beşgen
İn geometrisi , bir onbeşgen a, çokgen 15 köşe nedenle 15 kenar ve 90 diyagonalleri .
İç açılar 15 toplamı olmayan bir onbeşgen arasında ortada olan 2340 derece .
Eşkenar üçgenin ve düzgün beşgenin nasıl oluşturulacağını bildiğimiz için Gauss teoremini uygularız :
Aralarında asal olan 3 ve 5 , Bézout bağıntısını 2 × 3 - 5 = 1 ile çarparak eşitliği elde ederiz:2π15{\ görüntü stili {\ tfrac {2 \ pi} {15}}}22π5-2π3=2π15.{\ displaystyle 2 {\ frac {2 \ pi} {5}} - {\ frac {2 \ pi} {3}} = {\ frac {2 \ pi} {15}}.}
Bir çember üzerinde, bir A noktasından başlayarak, öyle bir G noktası yerleştiriyoruz ki ; B noktası , AB tarafındaki düzgün çokgenin ikinci tepe noktası olacak şekilde.
(ÖAT→,ÖG→)=4π5{\ displaystyle ({\ overrightarrow {OA}}, {\ overrightarrow {OG}}) = {\ frac {4 \ pi} {5}}}(ÖG→,ÖB→)=-2π3{\ displaystyle ({\ overrightarrow {OG}}, {\ overrightarrow {OB}}) = - {\ frac {2 \ pi} {3}}}
Pratikte, düzenli beşgen ADGJM (doğrudan yön) çiziyoruz.
G noktasından GBL eşkenar üçgenini çiziyoruz (geriye doğru yön).
Çember üzerinde AB uzunluğunun 14 katını erteleyerek, ABCDEFGHIJKLMNP düzgün çokgenini elde ederiz . Böyle bir yapı Öklid tarafından önerildi .
(c) dairesinde O merkezli normal ADGJM beşgenini oluşturun.
G noktasını O'ya göre G ile simetrik olarak yerleştirin.
[OG '] 'nin dik açıortayı, (c) dairesini beş köşeli köşeleri olan iki B ve L noktasında keser.
Meşrulaştırma
OBG üçgeni eşkenardır, çünkü OB = OG' yarıçap olarak ve OB = G'B çünkü B [OG '] dik açıortayı üzerindedir.
Beşgenin iki ışınının açısıMÖAT^{\ displaystyle {\ widehat {MOA}}}2π5.{\ görüntü stili {\ frac {2 \ pi} {5}}.}
G′ÖAT^=12MÖAT^=π5.{\ displaystyle {\ widehat {G'OA}} = {\ frac {1} {2}} {\ widehat {MOA}} = {\ frac {\ pi} {5}}.}
ATÖB^=G′ÖB^-G′ÖAT^=π3-π5=2π15{\ displaystyle {\ widehat {AOB}} = {\ widehat {G'OB}} - {\ widehat {G'OA}} = {\ frac {\ pi} {3}} - {\ frac {\ pi} {5}} = {\ frac {2 \ pi} {15}}}, beş köşeli iki ışın arasındaki açı.
pusula yapımı
O merkezli normal ADGJM beşgenini oluşturun.
A ', D', G ', J', M 'noktalarını O'ya göre A, D, G, J, M ile simetrik olarak yerleştirin.
Pentadecagonun noktaları, (c) dairesinin O merkezinden geçen A ', D', G ', J', M 'merkezlerinin daireleriyle kesişme noktalarıdır.
Meşrulaştırma
G'OB, çevrelenmiş dairenin r yarıçapına eşit kenarlardan oluşan bir eşkenar üçgendir .
G′ÖB^=2π3{\ displaystyle {\ widehat {G'OB}} = {\ frac {2 \ pi} {3}}}
Yukarıdaki gibi: (beşgenin merkezindeki açı).
G′ÖAT^=12MÖAT^=π5{\ displaystyle {\ widehat {G'OA}} = {\ frac {1} {2}} {\ widehat {MOA}} = {\ frac {\ pi} {5}}}
ATÖB^=G′ÖB^-G′ÖAT^=π3-π5=2π15{\ displaystyle {\ widehat {AOB}} = {\ widehat {G'OB}} - {\ widehat {G'OA}} = {\ frac {\ pi} {3}} - {\ frac {\ pi} {5}} = {\ frac {2 \ pi} {15}}} beş köşeli köşenin merkezindeki açıdır ve B noktası gerçekten bir tepe noktasıdır.
Düzenli bir beşligenin özellikleri
Bir kenarın uzunluğu ise:
de{\ görüntü stili a}
- çevre ise ;P=15de{\ görüntü stili P = 15 \, a}
- alan ise
AT=154de2maliyet(π15)=15de28(3+15+25+5){\ displaystyle A = {\ frac {15} {4}} \, a ^ {2} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {15}} \ sağ) = {\ frac {15 \; bir ^ {2}} {8}} \ sol ({\ sqrt {3}} + {\ sqrt {15}} + {\ sqrt {2}} {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} \ sağ)} ;
H=2ATP=de2maliyet(π15){\ displaystyle H = {\ frac {2 \, A} {P}} = {\ frac {a} {2}} \ karyola \ sol ({\ frac {\ pi} {15}} \ sağ)} ;
$=Hçünkü(π15)=de2günah(π15){\ displaystyle R = {\ frac {H} {\ cos \ sol ({\ frac {\ pi} {15}} \ sağ)}} = {\ frac {a} {2 \ günah \ sol ({\ frac {\ pi} {15}} \ sağ)}}} ;
- merkezdeki her açı ölçüleri ;360∘15=24∘{\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {15}} = 24 ^ {\ circ}}
- her bir iç açı ölçer .2340∘15=156∘{\ displaystyle {\ frac {2 \, 340 ^ {\ circ}} {15}} = 156 ^ {\ circ}}
Çapraz beşgenler
Çapraz düzenli n -gones (veya yıldız işaretli ) ile asal tamsayılar için karşılık gelir , n ve 2 arasında n / 2 .
Bu nedenle, 2'de 2, 4'te 4 veya 7'de 7 köşelerini birleştirerek elde ettiğimiz üç düzenli yıldız beşgeni vardır:
-
{15, 2} (iç açı: 132 °)
-
{15, 4} (iç açı: 84 °)
-
{15, 7} (iç açı: 12 °)
Şuna da bakın:
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar