n- küre
İn geometrisi , hiperküredir bir genellemedir küre a Öklid alan arasında bir boyut . Bu, manifoldun en basit örneklerinden birini oluşturur ve n veya n- küre boyutunun küresi , daha kesin olarak , genel olarak belirtildiği gibi , Öklid uzayının bir hiper yüzeyidir .
Rdeğil+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}Sdeğil{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
Tanım
Let E olması bir Öklid boşluk boyut , n + 1, bir noktası E ve R bir kesinlikle pozitif gerçek sayı . Hipersilindir merkezi olarak adlandırılan bir ve yarıçap R noktaları kümesi M mesafesi A olan R ' .
Afin bir ortonormal koordinat sistemi verildiğinde , geometrik özelliklerde hiçbir şey değiştirmeyen bir öteleme yapmak anlamına gelse bile , başlangıç noktasında ortalanmış ve denklemi daha sonra yazılan bir hiperküre indirgemek mümkündür.
∑ben=1değil+1xben2=R2{\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}.
Örneğin :
- durum için , n = 0, hiperküredir iki ilgili absis noktasından oluşur R ve - R ;
- durum için , n = 1, hiperküredir a, daire ;
- durum için n = 2, hiperküredir bir olan küre olağan anlamda.
(Bu şekilde tanımlanan hiper yüzeyin parametrelendirilmesi için bkz. " Hipersferik koordinatlar ".)
Özellikleri
Ses
Hacmi (ya da, daha doğrusu, Lebesgue ölçümü boyutlu bir hiperkürenin tarafından sınırlanmış alan) n- 1 - ve yarıçap R ' a,, Öklid top boyutunun , n eşittir:
Vdeğil=πdeğil/2RdeğilΓ(değil/2+1){\ displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ \ Gama üzerinden (n / 2 + 1)}},
burada belirtmektedir gama fonksiyonu . Özellikle şunlara sahibiz:
Γ{\ displaystyle \ Gama}
|
n hatta |
tuhaf
|
---|
Vdeğil{\ displaystyle V_ {n}} |
πdeğil2Rdeğil(değil2)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ sol ({\ frac {n} {2}} \ sağ)!}}} |
2(değil+1)/2πdeğil-12Rdeğil1⋅3⋅⋯⋅değil{\ displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot değil}}}
|
---|
Aşağıdaki tablo, n boyutu ve 1 yarıçapı olan ilk 8 topun hacim değerlerini vermektedir :
değil |
Hacim değeri
|
---|
tam |
yaklaştı
|
---|
1 |
2{\ displaystyle 2} |
2{\ displaystyle 2}
|
2 |
π{\ displaystyle \ pi} |
3.14159{\ displaystyle 3 {,} 14159}
|
3 |
43π{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi} |
4.18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
|
4 |
12π2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2}} |
4.93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
|
5 |
815π2{\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2}} |
5.26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
|
6 |
16π3{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3}} |
5.16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
|
7 |
16105π3{\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}} |
4.72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
|
8 |
124π4{\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4}} |
4.05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}
|
Bu tür bir top hacmi için en fazla n için = 5. n > 5, hacim olarak azalır , n artar ve sınır sonsuzda sıfırdır:
limdeğil→∞Vdeğil=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ ila \ infty} V_ {n} = 0}.
Hiperküp birimi hiperkürenin için sınırlı uzunluğu 2 ve 2 hacim kenarlarına sahiptir , n ; bir topun hacimleri ile yazılı hiperküp (yana doğru ) arasındaki oran , n'nin bir fonksiyonu olarak artmaktadır .
2/değil{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}
Alan
Alan boyutu hiperkürenin n -1 ve yarıçap R alınarak tespit edilebilir türevi yarıçapı ile ilgili olarak , R hacmi V , n :
Sdeğil-1=dVdeğildR=değilVdeğilR=2πdeğil2Rdeğil-1Γ(değil2){\ displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gama ({\ frac {n} {2}})}}}.
Sdeğil=2πdeğil+12RdeğilΓ(değil+12){\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gama ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}.
|
n hatta |
n garip
|
---|
Sdeğil{\ displaystyle S_ {n}} |
2değil2+1πdeğil2Rdeğil1⋅3⋯(değil-1){\ displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}} |
πdeğil+12Rdeğil12(değil-12)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ frac {1} {2}} \, \ sol ({\ frac {n- 1} {2}} \ doğru)!}}}
|
---|
N birim küre nedenle alan için var
Sdeğil{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
2πdeğil+12Γ(değil+12) .{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gama ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}Aşağıdaki tablo, 1 yarıçapının ilk 7 n- küresinin alan değerlerini verir :
değil |
Alan Sdeğil{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
|
---|
tam |
yaklaştı
|
---|
1 |
2π{\ displaystyle 2 \ pi} |
6.28318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
|
2 |
4π{\ displaystyle 4 \ pi} |
12.56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
|
3 |
2π2{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2}} |
19.73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
|
4 |
83π2{\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}} |
26.31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
|
5 |
π3{\ displaystyle \ pi ^ {3}} |
31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
|
6 |
1615π3{\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}} |
33.07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
|
7 |
13π4{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}} |
32.46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}
|
Alanı n birim alan için en fazla n için = 6. n > 6, alan azalır n artar ve sınır sonsuzda sıfırdır:
limdeğil→∞Sdeğil=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ ila \ infty} S_ {n} = 0}.
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">