Gelen afin geometri , paralellik ile ilgili bir özelliktir hatları için, düzlem ya da daha genel olarak afin bölme odasının . Paralellik kavramı ilk olarak Euclid tarafından Elements adlı eserinde formüle edildi , ancak sunumu zamanla aksiyomatik bir tanımdan basit bir tanıma dönüştü.
Paralellik kavramı Öklid'in Elementler Kitabı I'de tanıtılmıştır . Öklid için bir çizgi daha çok bir segment gibidir .
Öncül 5 : "İki düz çizgi üzerine düşen bir çizgi aynı tarafta daha küçük iki sağ açıları, süresiz uzatıldı bu düz, iç açıları yaparsa, açılar küçük ikiden hakları tarafını bir araya gelecek. »Kanıtlamayı mümkün kılar:
Postüla 5, tanıdık uzayımızın tüm olağan özelliklerini göstermemize izin veriyorsa, diğerlerinden daha az "açık" göründüğü ve onu daha basit postülalardan göstermek için birçok girişimde bulunulduğu gerçeği kalır. Sonunda Öklidyen olmayan geometrilerin keşfedilmesine yol açan şey onların tekrarlanan başarısızlıklarıydı .
Elements of Geometry (1765) adlı eserinde Clairaut, iki paralel çizgiyi birbirinden eşit uzaklıkta olarak tanımlar. Bununla birlikte, bir çizgiden eşit uzaklıktaki bir eğrinin kendisinin bir çizgi olduğu gerçeği, kanıtı Öklid'in beşinci postülatının kabul edilmesini gerektiren bir özelliktir ( hiperbolik geometride , bu özellik yeni bir eğri ailesini, hiper döngüleri tanımlar ).
Modern geometri, paralellik kavramını afin geometri çerçevesinde tanımlar.
Doğru, bir nokta ve bir yön vektörü ile tanımlanır. İki doğrunun, ancak ve ancak yön vektörleri eşdoğrusal ise paralel olduğu söylenir . Daha sonra, Öklid'in tanımına göre değilken, bu tanıma göre birleştirilmiş iki doğrunun paralel olduğu ortaya çıkıyor. İki farklı paralel çizgi daha sonra kesinlikle paralel olarak adlandırılır.
Çakışan doğruları paralel olarak kabul etmeyi kabul ederek, paralellik ilişkisi şu şekildedir:
Bu, paralellik ilişkisinin , denklik sınıfları doğruların yönleri olan bir denklik ilişkisi olduğunu söylemeyi mümkün kılar .
Bir afin uzayda, iki düzlem bir nokta ve iki doğrusal olmayan yön vektörü ile tanımlanır.
İki düzlem, ancak ve ancak dört yön vektörü eş düzlemliyse paraleldir . 3 boyutlu bir uzayda, iki düzlem ya paraleldir (ortak veya karışık noktalar olmadan) ya da düz bir çizgi boyunca kesişir.
Bir doğru bir düzleme paraleldir, ancak ve ancak üç yön vektörü (hem düzlemin hem de doğrununki) eş düzlemli ise (bu tanımla, bir düzlemde bulunan bir çizgi ona paraleldir). 3 boyutlu bir uzayda, bir doğru ve bir düzlem verilmişse, ya doğru düzleme paraleldir ya da doğru ve düzlem bir nokta boyunca sekanttır. Öncekilerden farklı olarak sağ/düzlem paralellik ilişkisi geçişli değildir; bu nedenle, iki düzlem birbirine paralel olmadan aynı Δ çizgisine paralel olabilir (ancak o zaman kesişme çizgisi Δ'ye paralel olacaktır).
NotDüzlemde (boyut 2'nin afin uzayı) olanın aksine, uzay 3'ün iki çizgisi paralel olmadan kesişemez. Bu tür iki çizgiye (başka bir deyişle: iki düzlemsel olmayan çizgi) sol çizgiler denir .
Bir p- boyutlu afin alt uzayı , afin uzayın yönü olarak adlandırılan bir nokta ve bir p- boyutlu vektör alt uzayı kullanılarak tanımlanır . p boyutunun iki afin alt uzayı, ancak ve ancak yön olarak aynı vektör alt uzayına sahiplerse paraleldir. İki paralel afin altuzay ayrık veya karışıktır.
Paralellik bağıntısı, p boyutunun afin alt uzayları kümesinde bir denklik bağıntısı olarak kalır . Daha genel olarak, p < q ile ilgili p ve q boyutlarına sahip iki afin altuzay, eğer birincinin yönü ikincinin yönünün bir vektör alt uzayıysa paralel oldukları söylenir (ancak bu son ilişki bir bağıntı denkliği değildir) .