Üstel büyüme

In matematik , ekonomi ve biyoloji , biz söz üstel (veya geometrik ) büyüme olgusunun nüfus mutlak büyüme olduğunda oransal büyüme oranı içsel sabit ve pozitif olduğunda demek ki mevcut nüfus için.

Prensip

Büyüme genellikle yüzde olarak ifade edilir  : yılda% 10'luk büyüme, nüfusun her yıl 1,1 ile çarpıldığı anlamına gelir. Bu nedenle, 1000 kişilik bir ilk popülasyon için:

• bir yıl sonra 1,100 kişiye yükselir ( );1000×1,1{\ displaystyle 1000 \ times 1,1}
• iki yıl sonra 1,210 kişiye ( veya veya ) yükselir ;1100×1,1{\ displaystyle 1100 \ times 1,1}1000×1,1×1,1{\ displaystyle 1000 \ times 1,1 \ times 1,1}1000×1,12{\ displaystyle 1000 \ times 1,1 ^ {2}}
• ...
• 7 yıl sonra, hemen hemen (iki katına çıktı tüm parça arasında olduğu );1000×1,17{\ displaystyle 1000 \ times 1,1 ^ {7}}1948{\ displaystyle 1948}
• ...
• 100 yıl sonra 13.780 ile çarpıldı;
• genel formül, başlangıç ​​popülasyonu Pop 0 ile n yıl sonra nüfusu tahmin etmektir ve burada büyüme , bir popülasyondan sonraki yıl popülasyona gitmeye izin veren çarpan faktördür.PÖpdeğil=PÖp0×vsrÖbenss-dedeğilvsedeğil{\ displaystyle Pop_ {n} = Pop_ {0} \ kat büyüme ^ {n}}

Sürekli üstel büyüme ve içsel büyüme oranı

Üstel büyüme olgusu sürekli olduğunda, üstel bir fonksiyon aracılığıyla modellenebilir.

DEĞİL(t)=DEĞİL(0)ert{\ displaystyle N (t) = N (0) \ mathrm {e} ^ {rt}}

burada , N ( t ) süresi olan bireylerin sayısı t , N (0) 0 zamanında bireylerin sayısı, r içsel büyüme oranı ve t e olan zaman Euler sabiti yaklaşık 2,718 e eşit.

Büyüme oranı kavramı iki şekilde ayrıştırılabilir: etkin büyüme oranı ve içsel büyüme oranı . Yüzyıl başına% 10 etkili büyüme oranına sahip bir nüfus, aynı dönem için yaklaşık% 9,53'lük bir içsel büyüme oranına sahiptir , çünkü 1,1 ≈ e 0,0953 iken, yıllık% 100 içsel büyüme oranı, nüfusun yaklaşık 2,72 ile çarpılacağı anlamına gelir. bir yılda, yani yıllık büyüme oranı% 172 iken, yıllık% 100 büyüme oranı, nüfusun bir yılda ikiye katlandığı ve dolayısıyla yıllık içsel büyüme oranının ln (2) veya yaklaşık% 69 olduğu anlamına gelir.

Çarpan gerçek büyüme oranlarının aksine, içsel büyüme oranları artar. Bu nedenle,% 5'lik sabit bir aylık iç büyüme oranı,% 60'lık bir yıllık iç büyüme oranına karşılık gelir. Bunun nedeni, bu oranların bir üs olarak görünmesidir.

Aynı referans dönemi için, efektif büyüme oranı μ ve içsel büyüme oranı r , şu ilişki ile bağlantılıdır: 1 + μ = e r .

Üstel patlama ve sınırları

Üstel bir büyüme ile nüfusun boyutu gittikçe daha hızlı artar; bu gerçek bazen üstel patlama olarak adlandırılır . Bu , Brahmin Sissa efsanesine yol açtı (MÖ 3000).

Bu teorik gelişme bu nedenle deneyime dayanmaz: hiçbir fenomen sonsuza kadar büyüyemez çünkü büyümesi nüfusun içinde bulunduğu çevre tarafından sınırlandırılmıştır. Böyle bir sorunu ortaya çıkaran ilk kişi , 1798'de Nüfus İlkesi Üzerine Deneme adlı eserinde Papaz Thomas Malthus'du , ancak insan nüfusu artışıyla ilgili tahminleri gerçekleşmedi.

Günümüzde, kolaylıkla geliştirilmesi olduğu kabul edilmektedir mikroorganizmalardan bir gelen mikrobiyolojik kültür gelişiminin başlaması için üstel formda modellenebilir: İlk organizma böler sonra her böl dört oluşturmak üzere iki kızı organizmalar, içine, sekiz oluşturmak üzere ayrı olan. , ve benzeri. Ancak çevrenin kısıtlamaları ( besin tükenmiş veya ulaşılan kullanılabilir hacim), daha sonra Verhulst (1838) tarafından aşağıdaki şekilde ifade edilen bir model seçmeyi tercih eder:

• dfdt=-def(b-f){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} f} {{\ rm {d}} t}} = af (bf)} sürekli alanında
• sendeğil+1=-desendeğil(b-sendeğil){\ displaystyle u_ {n + 1} = au_ {n} (b-u_ {n}) \,} ayrı durumda

Böyle bir lojistik paketin sunabileceği tüm kaotik karakterle .

Örnekler

İşte üstel büyümenin bazı sembolik durumları:

• eğriyi düzleştirmek için herhangi bir önlem alınmadan önce 2020 salgının genişleme aşamasında Covid-19 hastalarının sayısı ;
• mikroorganizmaların (yukarıda belirtilen örnek) ve organizmaların sayısının artırılması  ;
• zincirleme reaksiyon fenomeni sırasında yeni reaksiyonlar .

• Bakteriler, optimum koşullar altında üstel büyüme sergiler.

• Temel üreme oranına göre Wuhan'da (genişleme aşaması) tahmini COVID-19 vakası sayısı

Referanslar

1. Étienne Ghys , "  Salgınlar: üstelleri düzleştirmek  ", Le Monde ,25 Mart 2020( çevrimiçi okuyun ), yazarın kişisel sayfasındaki versiyona da bakın .
2. Etienne Meyer-Vacherand, "  Covid-19: bir pandeminin üstel büyümesini anlamak, nüfus için bilişsel bir meydan okuma  ", Le Monde ,8 Temmuz 2020( çevrimiçi okuyun )

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Üstel fonksiyon
• Kombinatoryal patlama

Dış bağlantı

• "Üstel işlev: tüm Euler için" , Bilimsel Yöntem , Fransa Kültürü, 19 Kasım 2020.