ frac {\ nu _ {3N}} { (N-1)! 2 ^ {3N}}} {\ frac {1} {E_ {0}}} \ left ({\ frac {E_ {0}} {\ varepsilon _ {0}}} \ sağ) ^ {3N / 2}}
Bu nedenle, aranan mikro durumların sayısına sahibiz:
Ω(E0)=ωdE=32ν3DEĞİL(DEĞİL-1)!23DEĞİLdEE0(E0ε0)3DEĞİL/2=-deDEĞİLdEE0(E0ε0)3DEĞİL2{\ displaystyle \ Omega (E_ {0}) = \ omega dE = {\ frac {3} {2}} {\ frac {\ nu _ {3N}} {(N-1)! 2 ^ {3N}} } {\ frac {dE} {E_ {0}}} \ left ({\ frac {E_ {0}} {\ varepsilon _ {0}}} \ sağ) ^ {3N / 2} = a_ {N} { \ frac {dE} {E_ {0}}} \ left ({\ frac {E_ {0}} {\ varepsilon _ {0}}} \ sağ) ^ {\ frac {3N} {2}}}
Gazın entropisini enerjinin bir fonksiyonu olarak çıkarıyoruz:
S=kBgünlükΩ=DEĞİLkBgünlük(E0ε0)3/2+kBgünlükdEE0+kBgünlük-deDEĞİL≈DEĞİLkBgünlük(E0ε0)3/2+kBgünlük-deDEĞİL{\ displaystyle {S = k_ {B} \ log \ Omega = Nk_ {B} \ log \ sol ({\ frac {E_ {0}} {\ varepsilon _ {0}}} \ sağ) ^ {3/2 } + k_ {B} \ log {\ frac {dE} {E_ {0}}} + k_ {B} \ log a_ {N} \ yaklaşık Nk_ {B} \ log \ sol ({\ frac {E_ {0 }} {\ varepsilon _ {0}}} \ sağ) ^ {3/2} + k_ {B} \ log a_ {N}}}
Termodinamik büyüklükler daha sonra aşağıdakilere göre hesaplanır:
1T=(∂S∂E0)V,DEĞİL=3DEĞİLkB2E0{\ displaystyle {\ frac {1} {T}} = \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi E_ {0}}} \ sağ) _ {V, N} = {\ frac {3Nk_ { B}} {2E_ {0}}}}
P=-(∂E0∂V)S,DEĞİL=2E03V=DEĞİLkBTV{\ displaystyle P = - \ sol ({\ frac {\ kısmi E_ {0}} {\ kısmi V}} \ sağ) _ {S, N} = {\ frac {2E_ {0}} {3V}} = {\ frac {Nk_ {B} T} {V}}}
Dolayısıyla yasa aradı:
PV=DEĞİLkBT=değilRT{\ displaystyle PV = Nk_ {B} T = nRT}
Laplace'ın mükemmel gazı
Tanım
Eğer ısı kapasitesi sabit basınçta ideal gazın bağlı değildir , bu nedenle sabit hacimde ısı kapasitesini yapar nedeniyle Mayer'in ilişkisi . Bu nedenle bölüm sıcaklığa da bağlı değildir: bu durumda ideal gaza Laplace adı verilir . Bir Laplace ideal gazı için, herhangi bir dönüşüm için elimizde:
VSP{\ displaystyle C_ {P}}T{\ displaystyle T}VSV{\ displaystyle C_ {V}}γ=VSP/VSV{\ displaystyle \ gamma = C_ {P} / C_ {V}}
ΔU=VSV⋅ΔT{\ displaystyle \ Delta U = C_ {V} \ cdot \ Delta T}
ΔH=VSP⋅ΔT{\ displaystyle \ Delta H = C_ {P} \ cdot \ Delta T}
ile iç enerji gazı ve onun entalpisi dolayısıyla:
U{\ displaystyle U}H{\ displaystyle H}
ΔH=γ⋅ΔU{\ displaystyle \ Delta H = \ gamma \ cdot \ Delta U}Bununla birlikte, entalpi tanımı şunları yazmayı mümkün kılar:
ΔH=ΔU+ΔPV{\ displaystyle \ Delta H = \ Delta U + \ Delta PV}Biz şunu anlıyoruz:
ΔPV=(γ-1)⋅ΔU=γ-1γ⋅ΔH{\ displaystyle \ Delta PV = \ sol (\ gama -1 \ sağ) \ cdot \ Delta U = {\ gama -1 \ \ gama üzerinden} \ cdot \ Delta H}Belirli gazların davranışını modelin belirli değerleri . Tek atomlu ideal bir gaz için şunları elde ederiz:
γ{\ displaystyle \ gamma} γ=5/3{\ displaystyle \ gamma = 5/3}
ΔPV=23⋅ΔU=25⋅ΔH{\ displaystyle \ Delta PV = {2 \ 3'ten fazla} \ cdot \ Delta U = {2 \ 5'ten fazla} \ cdot \ Delta H}Davranışı argon ise tek atomlu ideal bir gaza çok yakındır. İki atomlu ideal gaz için şunları elde ederiz:
γ=7/5{\ displaystyle \ gamma = 7/5}
ΔPV=25⋅ΔU=27⋅ΔH{\ displaystyle \ Delta PV = {2 \ 5 üzerinden} \ cdot \ Delta U = {2 \ 7'den fazla} \ cdot \ Delta H}Dinitrojen N 2'nin davranışı ideal bir diatomik gaza yakındır.
Laplace yasası
Bir in temel tersinir adyabatik dönüşümü :
dU=-PdV=VSVdT{\ displaystyle \ mathrm {d} U = -P \ mathrm {d} V = C_ {V} \ mathrm {d} T}
dH=VdP=VSPdT{\ displaystyle \ mathrm {d} H = V \ mathrm {d} P = C_ {P} \ mathrm {d} T}
Bu yol açar:
dT=-P.dVVSV=V.dPVSP{\ displaystyle \ mathrm {d} T = {- P. \ mathrm {d} V \ over C_ {V}} = {V. \ mathrm {d} P \ over C_ {P}}}
-γ⋅dVV=dPP{\ displaystyle - \ gamma \ cdot {\ mathrm {d} V \ over V} = {\ mathrm {d} P \ over P}}
Ya entegre ederek:
-γ⋅lnVV0=lnPP0{\ displaystyle - \ gamma \ cdot \ ln {V \ over V_ {0}} = \ ln {P \ over P_ {0}}}
P⋅Vγ=P0⋅V0γ=Cste{\ displaystyle P \ cdot V ^ {\ gamma} = P_ {0} \ cdot V_ {0} ^ {\ gamma} = {\ text {Cste}}}
Laplace yasası:
P⋅Vγ=Cste{\ displaystyle P \ cdot V ^ {\ gamma} = {\ text {Cste}}}
İdeal gaz denklemi dikkate alındığında bu ilişki şu şekilde de yazılır:
Tγ⋅P1-γ=Cste{\ displaystyle T ^ {\ gamma} \ cdot P ^ {1- \ gamma} = {\ text {Cste}}}
Bu, adyabatik bir genleşme, hatırı sayılır bir soğuma ile sonuçlanır, gaz , sağladığı işin ( ) iç enerjisini alır .
-W{\ displaystyle -W}
Dijital Uygulama
Tek atomlu ideal gaz için şunları buluyoruz:
γ=53{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {5} {3}}}
25⋅lnPP0=lnTT0{\ displaystyle {\ frac {2} {5}} \ cdot \ ln {\ frac {P} {P_ {0}}} = \ ln {\ frac {T} {T_ {0}}}}Veya% 90'lık bir basınç düşüşü için, 0,398 faktörlük bir mutlak sıcaklık düşüşü. 300 K'den itibaren sıcaklık 120 K'ye, yani 180 K'ye düşer. Bu işlem endüstride düşük sıcaklıklar elde etmek için kullanılır. Bununla birlikte, bu şekilde elde edilen değer gerçeği yansıtmaz, çünkü gerçek gazlar düşük sıcaklıklarda ideal gazlar değildir.
Büyüklük dereceleri için, 300 K'da 2500 J / mol tutulur. Bu genişlemede geri kazanılan iş 2500 · (180/300) = 900 J / mol'dür.
R⋅T≈{\ displaystyle R \ cdot T \ yaklaşık}
Deneyim: boş bir kapta rahatlama
Dikkate değer başka bir yasa, mükemmel bir Laplace gazının boş bir şişeye girmesine izin verildiğinde üretilen ısınmadır. Gaz içeri girer ve sonra çok hızlı bir şekilde her şey kaotik hale gelir: sıcaklık tekdüze hale gelir ve
T=γT0{\ displaystyle T = \ gamma T_ {0}}T0{\ displaystyle T_ {0}}dış sıcaklık olmak. 300 K dış sıcaklık ve tek atomlu ideal gaz için şunları elde ederiz:
T{\ displaystyle T} = 500 K
yani 200 K'lik bir yükseklik Modane rüzgar tünelinde görülebilen budur.
Bu nedenle, iki durumumuz var gaz genişlemesi.
Laplace ideal gazının Carnot çevrimi
Bir Carnot çevrimi İdeal gazın motorlu teoremi, Carnot verimi istediği Carnot olarak sahiptir:
r=1-T2T1{\ displaystyle r = 1 - {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}}}.
Bu durumda her şey kolayca hesaplanabilir. Döngüyü tanımlayalım - logaritmik Clapeyron koordinatlarında ( , ) kolayca çizebiliriz :
günlükV{\ displaystyle \ log V}günlükP{\ displaystyle \ log P}
- Dönüşüm (A → B): düşük sıcaklıkta izotermal sıkıştırma , tersine çevrilebilir: gazın ısınmasını önlemek için , soğuk kaynakta sıcaklığı koruyan bir miktar ısı açığa çıkarmak gerekir .T2{\ displaystyle T_ {2}}-Q2>0{\ displaystyle -Q_ {2}> 0}T2{\ displaystyle T_ {2}}
- Dönüşüm (B → C) Laplace sıkıştırma: sıcaklık yükselir için .T2{\ displaystyle T_ {2}}T1{\ displaystyle T_ {1}}
- Dönüşüm (C → D): yüksek sıcaklıkta izotermal genleşme , tersine çevrilebilir: gazın soğumasını önlemek için, sıcak kaynak bir miktar ısı sağlamalıdır .T1{\ displaystyle T_ {1}}Q1>0{\ displaystyle Q_ {1}> 0}
- Dönüşüm (Cı → A) (C noktası A ile tersinir adyabatik geçen kesiştiği seçildi) tersine çevrilebilir, sızdırmazlık altında gerginliğin sıcaklığın getirir için başlangıç durumuna ve gaz.T1{\ displaystyle T_ {1}}T2{\ displaystyle T_ {2}}
Döngünün sonu.
Gaz başlangıç durumuna döndüğünden beri, termodinamiğin ilk prensibi bize şunu söyler:
W+Q1+Q2=0{\ displaystyle W + Q_ {1} + Q_ {2} = 0}Motorun verimliliği, geri kazanılan işin (bu nedenle eşittir ) sıcak kaynak tarafından iletilen ısı miktarına bölünmesiyle elde edilir, yani :
-W{\ displaystyle -W}Q1+Q2{\ displaystyle Q_ {1} + Q_ {2}}Q1{\ displaystyle Q_ {1}}
r=1+Q2Q1{\ displaystyle r = 1 + {\ frac {Q_ {2}} {Q_ {1}}}}Bunu gösteriyoruz:
Q1T1+Q2T2=0{\ displaystyle {\ frac {Q_ {1}} {T_ {1}}} + {\ frac {Q_ {2}} {T_ {2}}} = 0}nereden :
r=-WQ1=1-T2T1{\ displaystyle r = - {\ frac {W} {Q_ {1}}} = 1 - {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}}}.
Bu da bize açıklanan formülü verir.
Clausius eşitliği :
Q1T1+Q2T2=0{\ displaystyle {\ frac {Q_ {1}} {T_ {1}}} + {\ frac {Q_ {2}} {T_ {2}}} = 0}Döngünün tersine çevrilebilir olmasından kaynaklanır: toplam entropi sabit kalmıştır, gazınki sıfırdır çünkü A durumuna geri dönmüştür.
Kaynak 1 entropisinin kaynak 2'den eşitliğe değiştiğini görmüştür .
-Q1/T1{\ displaystyle -Q_ {1} / T_ {1}}-Q2/T2{\ displaystyle -Q_ {2} / T_ {2}}
Dijital uygulama : 300 K'da nehir suyu ve 600 K'de bir kaplıca alındığında bile verimlilik sadece% 50 olacaktır. Bir Açık giga watt bir “geri dönüşümlü” güç istasyonu tarafından sağlanan elektrik, 2 GW olan 1 (kömür, petrol, metan veya nükleer MOX olarak) tüketilmesi gerekmektedir GW (nehir (sıcaklık yükselmesi) gidecek veya atmosfere dumandan gelen ısı, soğutma kulesinden gelen buhar ). Tüm ısı nehir gelir ve bu gider düşünürsek ikinci 100 bir akıma sahiptir m, 3 , 1 saniye, 10: / s 9 J 100 x 10 ısıtacaktır 6 g (J sıcaklığında 10, yani bir artış: su ) / 4.18 (J / K) = 2.4 K .
6 GW üreten altı tesis , 6 × 2.4 = 14.4 K yükseklik verecektir . Fransa'da bir nehirde 27 ° C'yi aşmak yasaktır (ılıman bölgelerde su yaşamının devamı için yasal zorunluluk): 2003 yazı çok sıcaktı, bazı elektrik santrallerinin kapatılması gerekiyordu. Carnot'un formülüyle hesaplanan bu termal kirlilik ( 2 <0) olabildiğince düşüktür; aslında minimumdur, gerçek termal kirlilik daha yüksektir. Yine bir verim = 0.5 aldık ; gerçek 0,42'ye yakın.
Q{\ displaystyle Q}r{\ displaystyle r}
Joule gevşeme
İşte üçüncü bir örnek, Joule ve Gay-Lussac kenedi : mükemmel gaz bir hacim şişesinde tutulur ve aniden kısmen yutulduğu boş hacimli bir kap ile temas ettirilir . Duvarların herhangi bir ısı absorbe etmediğini varsayarsak, son sıcaklık nedir?
V1{\ displaystyle V_ {1}}V2{\ displaystyle V_ {2}}
İlk olarak, ikinci kapta gaz daha sıcak olmalıdır; eğer çok az olduğunu , yine bulmalıyız 2 deneme göre.
V2{\ displaystyle V_ {2}}V1{\ displaystyle V_ {1}}T2=γ⋅T0{\ displaystyle T_ {2} = \ gama \ cdot T_ {0}}
Hazne 1'de, orada kalan gaz gevşemiş, daha soğuk olmalıdır; gördüğümüz bu. Ancak ideal gaz bir Joule gazı olduğu için ısıl dengeye döndükten sonra sıcaklık değişmez.
İdeal gazın termodinamik özellikleri
İçsel enerji
İç enerji bir belirli bir miktar saf gövdesinin iki bağlıdır bağımsız değişkenler (birini seçer ve bu durumda). Dolayısıyla diferansiyeli şuna eşittir:
T{\ displaystyle T}V{\ displaystyle V}
dU=(∂U∂T)VdT+(∂U∂V)TdV{\ displaystyle \ mathrm {d} U = \ sol ({\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {V} \ mathrm {d} T + \ sol ({\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi V}} \ sağ) _ {T} \ mathrm {d} V}Bununla birlikte, iç enerji , termal ajitasyona karşılık gelen mikroskobik kinetik enerjilerden ve çeşitli bağların ve etkileşimlerin enerjilerine karşılık gelen mikroskobik etkileşim enerjilerinden oluşur. İdeal bir gaz durumunda, tanım gereği, bu son enerjiler sabit kalır (kimyasal veya hatta daha fazla nükleer reaksiyon ve ideal gazın parçacıkları arasında etkileşim yoktur). Termal çalkalama yalnızca bağlı olduğu için , ideal bir gazın iç enerjisinin yalnızca bağlı olduğu sonucu çıkar .
T{\ displaystyle T}T{\ displaystyle T}
Yani mükemmel bir gaz için
(∂U∂V)T=0{\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi V}} \ sağ) _ {T} = 0}Ve anlıyoruz
dU=(∂U∂T)VdT{\ displaystyle \ mathrm {d} U = \ sol ({\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {V} \ mathrm {d} T}Altın
(∂U∂T)V=VSV{\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {V} = C_ {V}}(
ideal gazın
izokorik ısı kapasitesi ).
Şöyledir:
dU=(∂U∂T)VdT=VSVdT{\ displaystyle \ mathrm {d} U = \ sol ({\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {V} \ mathrm {d} T = C_ {V} \ mathrm {d} T}
Benzer şekilde, aynı nedenden ötürü, ideal bir gazın entalpisi yalnızca T'ye bağlıdır :
H=U+PV{\ displaystyle H = U + PV}ideal bir gazın molü
için altındeğil{\ displaystyle n}
PV=değilRT{\ displaystyle PV = nRT}Bu nedenle
H=U+değilRT=f(T){\ displaystyle H = U + nRT = f (T)} U sadece T'ye bağlı olduğundan
Entalpi diferansiyeli, bağımsız değişkenler sisteminde (bu durumda T, P) şuna eşit olacaktır:
dH=(∂H∂T)PdT+(∂H∂P)TdP{\ displaystyle \ mathrm {d} H = \ sol ({\ frac {\ kısmi H} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {P} \ mathrm {d} T + \ sol ({\ frac {\ kısmi H} {\ kısmi P}} \ sağ) _ {T} \ mathrm {d} P}ile
ve
( Isobaric ısı kapasitesi ve doğru gaz).
(∂H∂P)T=0{\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ kısmi H} {\ kısmi P}} \ sağ) _ {T} = 0}(∂H∂T)P=VSP{\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ kısmi H} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {P} = C_ {P}}
Şöyledir:
dH=(∂H∂T)PdT=VSPdT{\ displaystyle \ mathrm {d} H = \ sol ({\ frac {\ kısmi H} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {P} \ mathrm {d} T = C_ {P} \ mathrm {d} T}Entropi
Tanım olarak, entropi diferansiyeli aşağıdaki ilişki ile ifade edilir:
dS=δQT{\ displaystyle \ mathrm {d} S = {\ frac {\ delta Q} {T}}}İlk prensibi uygulayalım :
dU=δQ-PdV{\ displaystyle \ mathrm {d} U = \ delta QP \ mathrm {d} V} (iş sadece basınç kuvvetlerinden kaynaklanmaktadır)
δQ=dU+PdV{\ displaystyle \ delta Q = \ mathrm {d} U + P \ mathrm {d} V}
nereden :
dS=dUT+PTdV{\ displaystyle \ mathrm {d} S = {\ frac {\ mathrm {d} U} {T}} + {\ frac {P} {T}} \ mathrm {d} V}İdeal bir gaz durumunda, iç enerji yalnızca T'ye bağlıdır.
dU=VSVdT{\ displaystyle \ mathrm {d} U = C_ {V} \ mathrm {d} T}
PV=değilRT{\ displaystyle PV = nRT} ve
PT=değilRV{\ displaystyle {\ frac {P} {T}} = {\ frac {nR} {V}}}
takip eder:
dS=VSV⋅dTT+değilR⋅dVV{\ displaystyle \ mathrm {d} S = C_ {V} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} T} {T}} + nR \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} V} {V}} }2 durum arasında entegrasyon yoluyla ve :
(T1,V1){\ displaystyle (T_ {1}, V_ {1})}(T2,V2){\ displaystyle (T_ {2}, V_ {2})}
ΔS=S2-S1=VSV⋅∫T1T2dTT+değilR⋅∫V1V2dVV{\ displaystyle \ Delta S = S_ {2} -S_ {1} = C_ {V} \ cdot \ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} T} {T}} + nR \ cdot \ int _ {V_ {1}} ^ {V_ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} V} {V}}}ΔS=S2-S1=VSV⋅lnT2T1+değilR⋅lnV2V1{\ displaystyle \ Delta S = S_ {2} -S_ {1} = C_ {V} \ cdot \ ln {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} + nR \ cdot \ ln {\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}}}İlişkileri iç enerji yerine entalpi ile kurmak mümkündür :
H=U+PV{\ displaystyle H = U + PV}
dH=dU+d(PV)=δQ-PdV+PdV+VdP=δQ+VdP{\ displaystyle \ mathrm {d} H = \ mathrm {d} U + \ mathrm {d} (PV) = \ delta QP \ mathrm {d} V + P \ mathrm {d} V + V \ mathrm {d} P = \ delta Q + V \ mathrm {d} P}
nereden
δQ=dH-VdP{\ displaystyle \ delta Q = \ mathrm {d} HV \ mathrm {d} P}dS=δQT=dHT-VTdP{\ displaystyle \ mathrm {d} S = {\ frac {\ delta Q} {T}} = {\ frac {\ mathrm {d} H} {T}} - {\ frac {V} {T}} \ mathrm {d} P}İdeal bir gaz için entalpi yalnızca T'ye bağlıdır.
dH=VSPdT{\ displaystyle \ mathrm {d} H = C_ {P} \ mathrm {d} T}
PV=değilRT{\ displaystyle PV = nRT} ve
VT=değilRP{\ displaystyle {\ frac {V} {T}} = {\ frac {nR} {P}}}
nereden :
dS=VSP⋅dTT-değilR⋅dPP{\ displaystyle \ mathrm {d} S = C_ {P} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} T} {T}} - nR \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} P} {P}} }Benzer şekilde, 2 durum arasında entegre edilerek ve :
(T1,P1){\ displaystyle (T_ {1}, P_ {1})}(T2,P2){\ displaystyle (T_ {2}, P_ {2})}
ΔS=S2-S1=VSP⋅lnT2T1-değilR⋅lnP2P1{\ displaystyle \ Delta S = S_ {2} -S_ {1} = C_ {P} \ cdot \ ln {\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} - nR \ cdot \ ln {\ frac {P_ {2}} {P_ {1}}}}İdeal bir gazın entropisinin değerini belirlemek için, termodinamik tablolarda kaydedilen bir referans değeri, örneğin (S 1 ) bilmek yeterlidir .
Serbest entalpi
Tek atomlu ideal bir gaz için, serbest entalpi değerinin korunması tercih edilir.
G(T,P,DEĞİL)=U+PV-TS{\ displaystyle G (T, P, N) = U + PV-TS}
G(T,P,DEĞİL)=-DEĞİLkBTlnPP0{\ displaystyle G (T, P, N) = - Nk_ {B} T \ ln {\ frac {P} {P ^ {0}}}}
ile
P0(T)=kTλ3{\ displaystyle P ^ {0} (T) = {\ frac {kT} {\ lambda ^ {3}}}}burada bir Broglie dalga boyu ; o verilir nerede olduğunu Planck sabiti ve bir ivme :
λ{\ displaystyle \ lambda}h/pm{\ displaystyle h / p_ {m}}h{\ displaystyle h}pm{\ displaystyle p_ {m}}
pm=2πmkT{\ displaystyle p_ {m} = {\ sqrt {2 \ pi mkT}}}Daha sonra tablolarda verilen tüm değerleri buluruz (örneğin argon, neon…). İki atomlu gazlar için hesaplamalar pek de karmaşık değildir.
Isı kapasiteleri, Mayer'in ilişkisi
Isı kapasitesi, ideal bir gazın sabit hacimde olan
VSV=(∂U∂T)V{\ displaystyle C_ {V} = \ sol ({\ frac {\ kısmi U} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {V}}Aynı şekilde, ideal bir gazın sabit basıncındaki ısı kapasitesi:
VSP=(∂H∂T)P{\ displaystyle C_ {P} = \ sol ({\ frac {\ kısmi H} {\ kısmi T}} \ sağ) _ {P}}Mayer ilişki mol ısı kapasitesi C arasındaki bir ilişkidir s, m , C V, m İdeal bir gazın,.
H=U+PV{\ displaystyle H = U + PV}dH=dU+d(PV)=dU+d(değilRT){\ displaystyle \ mathrm {d} H = \ mathrm {d} U + \ mathrm {d} (PV) = \ mathrm {d} U + \ mathrm {d} (nRT)}değilVSP,mdT=değilVSV,mdT+değilRdT{\ displaystyle nC_ {P, m} \ mathrm {d} T = nC_ {V, m} \ mathrm {d} T + nR \ mathrm {d} T}Nereden
VSP,m-VSV,m=R{\ displaystyle C_ {P, m} -C_ {V, m} = R}Genleşme l' nin gizli ısısını, genleşmenin gizli ısı transferini veren Clapeyron formülünü uygularsak ( bkz.Kalorimetrik ve termoelastik katsayılar ) ve izokorik basınçtaki bağıl artışın katsayısı the'nin doğruladığını buluruz:
βT=1{\ displaystyle \ beta T = 1},
bu nedenle:
U(V,T){\ displaystyle U (V, T)}hacme bağlı değildir: ideal bir gaz bir
Joule gazıdır ,
U=U(T){\ displaystyle U = U (T)}
ve entalpi:
H(P,T)=U+PV=U+değilRT{\ displaystyle H (P, T) = U + PV = U + nRT}bu nedenle şunlara bağlı değildir : ideal bir gaz bir
Joule-Thomson gazıdır (bkz.
Joule yasaları ).
P{\ displaystyle P}
Mükemmel gaz ve gazların kinetik teorisi
İdeal gazlar, gazların kinetik teorisi olarak bilinen ve onları yöneten fiziksel yasaları açıklayan bir teorinin konusudur .
Mükemmel gaz karışımı
İdeal gazların bir karışımı için, Dalton yasasına sahibiz :
P=∑benPben{\ displaystyle P = \ toplam _ {i} P_ {i}}burada belirtmektedir kısmi basıncı gaz i , gaz bu basınçta tutulmuştur I olurdu tek başına bütün hacmini işgal etmişse.
Pben{\ displaystyle P_ {i}}
Bir hacim kaplayan ideal bir A molekülleri gazı ve bir bölme ile ayrılmış hacimde B moleküllerinden oluşan ideal bir gaz olsun . Denge içindedirler (aynı sıcaklık ve aynı basınç ). Bölmenin çıkarılmasıyla elde edilen karışımın aynı basınç ve aynı sıcaklık için aynı basınçta, aynı sıcaklıkta ve aynı hacimde bir sistem olduğu hiç de açık değildir . Karşılaştırmak gerekirse, 1 L su ve 1 L alkolü karıştırırsak 1,84 L alkollü su elde ederiz; kuşkusuz bunlar ideal gazlar değildir, ancak bu özelliklerin her zaman katkı maddesi olmadığını gösterir.
V1{\ displaystyle V_ {1}}V2{\ displaystyle V_ {2}}T{\ displaystyle T}P0{\ displaystyle P_ {0}}V1+V2{\ displaystyle V_ {1} + V_ {2}}
Gazların kimyasal olarak nötr olduğunu, yani A ve B moleküllerinin etkileşmediğini düşünelim : önceki paragrafa göre:
-
Bir sonra gelen bir Joule gevşeme maruz için “görmek” değildir, çünkü B (herhangi bir etkileşim);V1{\ displaystyle V_ {1}}V1+V2{\ displaystyle V_ {1} + V_ {2}}
- simetrik, B adlı bir Joule gevşeme maruz için .V2{\ displaystyle V_ {2}}V1+V2{\ displaystyle V_ {1} + V_ {2}}
Böylece sıcaklık değişmemiştir ve duvarlardaki basınç A ve B'den kaynaklanmaktadır , yani:
PAT=P0(V1V1+V2){\ displaystyle P_ {A} = P_ {0} \ sol ({\ frac {V_ {1}} {V_ {1} + V_ {2}}} \ sağ)}A'nın katkısı için ,
PB=P0(V2V1+V2){\ displaystyle P_ {B} = P_ {0} \ sol ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1} + V_ {2}}} \ sağ)}katkı için B .
Toplam baskı şudur : baskı değişmedi, bu nedenle Mariotte yasası geçerliliğini koruyor. Öte yandan "karıştırılarak bilgi kaybı" yaşandı, bu Gibbs teoremi ile ilgili .
PAT+PB=P0{\ displaystyle P_ {A} + P_ {B} = P_ {0}}
Arasında etkileşim varsa , A ve B , iç enerji basitçe ait olduğunu A artı o B Joule yasası geçerliliğini korumaktadır. Böylece karışım ideal bir gaz gibi davranır.
İki Laplace İdeal gazların karışımı olan faktör γ y ağırlıklı ortalama olmayan bir Laplace ideal gaz, ama: bunlar ve bu ağırlıklı ortalamasıdır.
VSV{\ displaystyle C_ {V}}VSP{\ displaystyle C_ {P}}
Bir karışımın entropisi, kısmi basıncı altında alınan gazların her birinin entropilerinin toplamıdır (cf. Gibbs teoremi ). Bu nedenle ideal bir gaz karışımı ideal bir çözümdür . Bu nedenle, ideal gaz karışımının özellikleri, saf ideal gazlar halindeki bileşenlerinin özelliklerinden kolayca hesaplanır.
Mükemmel gazın ötesinde
Gerçek gaz
Düşük basınçta, tüm gazlar ideal bir gaz olarak modellenebilir. Basınç arttığında, kısa menzilli etkileşimleri, özellikle de van der Waals tipi moleküllerin boyutunun etkisini ve etkileşimlerini artık ihmal edemeyiz .
Gerçek bir gazın, moleküller arası mesafelerin moleküllerin boyutuna ve etkileşim kuvvetlerinin aralığına kıyasla büyük olduğu durumda ideal gaza yakın bir davranışı vardır. "Gerçek gazla ilişkili" ideal gaza, sabit basınçta ısı kapasitesi sıfır basınçta gerçek gazınki olan ideal gaz denir . Bu bağlantılı ideal gaza yapılan düzeltmelerden gerçek bir gazın termodinamik tablolarını oluşturuyoruz.
VSP(p=0,T){\ displaystyle C_ {P} (p = 0, T)}
Kuantum mükemmel gaz
Yüksek yoğunluklar sınırı dahilinde, atomların veya gaz moleküllerinin kuantum doğası hesaba katılmalıdır. Klasik modelin ancak atomlararası mesafe Broglie dalga boyundan çok daha büyükse geçerli olduğunu bir kriter olarak verebiliriz.
d=V/DEĞİL3≫λ=h/p{\ displaystyle d = {\ sqrt [{3}] {V / N}} \ gg \ lambda = h / p}.
Göreceli mükemmel gaz
Göreli ideal gaz, ideal gazın, gaz parçacıklarının ışığınkine yakın hızlara sahip olduğu durumlara bir genellemesidir. Daha sonra , gazın farklı özelliklerinin hesaplanmasında göreliliğin etkilerini hesaba katmak gerekir . Bu nedenle, ideal gaz yasası geçerliliğini sürdürürse, enerji ve özgül ısı göreceli etkilerle değiştirilir.
Notlar ve referanslar
-
2003 Avrupa sıcak hava dalgası makalesine bakın .
-
Aslında, oldu Hirn içinde 1856 gerçekten deneysel uygulamadan başardı.
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">