Gradyan a Çok değişkenli fonksiyonu belirli bir en alanına a, vektör , bu fonksiyonun değişkenliği karakterize civarı bu noktanın. Fonksiyonun türevlenebilir olduğu herhangi bir noktada tanımlandığında, gradyan olarak da adlandırılan bir vektör alanını tanımlar . Gradyan, tek bir değişkenli bir fonksiyonun türevinin birkaç değişkenine genelleştirmedir .
Olarak fizik ve vektör analizi , gradyan bir işaret eden bir vektördür fiziksel bir miktar değişir alanı . Gradyan, ilk kullanıldığı yerde fizikte büyük önem taşır. Varyasyon teorisinde kullanıldığında, optimizasyon veya kısmi diferansiyel denklemlerin çözünürlüğü alanında da temeldir . Daha matematiksel bir tanım vermeden önce bazı örnekler görmek ilginç olabilir.
İçinde yer bilimleri , gradyan bir parametrenin her yöne varyasyonu için kullanılan litosferleri , hidrosferi , atmosfer veya biyosferdeki . Bununla birlikte, bir yanlış adlandırma yoluyla , terim, fiziksel bir miktarın dikey türevinde olduğu gibi, bileşen için genellikle tek bir yönde kullanılır, yani koordinata göre türevi (yükseklik veya derinlik). Jeotermal gradyan , örneğin türevi ile birleştirir (burada belirtmektedir sıcaklığı ).
Bir de Kartezyen koordinat sistemi , bir fonksiyonun gradyanı bileşenlerinin vektörü olup, kısmi türev arasında f koordinatları ile ilgili olarak.
Ortonormal bir referans çerçevesinde , gradyan vektörü fonksiyonun en hızlı büyüdüğü yönü işaret eder ve modülü o yöndeki büyüme oranına eşittir.
Gradyanın bileşenleri, grafiğe teğet uzayın denklemindeki değişkenlerin katsayılarıdır. Bu özellik, koordinat sisteminin seçiminden bağımsız olarak, bileşenleri bir koordinat sisteminden diğerine geçerken dönüştürülen bir vektör alanı olarak tanımlanmasına izin verir.
Gradyanın, vektör değerli çeşitli değişkenlerin fonksiyonlarına ve Öklid uzayları arasındaki türevlenebilir haritalara genelleştirilmesi Jacobian'dır . Arasında fonksiyonlara genelleme Banach boşluklar olan Frechet türevi .
Bir fonksiyonun gradyanı genellikle veya ( nabla ) ile gösterilir .
İngilizce veya Fransızca literatürde tipografik kolaylık için , gradyan sembolünün vektör karakterini göstermek için kalın yazılması sıklıkla tercih edilir : veya ∇ f .
Sıcaklık gradyanı veya termal gradyan , uzaysal koordinatların bir fonksiyonu olan sıcaklık gradyanıdır .
Aynı sıcaklığa sahip olmayan iki duvar arasına düz bir kiriş yerleştirdiğimizi varsayalım, sol duvar en soğuk olanıdır. Kirişin sıcaklığının sabit olmadığı ve soldan sağa doğru artan bir şekilde değiştiği görülmektedir. Bu termodinamik fenomen ile , kendisi bir sıcaklık gradyanına, yani sıcaklık ışını boyunca bir varyasyona bağlı olan bir ısı akışı fenomeni ilişkilendirilir, bkz. Isıl iletim, Fourier yasası .
Kirişin sol ucundan apsis x = 0 ile başlayıp, apsis x = L (kirişin uzunluğu) için kirişin diğer ucuna ulaşırsak, T yazdığımız bir x noktasındaki sıcaklığı tanımlarız. ( x ) . T sıcaklığının x'in bir fonksiyonu olduğu söylenir .
Δ x uzunluğuyla ayrılmış iki yakın nokta arasında , sıcaklık farkı δ T ölçülür . Genel anlamda, gradyan (sıcaklık) tam olarak bu iki miktar arasındaki orandır.
Bu miktar bir sınır kabul halinde analitik (matematiksel) anlamda, gradyan söz δ x 0 eğilimi gösterir, sınır belirtildiği
ÖzellikleriGerçekte, kirişin sıcaklığı uzaydaki bir yer değiştirmeye göre değişir. Uzaydaki bir noktayı, M'yi koordinatlarının bir fonksiyonu olarak nitelendiriyoruz . Daha önce olduğu gibi, sıcaklığı bir fonksiyon olarak tanımlıyoruz: T ( x, y, z ) .
Bu yönlerin her biri için kısmi adı verilen bir varyasyon yazabiliriz. 3B'de iken, bir kişi yalnızca bir eksene göre, örneğin koordinatlara göre y hareket ederse, daha önce sıcaklık artışında olduğu gibi aynı formül yeniden yazılabilir. Bununla birlikte, varyasyonu işaretlemek için, tek boyutlu türev (düz olarak bilinir) yerine kısmi türevde ("yuvarlak" olarak bilinir) yazıdan geçer. Örneğin, y boyunca varyasyonu yaklaşık olarak yazıyoruz (birinci derece olarak adlandırılır):
Bir nokta kirişin hareket M bir nokta için , M ' da vektörünü tanımlamak, öyle ki:
.Kaynaktan M için M ' , sıcaklık gider T ( x , y , z ) için T ( x + s x , y + h y , z + H z ) . İlk yaklaşım olarak, bu varyasyon doğrusal bir fonksiyondur ve bileşenlerin her biri ile ilgili varyasyonların toplamı olarak ifade edilir.
Daha sonra sıcaklık gradyanı adı verilen bir vektör oluşturuyoruz
Bunun gerçekten bir vektör olduğuna dikkat edin. Bu durumda, önceki ilişkiyi formda yeniden yazabiliriz
burada " " olağan iç çarpımdır ve sembol , kalan terimin göz ardı edilebilir olduğu anlamına gelir .
ÖzellikleriBir varyantı olan diferansiyele gelince , gradyan, diferansiyel elementlerin kelime dağarcığı ile tanıtılabilir. Örnek olarak, bir dikdörtgenin alanının değişimi problemini inceliyoruz.
Düzlemde ( x O y ), kenarları x ve y olan bir dikdörtgen düşünün . Bu alan eşittir xy bağlıdır ve X ve Y koordinatları , sezgisel bir yaklaşım takip ederek noktası M., biz ile göstermelidir d x değişkeni çok küçük bir varyasyon x . M noktasında çok zayıf bir yer değiştirme yapıldığında, yüzey değişecek ve bunu yazabilir:
Bunu kolayca çıkarabiliriz
X ve y'nin metre ve d x ve d y'nin santimetre olduğu basit bir sayısal uygulama , d x d y'nin diğer miktarlara kıyasla ihmal edilebilir olduğunu gösterir.
D x ve d y gösterimlerine ( diferansiyel formlardır ) ve o zaman ikinci mertebeden olan d x d y miktarına kesin bir matematiksel durum verebiliriz . Önceki hesaplama aslında , iki değişkene göre xy fonksiyonunun ilk türevlerini içeren, 1. sırayla sınırlı bir geliştirme hesaplamasıdır .
Bu nedenle şunu yazıyoruz:
.Bu eşitliklerin tümü, iki vektörün bir iç çarpımını yazmanın farklı yollarıdır:
veya
.Çeşitli parametrelerin bir fonksiyonunun varyasyonunu ifade etmek için bu vektörlerin eklenmesinin amacı, fonksiyonun gradyan vektörü yönünde en fazla değişeceği ve bir yöndeki herhangi bir değişiklik parametresi için değişmeyeceği gerçeğini görselleştirmektir. gradyana dik.
için: dikdörtgen örneğimizde.Bu, aynı potansiyele sahip elektrostatik eğrileri verecektir: "eşpotansiyel".
Ya da E bir Öklid vektör alanı ve iki U bir açık ve E . Türevlenebilir bir fonksiyon olalım . Her iki durumda olan bir eleman U . Daha sonra ifade diferansiyel olarak bir üzerinde bir lineer şeklidir, E . Biz göstermek bir vektörün farkı ile görüntü u arasında E .
Varlık ve benzersizlikBenzersiz bir vektör söz konusudur A böyle herhangi vektörü için u arasında E , biz kaydetti çarpımı kendi içinde E .
Vektör bir gradyan olarak adlandırılır f için bir ve ifade edilir . Bu nedenle şunları kontrol eder:
Kanonik ifade (kısmi türevler)Gradyanın kendisi bir E vektörü olduğu için , onu bu vektör uzayının birimdik tabanında ifade etmeye çalışmamız doğaldır . Formda kısmi türevler kullanılarak ifade edildiğini kanıtlıyoruz
Örneğin, 3. boyutta şunu elde ederiz:
Baz değişikliğiBir baz değişikliği sırasında, bir Cı yoluyla 1 - Diffeomorfizm arasında E , gradyan yazma baz değişiklikleri için olağan kurallarını takip eder.
Dikkat, Kartezyen notasyonlarda (kanonik) yazılan bir fonksiyonun ifadesi için taban değişikliği ile başka bir gösterime uyarlanmış gradyan yazımı birbirine karıştırılmamalıdır. Örneğin, kutupsal koordinatlarla ifade edilen bir fonksiyon için, kutupsal apsis ( r ) ve argüman ( θ ) f (r, arg) 'nin bir fonksiyonu olarak açıklanan bir fonksiyondan başlayarak gradyanın "kutupsal" yazımını hesaplıyoruz .
tip vektörler kutupsal koordinatlarda özvektörlerdir
Burada fizikçilerin klasik notasyonlarını alacağız (bkz. Küresel koordinatlar )
Be Hilbert (sonlu boyutlu veya değil) bir alan, U açık H ve f bir uygulama , U bir noktasında türevlenebilir ℝ içinde, a ve U . Diferansiyel varlık, tanımı gereği, bir sürekli doğrusal bir şekilde , H , daha sonra, aşağıdaki Riesz temsil teoreminden bir (tek) vektör var olduğu H , belirtildiği şekilde,
Vektör olarak adlandırılır gradient f için bir .
O zaman kesinlikle yönde büyürse , yani herkes için yeterince küçük olduğunu gösteriyoruz .
Gradyan ve Riemann çeşitliliğiBu tanımı, bir Riemann manifoldunda ( M , g ) tanımlanan türevlenebilir bir fonksiyona genişletebiliriz . Gradyanı f de bir daha sonra, manifold bir teğet vektörüdür bir ile tanımlanan,
.Son olarak, ön bir koordinat sisteminin bir skaler alan bağımsız bir tensör 0 sırası ve onun kısmi türevi, eşit bildirdiğinden türevi : . Zıt koordinatlarda, f'nin gradyanı adı verilen vektör alanını hesaplıyoruz :
Bu formül, metrik tensörü oluşturduktan sonra , herhangi bir koordinat sistemindeki gradyanı kolayca hesaplamaya izin verir .
Bir uygulama bir noktada bir gradyan kabul ederse, o zaman birinci dereceden bu sınırlı genişletmeyi yazabiliriz.
Sayısal olarak, gradyanın değerini elde etmek için iki gelişmenin yarı farkını yapmak çok ilginçtir ve bunun aslında x : f ( x noktasındaki fonksiyonun değerine bağlı olmadığına dikkat edilmelidir). ) . Bu formül alma avantajı 2 nci sırası dikkate gradyanlar ve bu nedenle çok daha hassas ve sayısal olarak sağlamdır. Pratikte varsayım, fonksiyonun x noktasının küçük bir mahallesi etrafındaki "geçmiş" ve "gelecek" değerlerini bilmektir .
Klasik olarak, gradyanın ilginç geometrik özelliklerle 2B ve 3B ile sonuçlanan “seviyeye normal eğrileri” tanımlamayı mümkün kıldığını biliyoruz. Teğetlik özelliği dışbükeylik / içbükeylik ile bağlantılı olduğundan, gradyan ve dışbükeylik arasında var olan bağlantıyı her zaman 2B veya 3B olarak görmek ilginçtir.
Biz düşünün sürekli türevlenebilir. Izin vermek f ( u ) = k denklemiyle tanımlanan bir eğri olsun , burada k bir sabittir. Daha sonra, bu eğrinin belirli bir v noktasında , eğer varsa ve sıfır değilse gradyan, bu v noktasındaki eğriye normalin yönünü verir . Eğrisine hattı teğet gradyanı, daha sonra dikey olan ve içinden geçer , v .
Görüntü işlemeye uygulamaBir görüntü aslında p ( x , y ) olarak belirtilen iki değişkenli bir fonksiyondur , x ve y'nin her bir tamsayı değeri görüntünün bir pikselini oluşturur ve p ( x , y ) alınan değerin "gri seviyesi" olarak adlandırılır. görüntü. siyah beyaz bir görüntü için piksel. Pratikte, p fonksiyonu analitik olmasa ( p genel olarak bilinmemektedir) ve belki de ilgili noktada (piksel) türevlenebilir olmasa bile "eğriye teğet doğruyu" tahmin etmek önemlidir . Bu sayısal iki gradyanlar ifade edilmiş hesaplamak GX ve gy , aşağıdaki x ve y formülleri, örneğin 2 , e resimde bir gürültü olduğunda kabul hesaplama ve kuvvet için sadece 2 piksel her kullanmak için.
P işlevi analitik olmadığından ve yalnızca ayrı noktalarda (komşu pikseller) bilinen bir sayısal değere sahip olduğundan, görüntünün bu gradyanlarını mümkün olan en iyi şekilde tahmin etmek için çeşitli formüller kullanılabilir. Örneğin, görüntünün diğer piksellerinin yakınlığını (3'e 3 veya 9 piksel ve tümü) kullanarak merkezde bulunan ilgilenilen pikselin gx ve gy gradyanlarını şu kurallarla değerlendirmeye izin veren Prewitt filtresinden alıntı yapabiliriz : filtrelenmiş.
Belirli bir görüntüde güçlü gradyanlara sahip pikselleri konumlandıran bunlar, yer işaretleri olarak hizmet edebilir, yani uzayda konumlandırılmasına izin veren belirli tanınabilir noktalar (örneğin bir haritada belirtilmiştir), aksi takdirde navigasyonunu yeniden ayarladığı söylenebilir. Gx ve gy gradyanları bir yön oluşturur (aslında bir vektördür) ve ayrıca açısal bilgilerimiz de vardır: örneğin hava dronlarının pilotajı için çok yararlı olan atış açılarını yeniden ayarlamak mümkündür.
Devamlı farklılaştırılabilir bir uygulama olalım . Izin vermek f ( u ) = k denklemi ile tanımlanan bir yüzey olsun , burada k bir sabittir. Daha sonra, bu yüzeyin belirli bir v noktasında , eğer varsa ve sıfır değilse gradyan, bu v noktasında yüzeye normalin yönünü verir : yüzeye teğet düzlem daha sonra gradyan ile ortogonaldir ve içinden geçer. v .
Sürekli türevlenebilir ( örneğin) bir uygulama düşünün . Harita halinde olan tekdüze (sırasıyla. Kesin monoton), daha sonra f isimli dışbükey (sırasıyla. Kesinlikle konveks). Yani, dize karakterizasyonu kullanarak:
Bu özellik ilginçtir çünkü f iki kez türevlenebilir olmadığında bile geçerli kalır .
Eğer f iki kez türevlenebilirse, Hessian pozitiftir ancak ve ancak gradyan monotonsa.
1. boyut durumuYukarıda tanımlandığı gibi monotonluk, olağan anlamda artan veya azalan bir işlevi tanımlamayı mümkün kılar. İlk durumda, bir içbükey işlevin ikincisinde bir dışbükey işlevden söz ediyoruz .
Fonksiyon iki kez türevlenebilirse, türevin (dolayısıyla gradyanın) büyümesi, ikinci türevin (Hessian'ın eşdeğeri) pozitifliği ile sağlanır.
İn Vektör analizi , gradyan başka operatörler ile kombine edilebilir. F , her bir parametreye göre C 2 sınıfından olduğunu düşündüğümüz bir skaler alanı tanımlayan bir fonksiyon olsun , o zaman:
; ; .