Olasılık teriminin birkaç anlamı vardır: tarihsel olarak Latince olasılıklardan gelir , kesinlik kavramının tersini belirtir; o da bir değerlendirmedir olası doğa bir bir olay bir değer kesinlik derecesini temsil etmek mümkün kılar yani; son zamanlarda, olasılık bir matematik bilimi haline geldi ve buna olasılık teorisi ya da daha basit olarak olasılık denir ; son olarak, bir doktrin de olasılıkçılık adını taşır .
Bir olayın olasılığı, 0 ile 1 arasında gerçek bir sayıdır. Sayı ne kadar büyükse , olayın meydana gelme riski veya şansı da o kadar büyük olur . Olasılığın bilimsel çalışması, matematik tarihinde nispeten yenidir. Olasılık çalışma beri birçok gelişme yaşanmıştır XVIII inci rastgelelik ve bazı olayların değişkenliğine, özellikle kumar çalışma yoluyla yüzyıl. Bunlar matematikçileri daha sonra meteoroloji , finans veya kimya gibi çeşitli alanlarda etkileri olan bir teori geliştirmeye yöneltti .
Başlangıçta, Aristoteles'in çevirilerinde , "olasılık" kelimesi , bir olgunun rastgeleliğinin nicelleştirilmesini değil, bir fikrin herkes tarafından yaygın olarak kabul edildiği algısını ifade ediyordu. Aristoteles'in yapıtlarının tercümesindeki art arda gelen yorumlar ve yanlışlıklar etrafında , ancak Orta Çağ'da , ardından Rönesans'ta , bu terim bir fikrin akla yatkınlığını belirtmek için anlamsal bir değişim yaşadı.
Kavramının ortaya çıkması "risk" , olasılık çalışmada, sadece göründü önce XII inci Antlaşması ile ticari sözleşmelerin değerlendirilmesi için, yüzyıl sözleşmeleri Peter Olivi geliştirilen ve s' XVI inci ile, yüzyılın deniz sigorta sözleşmelerinin yaygınlaşması. Kenara bazı temel hususlar gelen Gerolamo Cardano erken XVI inci yüzyıl ve Galileo tarafından erken XVII inci yüzyıl arasındaki yazışma olasılık teorisi tarihleri gerçek başlangıcı Pierre de Fermat ve Blaise Pascal 1654 yılında.
Bu ikinci yarısında oldu XVII inci çalışmasının ardından, yüzyılın Blaise Pascal , Pierre de Fermat ve Hıristiyan Huygens üzerinde puan sorununa terimi "olasılık" matematiksel tedavi gelişmelerle, giderek bugünkü anlamını alıyor konu Jakob Bernoulli tarafından .
Gelen XVIII inci yüzyılın Gabriel Cramer bir ders verdi olasılık mantığı Madde bir üs haline gelecek olasılık arasında Diderot ansiklopedinin bu yüzyılın sonunda yazılı. İse budur XIX inci yüzyıl bu matematiksel olasılık modern teori olarak kabul edilebilir.
Olasılık hesabı başında yeni bir gelişme alır XX E ile, yüzyılın Kolmogorov'un aksiyomatik ; sonra olasılık teorisi başlar . Olasılık, matematiğin bir dalı olarak bir bilim ve teori haline gelir.
Bu nedenle, aşağıdaki bölümlerde detaylandıracağımız birkaç kavram vardır:
Kelimesinin ilk kullanımı olasılığı çevrilmesi ile 1370 görünür Nicomaques için etik arasında Aristo tarafından Oresme ve ardından "muhtemel olanı karakterini" belirler. Aristoteles'teki olası kavramı (Yunanca ενδοξον) böylece Konular'da tanımlanmıştır :
"Bütün insanlar tarafından veya çoğu tarafından veya bilgeler tarafından ve ikincisi arasında, ya herkes tarafından ya da çoğu tarafından ya da nihayet en dikkate değer ve en ünlü tarafından kabul edilen görüşler muhtemel midir?"
Aristoteles'te bir görüşü olası kılan , onun genel kabul görmüş karakteridir; bunun sadece çevirisidir Cicero içinde Konular çevirir Aristo, probabilis veya verisimilis olasılık kavramı sırasında bir etkisi olacak "olasılık", o ile ilişkili olduğunu Ortaçağ'da ve Rönesans üzerinde ardışık yorumlarda, Aristoteles'in eseri .
Bir cümle, durum veya önerme doğru veya yanlıştır. Olasılığı "bir önermenin doğruluğunun veya yanlışlığının açık bilgisidir" . Belirsizlik kavramı kendi payına bu bilginin kusurudur. Bir önerme için, o zaman üç durum vardır:
Cramer tarafından geliştirilen bu temsil, belirsizlik veya olasılık kavramını ölçmenin bir yolunu ortaya çıkarmayı mümkün kılmaktadır. Daha sonra aşağıdaki olasılık tanımını verir:
Tanım (Gabriel Cramer) - Tüm kesinlik, kişinin belirli doğrular için gerekli tüm koşulların var olduğuna dair güvenceden ve birinin varlığına dair sahip olduğu bilginin olasılığından kaynaklandığı için- Bu koşullardan biri altında, biz kesinliğe bir bütün olarak ve olasılığa bir parça olarak bakın. Dolayısıyla, bir önermenin doğru olasılık derecesi, bu olasılığın yarı kesinliğe ya da tüm kesinliğin dörtte üçüne, ya da yalnızca üçte birine, vb. yükseldiğini söyleyebildiğimizde ve kanıtladığımızda tam olarak bilinecektir.
Daha önce belirtildiği gibi, olasılık kavramı, şansı nicelleştirmeyi mümkün kılar. Erken resmileştirilmesi XX inci yüzyılın artık yaygın kullanılmaktadır. (örneğin, bu bölüm için Jacod ve Protter'ın kitabına bakın)
Belirli bir A olayının olasılığı , not edildiği gibi, olayın meydana geldiği 0 ile 1 arasında bir değerle ilişkilendirilir. Ne zaman olay olduğu söylenir, neredeyse kesin (ya da neredeyse kesin), işte bu oluyor ait “her fırsatta” olduğunu söylemektir. Tersine , A'nın ihmal edilebilir (veya neredeyse imkansız) olduğu söylenirse , yani gerçekleşme şansı sıfırdır.
Bir A olayının olasılığı, özellikle bir deneyi birkaç kez gerçekleştirmenin ve deneyin başarılarının sayısını saymanın mümkün olduğu durumlarda, sık sık bir şekilde elde edilebilir. Gerçekten de, n kez bağımsız olarak bir deney yaparsak ve durumların n A zamanında A olayı gerçekleşirse, o zaman A'nın olasılığı şu şekilde verilir: . Daha olasılıklı olarak, deneyin olası sonuçlarının sayısı sonlu olduğunda ve bu sonuçlar eşit derecede olası olduğunda, A'nın olasılığı şu şekilde elde edilir: .
Matematiksel olarak A olayı , olası tüm olasılıkları temsil eden bir Ω kümesinin bir alt kümesidir . Bir teori elde etmek için, Kolmogorov tarafından aksiyomlar önerildi : olasılık şunları doğrulamalıdır:
Bu açıklama sayesinde birçok kavram matematiksel olarak yazılabilir.
Birinci olayın olasılığını bilmek, ikinci olayın olasılığını tahmin etmemize yardımcı olmazsa ve bunun tersi de geçerliyse , iki olayın bağımsız olduğu söylenir . Matematiksel olarak şöyle yazılır: . Örneğin, ilk zar atıldığında bir as gelme olasılığı ve ikinci zar atıldığında bir as gelme olasılığı, iki olasılığın çarpımıdır ve 1/36'ya eşittir.
(Bunu göstermek bir olayın olasılığını dikkate almak mümkündür A ) koşullu diğerinde ( göstermektedirler B ). İki olay bağımsız olmadığında, birinin olasılığını bilmek, diğerinin olasılığını aşağıdaki formülle etkiler: . Örneğin, ilk zar 6 olduğunda iki zarın toplamının 12'ye eşit olma olasılığı 1/6'dır.
Her türlü olasılığı hesaplayabilmek için formüller mevcuttur. Bu, böyledir Poincare formülü , toplam olasılık yasası ve Bayes teoremi .
Pascal cesaret Christian Huygens yayınlanan De ratiociniis içinde ludo aleae Bu kitap olasılık üzerinde ilk büyük eseridir 1657 yılında (zar oyunları akıl). Umut kavramını tanımlar ve oyunlarda veya sandıklarda yapılan kuralarda kazanımların paylaşılmasıyla ilgili çeşitli problemler geliştirir. İki kurucu eserler de dikkatle izlenmesi gerekir şunlardır: Ars Conjectandi tarafından Jacques Bernoulli (ölümünden sonra, 1713) kavramını tanımlayan rasgele değişkenin ilk sürümünü verir Büyük Sayılar Yasası ve olasılık teorisi tarafından Abraham de Moivre (1718) hangi kombinatoriklerin kullanımını genelleştirir .
Klasik olasılık teorisi, yalnızca Émile Borel'in 1897'de tanıttığı ölçü ve ölçülebilir kümeler kavramlarıyla gerçekten yola çıkıyor . Bu ölçü kavramı, Henri Léon Lebesgue ve onun entegrasyon teorisi tarafından tamamlandı . Merkezi limit teoreminin ilk modern versiyonu 1901'de Alexander Liapunov tarafından verildi ve modern teoremin ilk kanıtı 1910'da Paul Lévy tarafından verildi . 1902'de Andrei Markov , büyük sayılar yasasının genelleştirilmesini üstlenmek için Markov zincirlerini tanıttı. birbirine bağlı bir dizi deneyim için. Bu Markov zincirleri, diğerlerinin yanı sıra, dağıtımı modelleme veya Google'daki web sitelerini indeksleme gibi birçok uygulamayı bilecektir .
1933 yılına kadar olasılık teorisi bir dizi çeşitli yöntem ve örnekten ortaya çıktı ve Kolmogorov tarafından aksiyomlaştırılan gerçek bir teori haline gelmedi .
Kiyoshi Itô , 1940'larda kendi adını taşıyan bir teori ve bir lemma kurar.Bunlar stokastik hesap ile kısmi diferansiyel denklemleri birbirine bağlamaya izin verir , böylece analiz ve olasılıklar arasındaki bağlantıyı kurar . Matematikçi Wolfgang Doeblin , taburunun yenilgisinden sonra intihar etmeden önce benzer bir teori taslağı çizmişti.Haziran 1940. Eserleri 2000 yılına kadar açılmayan kapalı bir zarf içinde İlimler Akademisi'ne gönderildi.
aksiyomatikBaşında XX inci yüzyılın Kolmogorov kaza araştırmak amacıyla matematiksel aksiyomlar tanımlar. Böylece o denilen olasılıklar alanı oluşturur evren diye adlandırılan evrenin alt kümelerini içeren bir dizi ile sağlar, tüm olası şansını içeren, kabile ve birlikte olasılık ölçüsü mümkün tekabül hesaplamak için yapar olasılıklar. Bu şekilde oluşturulan uzay , üç olasılık aksiyomunu karşılar:
Şansı daha iyi ele alabilmek için rastgele bir değişken kullanmak uygundur . Gerçek olabilir , ama aynı zamanda çok boyutlu , hatta daha genel olabilir. Bu gerçek değişken, teoride bir uygulamadır: her tehlike , deneyin sonuçlarını birleştirir .
Bu değişken , bir ölçü olan olasılık kanunu tarafından verilen değerlerinin dağılımına sahiptir . Sonuncusu birçok şekilde temsil edilebilir, en yaygın olanı dağıtım fonksiyonu , olasılık yoğunluğu (varsa) veya varsa kütle fonksiyonunun kullanılmasıdır . Olasılık yasalarının ve dolayısıyla rastgele değişkenlerin birçok özelliği incelenebilir: beklenti , momentler , çeşitli değişkenler arasındaki bağımsızlık , vb.
Yakınsama ve limit teoremleriSonsuz sayıda rastgele değişkeni düşünmek mümkündür . Bu durumda, olası bir sınır var mı? Rastgele yakınsama kavramı sorusu o zaman ortaya çıkar. : Birkaç convergences türü vardır hukukta yakınsama (bir ölçü olarak) değişkenin hukuk yakınsama olduğunu, olasılıkta yakınsama , neredeyse kesin yakınsama hatta ortalama yakınsama .
O zaman birçok limit teoremi vardır. En iyi bilinenleri şunlardır: ilk n rasgele değişkenin ortalamasının, rasgele değişkenlerin genel yasasının teorik ortalamasına yakınsadığını bildiren büyük sayılar yasası; merkezi sınır teoremi rastgele değişkenlerin toplamı doğru renormalizasyona verir, önemsiz olmayan bir sınır olması.
Stokastik hesabı rastgele zaman içinde geliştikçe fenomenlerin çalışmadır. Zaman ayrık bir şekilde, yani tamsayı değerleriyle modellenebilir: bu durumda fenomen (sonsuz) bir rastgele değişken dizisi ile temsil edilir: bu bir rastgele yürüyüştür . Zaman da sürekli olarak modellenebilir, yani gerçek değerlerle veya , o zaman stokastik bir süreçtir .
Daha sonra birkaç özellik stokastik hesapla bağlantılıdır: Markov özelliği , olgunun gelecekteki hareketinin geçmiş harekete değil, yalnızca şimdiki duruma bağlı olduğunu duyurur; nüks ve Markov zinciri geçicilik dönüş ya da belirli bir halde tek geçiş sağlamak; Bir martingale gelecek bölge vb, halen mevcut, ortalama olarak belirlendiği bir yöntem şekildedir
Olasılık doktrini, aksi bilinen probabilism , sırasında geliştirilen bir Katolik ahlaki teoloji olan XVI inci diğerleri arasında, etkisi altında, yüzyılın Bartolomé de Medina ve Cizvitler . Olasılık doktrini ortaya çıkması ile, bu terim sonuçta ortasına belirlemek için bir semantik kayma göreceksiniz XVII inci yüzyılın bir fikrin muhtemel karakterini.
Bir görüş olasılığı daha sonra orta belirler XVII inci yüzyılın, olasılık olduğu bir gerçek görüşüm. Bu sonuna kadar değildi XVII inci olasılık kavramı sadece daha görüşler ve fikirler değil, aynı zamanda gerçekleri ilgili olacaktır ve bugün biliyoruz ki tesadüfler kavramına yaklaşım olacağı, matematiksel olasılık ortaya çıkması ile, yüzyılın.
Rastgele bir fenomeni incelerken, bu fenomenle ilgili olasılık kavramına yaklaşmanın birkaç yolu vardır.
O zaman felsefi bir kavram ortaya çıkar: Doğayı ve çevremizdeki dünyayı yalnızca deneyimlerimiz ve bakış açımız aracılığıyla bildiğimiz için, onu yalnızca öznel olarak biliriz ve onları yöneten nesnel yasaları tam olarak tahmin edemeyiz.
IPCC , raporlarının karar vericiler için özetleri için kalibre edilmiş doğal dili kullanır.
Bir sonucun değerlendirilmiş olasılığını belirtmek için şu niteleyiciler kullanılmıştır: neredeyse kesin (%99-100 olasılık), çok olası (%90-100), olası (%66-100), yaklaşık olarak olası değil (33 %66'ya kadar), olası değil (%0 ila %33), pek olası değil (%0 ila %10), istisnai olarak olası değil (%0 ila %1). Değerlendirilen olasılık italik olarak belirtilmiştir: örneğin çok olası ... Uygun olduğunda diğer niteleyiciler de kullanılabilir: son derece olası (%95 ila %100), olası değil (> %50 ila %100), olasıdan daha fazla ( 0 ila <%50) ve son derece olası değil (%0 ila 5). Son olarak, bu Rapor ayrıca, bir sonucun değerlendirilen olasılığının %17 ila 83 veya %5 ila %95 aralığında olduğu anlamına gelen “olası aralık” ve “çok olası aralık” ifadelerini de kullanır. "
Kumar, olasılığın en doğal uygulamasıdır, ancak olasılığa dayanan veya olasılığı kullanan başka birçok alan vardır. Bunlar, diğerleri arasında şunları içerir:
Olasılıklara yaklaşmanın birkaç yolu vardır: a priori hesaplama ve a posteriori hesaplama . ( yukarıdaki olasılıkların yorumlanması bölümüne bakınız). A posteriori olasılıkların hesaplanması , Bayes teoremi sayesinde bilinmeyen olasılıkların değerlerinin atfedilmesine karşılık gelir .
Olasılıkları tahmin etmek için, istenen değişkene daha iyi yaklaşmak için istatistiksel tahminciler kullanılır. Tahmin edici, toplam çalışma popülasyonunun bir örneğinden hesaplanan bir değerdir. Bir tahminci iyi seçilmiştir, yani eğer yansız ve yakınsak bir tahmin edici ise aranan değerlerin iyi bir tahminini verecektir; olduğu, aritmetik ortalama yaklaşımlar , teorik ortalama ve tahmin yakınlaşıyor örnek büyüklüğü arttıkça doğru rasgele değişkene. En çok olabilirlik yöntemi mümkün iyi tahmincisi seçim yapar.
Bu yöntemlerle, incelenen fenomenle ilişkili bir olasılık yasasının bilinmeyen parametrelerini bulmak mümkündür.
Bayes revizyonu, sonsal olasılıkları hesaplamak için başka bir yöntemdir . Bu Bayes teoremi sayesinde yapılır : Bu formülde, hipotez , rastgele fenomen hakkında a priori varsaydığımızı temsil eder , ispat , fenomenin bildiğimiz ve ölçebildiğimiz bir parçasıdır. Terim denir olasılığı . Bu şekilde ispatı dikkate alarak kurduğumuz hipotezin a posteriori olasılığını ölçmek mümkündür .
örnek 1Ampirik frekans, olasılıkları tahmin etmek için kullanılır. n bireylik bir örneklemde, bireyin aranan A kategorisine kaç kez ait olduğunu saymak yeterlidir . Bu sayıyı n çekilişleri arasına not ederek frekans istenilen olasılığa yakındır . Bu 198 kez yan görünürse 400 jeton fırlatır de, yüz , o zaman elde etme ihtimali olduğu sonucu yüzü yaklaşık . Bu, büyük sayılar yasasının özel bir durumudur . 0,495 tahmini değeridir .
Örnek 2Bir değerler listesi biliniyor, ortalama m'si bilinen normal bir dağılıma sahip olduğu varsayılıyor . Soru, normal dağılımın standart sapmasını σ bulmaktır . İstatistik T ile tanımlanan bir tahmin olup σ , yani, eğilimi σ olarak N sonsuza eğilimindedir.
Örnek 3Yarın havanın nasıl olacağını merak ediyoruz, hava durumu tahmini ek bilgi veriyor. Bazı veriler bilinmektedir: İyi hava tahmininin kendisinin gerçekten iyi olacağını bilme olasılığı : İyi hava tahmininin yağmur yağacağını bilme olasılığı: .
Bir hipotez seçilir: örneğin , yani, a priori olarak , yarın havanın güzel olacağı ihtimalinin ikide bir olduğunu düşünüyoruz.
Bu durumda hava tahmininin iyi hava durumunu duyurma olasılığını hesaplamak mümkündür: yani, hava durumu tahminlerinin vakaların %55'inde iyi havayı bildirdiğidir. Hava tahmininin iyi hava durumu bildirdiğini bilerek yarın havanın güneşli olma olasılığı şu şekilde verilir:
Daha sonra, farklı bir kaynaktan ikinci bir hava raporuna bakarak havanın güzel olacağı varsayımını ikinci kez revize etmek mümkündür. Daha sonra yeni bir hipotez olarak yeni hesaplanan iyi bir havaya sahip olma olasılığını alırdık.