Lissajous eğrisi

Bu matematik makalesinin özü kontrol edilmelidir (Ağustos 2018).

İyileştirin veya kontrol edilecek şeyleri tartışın . Pankartı yeni eklediyseniz, lütfen kontrol etmeniz gereken noktaları burada belirtin .

Lissajous eğrisi olarak da adlandırılır, Lissajous şekil veya Bowditch eğrisi , bir noktanın yörünge dikdörtgen parçalar sinüzoidal bir hareketi yoktur.

Bu aile eğrileri tarafından incelenmiştir Nathaniel Bowditch içinde 1815 tarafından daha sonra daha ayrıntılı olarak, Jules Lissajous içinde 1857 .

Tanım

Bir Lissajous eğrisi her zaman aşağıdaki parametrik denklemle tanımlanabilir:

x(t)=-degünah⁡t{\ displaystyle x (t) = a \ sin t} y(t)=bgünah⁡(değilt+ψ){\ displaystyle y (t) = b \ sin (nt + \ psi)}

nerede ve . 0≤ψ≤π2{\ displaystyle 0 \ leq \ psi \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}değil≥1{\ displaystyle n \ geq 1}

N sayısı eğrinin parametresi olarak adlandırılır ve iki sinüzoidal hareketin titreşim oranına karşılık gelir. Ayrıca, bu oran rasyonel ise, formda ifade edilebilir ve eğrinin parametrik denklemi şöyle olur: değil=qp{\ displaystyle n = {\ frac {q} {p}}}

x(θ)=-degünah⁡(pθ){\ displaystyle x (\ theta) = a \ sin (p \ theta)} y(θ)=bgünah⁡(qθ+ϕ){\ Displaystyle y (\ theta) = b \ sin (q \ theta + \ phi)} 0≤θ<2π{\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}

nerede ve . 0≤ϕ≤π2p{\ displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq {\ frac {\ pi} {2p}}}q≥p{\ displaystyle q \ geq p}

Özellikleri

• Eğer n irrasyonel ise, eğri [- a , a ] × [- b , b ] dikdörtgeninde yoğundur .
• Eğer n rasyonel olduğunu,
  • eğrisi olan cebirsel (unicursal) eğrisi derecesi 2'nin q ise için p tek veya için p bile.ϕ∈]0,π2p]{\ displaystyle \ phi \ in \ sol] 0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ sağ]}ϕ∈[0,π2p[{\ displaystyle \ phi \ in \ sol [0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ sağ [}
  • eğrisi derecesi bir cebirsel eğrisinin bir kısımdır q ise için p tek veya için p bile.ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}ϕ=π2p{\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2p}}}
• Eğer n bir çift tamsayı ise ve veya n tek bir tamsayı ise ve eğri n- inci Chebyshev polinomunun eğrisinin bir bölümüdür .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2}}}ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Özel durumlar

• Eğer , n = 1, eğri bir bir elips .
  • Eğer a = b ve bu elips bir çemberdir .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Eğer , bu elips bir doğru parçası .ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}
• Eğer a = 2 b ve n = q = 2 ise (dolayısıyla p = 1), eğri bir torbadır .
  • Evet , bu çanta bir benzetmenin bir parçasıdır .ϕ=π2{\ displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Evet , bu çanta Gerono'nun bir lemniscate'idir .ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

Burada ve a = b ile bazı grafik örnekleri verilmiştir . ϕ=0{\ displaystyle \ phi = 0}

• Lissajous eğrilerinin farklı örnekleri

• p = 1, q = 2

• p = 1, q = 3

• p = 1, q = 6

• p = 2, q = 3

• p = 3, q = 4

• p = 3, q = 20

Diğer eğrilerle bağlantılar

Lissajous eğriler, simetri eksenine paralel bir düzlemde sinüzoidal kronların çıkıntılarıdır .

Başvurular

Lissajous eğrilerinin farklı uygulamaları vardır:

• Bir analog osiloskopta , XY (apsis (yatay bileşen) ve ordinat (dikey bileşen)) modu, özellikle Lissajous eğrilerini görüntüleyerek iki sinüzoidal sinyal arasındaki bir faz kaymasını ve bir frekans farkını ölçmeyi mümkün kılar . Yine de bu yöntem kesin değildir.
• Uzay teleskopları çevresinde dönen Lagrange noktaları , örneğin, özellikle teleskop gibi, Herschel alanına L2 yerleştirilen bir tarif Lissajous yörünge .

Notlar ve referanslar

Ayrıca görün

Kaynakça

• (tr) Julio Castiñeira Merino, "  Lissajous Figürleri ve Chebyshev Polinomları  " , The College Mathematics Journal  (en) , cilt.  32, n o  22003, s.  122-127 ( çevrimiçi okuyun )
• Francisco Gomes Teixeira , Özel Dikkate Değer Düz ve Sol Eğriler Üzerine İnceleme ,1971( 1 st  ed. 1915 1905) ( okuma hat ) , böl.  III.12 ("Lissajous eğrileri hakkında"), s.  225-230

Dış bağlantılar

• Robert Ferréol ve Jacques Mandonnet, “  lissajous eğrisi  ” üzerine, mathcurve.com ,2015
• (tr) Lissajous diyapazonlar: müzikte ses standardizasyonu içinde Bilim Tarihi sitenin Whipple Müzesi .
• (tr) Lissajous Interactive
• (in) Jules Antoine Lissajous .
• Yetki kayıtları  :
  • Ulusal Diyet Kütüphanesi
• Bir sözlükte veya genel ansiklopedide uyarı  : Encyclopædia Britannica