Gelen matematik daha kesin ve aritmetik bir Mersenne numarası formunda bir sayıdır 2 , n 1 - (burada n, a, sıfır olmayan doğal sayı ), bir asal Mersenne numarası (bazen Mersenne asal sayı ), bir nedenle sayısı, önce bir bu form. Bu sayılar din adamı ve bir matematikçi adını taşır Fransızca ve XVII inci yüzyıl Marin Mersenne ama yaklaşık 2.000 yıl önce, Öklid zaten çalışmaya alışıkMükemmel sayılar .
Bir Mersenne sayısı 2 n - 1 asal ise, n mutlaka asaldır, ancak bu koşul yeterli değildir: 2, 3, 5, 7 ve 11 asaldır, Mersenne sayıları 2 2 - 1 = 3 , 2 3 - 1 = 7 , 2 5 - 1 = 31 ve 2 7 - 1 = 127 gerçekten asaldır, ancak Mersenne sayısı 2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89 asal değildir.
Mersenne sayıları için etkili bir asallık testi vardır, bilinen en büyük asal sayıları Mersenne sayılarını yapan Lucas-Lehmer asallık testi . Ancak Mersenne asal sayıları nadirdir: 51'i 2020'nin başında bilinmektedir. Araştırmaları, ortak bir hesaplama projesi olan GIMPS projesinin konusudur . Mersenne asal sayılarının sonsuz olup olmadığını bilmiyoruz.
Mersenne asal sayıları, "kendi uygun bölenlerinin toplamına eşit" sayılar olan mükemmel sayılarla ilgilidir . Mersenne asal sayıları araştırmasını tarihsel olarak motive eden bu bağlantıdır. Gönderen IV inci yüzyıl M.Ö.. BC , Euclid , M = 2 p - 1 bir asal sayıysa, M ( M + 1) / 2 = 2 p –1 (2 p - 1) mükemmel bir sayı olduğunu gösterdi. İki bin sonra içinde XVIII inci yüzyılın , Euler hepsi mükemmel sayılar kanıtladı eş bu formu var. Bilinen tek bir mükemmel sayı yoktur.
N- inci Mersenne sayısı 2 , n -1 bazen ile gösterilir M n = 2 , n -1 ( n ∈ ℕ * ). Tüm Mersenne sayıları asal değildir, örneğin M 4 = 2 4 - 1 = 15 = 3 × 5 . Aslında en kısa sürede , n = kl , oluşan E n = 2 kl - 1 oluşur, çünkü 2 k - 1 , eğer 1'den daha kesin büyüktür k 1'den büyük olan katı, bir bölen bir 2 kl - 1 .
Bir Mersenne sayısı M n = 2 n -1 bu nedenle yalnızca n asal ise asal olabilir.
Tersi yanlıştır: n asal olsa bile , Mersenne sayısı M n asal olmayabilir. En küçük karşı örnek M 11 = 2047 = 23 × 89'dur .
Mersenne sayıları aşağıdaki özelliklere sahiptir
P: M p asaldır -: M p asal değildir Camgöbeği: Mersenne bunu öngörmüştü Rose: tersini öngörmüştü | ||||||||
p | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
M p | P | P | P | P | - | P | P | P |
p | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 |
M p | - | - | P | - | - | - | - | - |
p | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
M p | - | P | - | - | - | - | - | P |
p | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 |
M p | - | - | - | P | - | - | P | - |
p | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
M p | - | - | - | - | - | - | - | - |
p | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
M p | - | - | - | - | - | - | - | - |
p | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
M p | - | - | - | - | - | - | - | - |
Eğer M n sonra asal n de. Marin Mersenne , bir keşiş Minimes sırasına erken XVII inci yüzyılın , teklifin yazarı aksi ispat ederim . Ayrıca, üs 257'ye kadar olan ve yanlış olduğu kanıtlanacak olan "Mersenne" asal sayılarının bir listesini sağlar: 67 ve 257'yi yanlış bir şekilde dahil etmiş ve 61, 89 ve 107'yi atlamıştır.
Bunun tersi yanlıştır: M p ise bileşik olabilir s asal olduğu; küçük karşı- bir E 11 = 2047 = 23 x 89: 11 ana ama M 11 tarafından 1732'de yeniden önce gösterdiğimiz gibi değil, Euler söz, aynı zamanda için geçerli olduğu, p = 23, 83, 131, 179, 191 ve 239.
For M n asal, n olmalıdır zaten asal Mersenne sayıları için arama kolaylaştırır, hangi asal. Bir Mersenne M p sayısının ( p asallı) asal olup olmadığını test etmek için , ilk olarak 1878'de Édouard Lucas tarafından geliştirilen ve 1930'larda Derrick Lehmer tarafından geliştirilen nispeten çok hızlı bir yöntem vardır . Bu son derece basit test sayesinde, uzun süredir bilinen en büyük asal sayıların Mersenne asal sayıları olduğu düşünülen sayıların boyutuna kıyasla.
Mersenne'in ilk dört asal sayısı Antik Çağ'dan biliniyordu. Beşinci (2 13 - 1) 1461'den önce bilinmeyen bir kişi tarafından keşfedildi . Sonraki ikisi Pietro Cataldi tarafından 1588'de bulundu . Bir asırdan fazla bir süre sonra, 1750'de Euler bir tane daha buldu. Bir sonraki kronolojik (sayısal değil) sırada Lucas tarafından 1876'da , ardından bir tanesi 1883'te Ivan Pervushin tarafından bulundu . Diğer iki başında bulundu XX inci tarafından yüzyılın RE Powers (in) de 1911 ve 1914 .
Mersenne'in asal sayılar araştırması, elektronik bilgisayarların tanıtılmasıyla devrim yarattı. Bu yolla bir Mersenne numarasının ilk tespiti, saat 22:00'de gerçekleşti.30 Ocak 1952Derrick Lehmer yönetimindeki California Üniversitesi Los Angeles kampüsündeki Sayısal Analiz Enstitüsü'ndeki bir SWAC bilgisayarı tarafından Raphael Robinson tarafından yazılmış bir programla .
38 yıldır tanımlanan ilk Mersenne asal sayısıydı. Bir sonraki, aynı bilgisayar tarafından iki saatten daha kısa bir süre sonra bulundu ve sonraki aylarda üç tane daha bulundu.
In Aralık 2018 , 51 Mersenne asal sayılar, en büyük varlık bilinen M 82 589 933 aynı tarihte bilinen en büyük asal sayı altındadır olduğunu. Seleflerinin çoğu gibi , GIMPS projesinin himayesi altında dağıtılmış bir hesaplama ile keşfedildi , Great Internet Mersenne Prime Search (" Mersenne asal sayılarının büyük İnternet araması" anlamına gelir ).
Asal Mersenne sayıların kümesi sonlu veya sonsuz olup olmadığını bilmiyoruz (ama biz varsayım sonsuz olduğunu) gösterir. Gelen Aralık 2018 , 51 asal Mersenne numaraları (seri bilinen A000043 ( p ) ve A000668 ( M p )).
Tarihsel olarak, her zaman artan sırada keşfedilmediler (örnekler: 12., M 127 , 29. M 4423 ...).
rütbe | p | M p | on tabanındaki M p değeri | On tabanındaki
basamak sayısı |
Keşif tarihi | keşfeden(ler) |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | M 2 | 3 | 1 | antik çağ | Yunan matematikçiler tarafından (bir asal sayı olarak) fark edildi |
2 | 3 | M 3 | 7 | 1 | ||
3 | 5 | M 5 | 31 | 2 | ||
4 | 7 | M 7 | 127 | 3 | ||
5 | 13 | M 13 | 8.191 | 4 | Orta Çağ ( XIII inci yüzyıl ) | İbn Fallus (1194-1239) |
6 | 17 | M 17 | 131.071 | 6 | 1588 | Çataldi |
7 | 19 | M 19 | 524.287 | 6 | 1588 | Çataldi |
8 | 31 | M 31 | 2.147.483.647 | 10 | 1750 | Euler |
9 | 61 | M 61 | 2 305 843 009 213 693 951 | 19 | 1883 | Pervushin |
10 | 89 | M 89 | 618970019… 449562111 | 27 | 1911 | Güçler (tr) |
11 | 107 | M 107 | 162259276… 010288127 | 33 | 1914 | güçler |
12 | 127 | M 127 | 170141183… 884105727 | 39 | 1876 | Lucas |
13 | 521 | M 521 | 686479766… 115057151 | 157 | 30 Ocak 1952 | Robinson ( SWAC ) |
14 | 607 | M 607 | 531137992… 031728127 | 183 | 30 Ocak 1952 | Robinson (SWAC) |
15 | 1.279 | M 1279 | 104079321… 168729087 | 386 | 25 Haziran 1952 | Robinson (SWAC) |
16 | 2203 | M 2203 | 147597991… 697771007 | 664 | 7 Ekim 1952 | Robinson (SWAC) |
17 | 2 281 | M 2281 | 446087557… 132836351 | 687 | 9 Ekim 1952 | Robinson (SWAC) |
18 | 3 217 | M 3217 | 259117086… 909315071 | 969 | 8 Eylül 1957 | Riesel ( BESK (tr) ) |
19 | 4.253 | M 4253 | 190797007… 350484991 | 1.281 | 3 Kasım 1961 | Hurwitz ( IBM ) |
20 | 4.423 | M 4423 | 285542542… 608580607 | 1332 | 3 Kasım 1961 | Hurwitz (IBM) |
21 | 9 689 | M 9689 | 478220278… 225754111 | 2 917 | 11 Mayıs 1963 | Gillies (tr) ( ILLIAC II) |
22 | 9 941 | M 9941 | 346088282… 789463551 | 2 993 | 16 Mayıs 1963 | Gillies (ILLIAC II) |
23 | 11.213 | M 11213 | 281411201… 696392191 | 3 376 | 2 Haziran 1963 | Gillies (ILLIAC II) |
24 | 19 937 | M 19937 | 431542479… 968041471 | 6.002 | 4 Mart 1971 | Tuckerman (içinde) (IBM) |
25 | 21.701 | M 21701 | 448679166… 511882751 | 6 533 | 30 Ekim 1978 | Noll (tr) ve Nikel ( CDC ) |
26 | 23.209 | M 23209 | 402874115… 779264511 | 6.987 | 9 Şubat 1979 | Noll (CDC) |
27 | 44.497 | M 44497 | 854509824… 011228671 | 13.395 | 8 Nisan 1979 |
Nelson (tr) ve Slowinski (tr) ( Cray Research ) |
28 | 86.243 | M 86243 | 536927995… 433438207 | 25 962 | 25 Eylül 1982 | Slowinski (Cray) |
29 | 110,503 | M 110503 | 521928313… 465515007 | 33 265 | 28 Ocak 1988 | Colquitt ve Galce ( NEC ) |
30 | 132.049 | M 132049 | 512740276… 730061311 | 39.751 | 19 Eylül 1983 | Slowinski (Cray) |
31 | 216.091 | M 216091 | 746093103… 815528447 | 65.050 | 1 st Eylül 1985 | Slowinski (Cray) |
32 | 756.839 | M 756839 | 174135906… 544677887 | 227 832 | 19 Şubat 1992 | Slowinski ve Gage |
33 | 859 433 | M 859433 | 129498125… 500142591 | 258.716 | 10 Ocak 1994 | Slowinski ve Gage |
34 | 1.257.787 | M 1257787 | 412245773… 089366527 | 378.632 | 3 Eylül 1996 | Slowinski ve Gage |
35 | 1.398.269 | M 1398269 | 814717564… 451315711 | 420 921 | 13 Kasım 1996 | GIMPS / Joel Armengaud |
36 | 2 976 221 | M 2976221 | 623340076… 729201151 | 895 932 | 24 Ağu 1997 | GIMPS / Gordon Spence |
37 | 3.021.377 | M 3021377 | 127411683… 024694271 | 909.526 | 27 Ocak 1998 | GIMPS / Roland Clarkson |
38 | 6.972.593 | M 6972593 | 437075744… 924193791 | 2.098.960 | 1 st Haziran 1999 | GIMPS / Nayan Hajratwala |
39 | 13.466.917 | M 13466917 | 924947738… 256259071 | 4.053.946 | 14 Kasım 2001 | GIMPS / Michael Cameron |
40 | 20.996.011 | M 20996011 | 125976895… 855682047 | 6 320 430 | 17 Kasım 2003 | GIMPS / Michael Shafer |
41 | 24.036.583 | M 24036583 | 299410429… 733969407 | 7 235 733 | 15 Mayıs 2004 | GIMPS / Josh Findley |
42 | 25 964 951 | M 25964951 | 122164630… 577077247 | 7 816 230 | 18 Şubat 2005 | GIMPS / Martin Nowak |
43 | 30 402 457 | M 30402457 | 315416475… 652943871 | 9.152.052 | 15 Aralık 2005 | GIMPS / Cooper ve Boone |
44 | 32.582.657 | M 32582657 | 124575026… 053967871 | 9.808.358 | 4 Eylül 2006 | GIMPS / Cooper ve Boone |
45 | 37 156 667 | M 37156667 | 202254405… 308220927 | 11 185 272 | 6 Eylül 2008 | GIMPS / Elvenich |
46 | 42 643 801 | M 42643801 | 169873516… 562314751 | 12 837 064 | 12 Nisan 2009 | GIMPS / Odd Magnar Strindmo |
47 | 43 112 609 | M 43112609 | 316470269… 697152511 | 12 978 189 | 23 Ağu 2008 | GIMPS / Smith |
48? | 57 885 161 | M 57885161 | 581887266… 724285951 | 17 425 170 | 25 Ocak 2013 | GIMPS / Cooper |
49? | 74 207 281 | M 74207281 | 300376418… 086436351 | 22 338 618 | 7 Ocak 2016 | GIMPS / Cooper |
50? | 77 232 917 | M 77232917 | 467333183 ... 762179071 | 23 249 425 | 3 Ocak 2018 | GIMPS / Jonathan Pace |
51? | 82.589.933 | M 82589933 | 148894445 ... 217902591 | 24 862 048 | 7 Aralık 2018 | GIMPS / Patrick Laroche |
Asal ama erken belirtiler olmayan Mersenne yeni küçük (arasındaki uyum den 1 st ve 9 inci Mersenne asal sayıların, sonunda bilinen XIX inci yüzyıl ) şunlardır:
N o | p | M p | on tabanındaki
M p değeri |
On tabanındaki
basamak sayısı |
Ayrışma |
---|---|---|---|---|---|
1 | 11 | M 11 | 2.047 | 4 | 23 × 89 |
2 | 23 | M 23 | 8 388 607 | 7 | 47 × 178 481 |
3 | 29 | M 29 | 536 870 911 | 9 | 233 × 1.103 × 2.089 |
4 | 37 | M 37 | 137 438 953 471 | 12 | 223 × 616 318 177 |
5 | 41 | M 41 | 2 199 023 255 551 | 13 | 13 367 × 164 511 353 |
6 | 43 | M 43 | 8 796 093 022 207 | 13 | 431 × 9.719 × 2.099.863 |
7 | 47 | M 47 | 140 737 488 355 327 | 15 | 2.351 × 4.513 × 13.264.529 |
8 | 53 | M 53 | 9 007 199 254 740 991 | 16 | 6.361 × 69.431 × 20.394.401 |
9 | 59 | M 59 | 576 460 752 303 423 487 | 18 | 179 951 × 3 203 431 780 337 |
147 573 952 589 676 412 927'ye eşit olan M 67 sayısı , Mersenne'in orijinal listesinde göründü; ancak Lucas 1876'da bu sayının asal olmadığını, ancak çarpanlarını gösteremeden gösterdi. Bu sayının (193.707.721 x 761.838.257.287) çarpanlarına ayrılması 1903 yılında Frank Nelson Cole tarafından belirlenmiştir .
Mersenne numaraları (ana veya değil) tepkileri sekans baz 2'de arasında yanıtları üssü b olan Lucas dizisi U ( b + 1, b ). Bununla birlikte, aralarında P ve Q asal olan herhangi bir Lucas dizisi U ( P , Q ) güçlü bir bölünebilirliğe sahiptir . Mersenne numaralarının (dizisi için aynı nedenden dolayı bakınız yukarıda ) için gerekli bir (ancak yeterli olmayan) bir durumda , n asal olmak için böyle bir sekansın inci terimi bu nedenle , n da asal .
Solinas asal sayıları, p = f (2 k ) biçimindeki asal sayılardır; burada f , düşük "modüler indirgeme ağırlığı" tamsayı katsayılarına sahip bir birim polinomdur ( p indirgeme modülü için amaçlanan teknik bir koşul hızlıdır ve basitlik için , bazen şu şekilde değiştirilir: f'nin sıfır olmayan katsayıları az ve eşittir ± 1). Solinas, birincisi "ağırlık" 1'in (Mersenne sayılarına karşılık gelir ) f ( t ) = t - 1 ve sonuncusu f ( t ) = t 4 - t 3 + t olan bir dizi örnek verir. 2 + 1, “ağırlık” 4, ancak f ( t ) = t d - t d –1 + t d –2 -… + (–1) d , “ağırlık” 3'ü de içerir.
Mersenne sayıları taban 2'deki tekrarlar olduğu için ikili yazımları 0 içermez. Benzer şekilde yazıları belirli bir rakamı olmayan asal sayıları da üst tabanlarda inceleyebiliriz . 2019'da, 10 tabanındaki açılımı 0'dan 9'a kadar olan rakamların hiçbirini içermeyen sonsuz sayıda asal sayı olduğu kanıtlandı .
nerede o