Merkatör çıkıntı veya Merkatör projeksiyonu a, kartografik projeksiyon için "silindirik", teğet olarak bilinen Dünyanın, ekvator arasında karasal dünya Flaman coğrafya şekillendirilmelidir düz haritada Gerardus Merkatör 1569'da.
Deniz yolculuğundaki hassasiyeti sayesinde dünyada referans bir planisphere olarak kendini kanıtlamıştır . Bu, stricto sensu, değil, merkezi çıkıntı enlem noktası: cp tahmin edilebileceği şekilde ordinat orantılı bir noktada, gönderilmez tan ( cp ) ancak ordinat ile orantılı bir noktada ln [tan (cp / 2 + π / 4)] .
Mercator izdüşümü uyumlu bir izdüşümdür , yani açıları korur . Ancak mesafeler ve alanlar üzerinde deformasyon etkisi vardır . Aslında, ekvatordan kutuplara doğru gidildikçe bir bozulma artar . Bir Mercator haritası bu nedenle kutupları kaplayamaz: sonsuz büyüklükte olurlar. Örneğin bu, Afrika ve Grönland arasında 14 kat daha büyük bir yüzey eşitliği vizyonuyla sonuçlanır .
Ortogonal bir tuval üzerinde temsil ilkesi, Dicearque , Strabo tarafından çizilmiş ve Marinos of Tire tarafından kullanılmıştır . O da tanınıyordu Çince için X inci yüzyıl.
Ait navigasyon dileği XVI E yüzyıla takip rotayı bilmek oldu sabit başlığın en başka dünyanın bir noktadan alır. Bu navigasyon sistemi en kısa yolu (yani büyük daireyi ) kullanmaz, ancak pusula ile navigasyon yapmanızı sağlar. Büyük daire (en kısa yol) ve kerte çizgisi (sabit yönü olan yol) arasındaki bir uzlaşma, bir kerte çizgisi ile büyük bir dairenin birkaç noktasını birleştirmeyi mümkün kılan bir yörüngedir. Bunu yapmak için açıları korumayı ve böylece kerte çizgilerini kolayca çizmeyi mümkün kılan bir harita istendi. Aslında antik çağlardan beri, açıları koruyan karasal kürenin projeksiyonları vardı: stereografik projeksiyonlar , ancak meridyenleri paralel çizgilere dönüştürmediler ve böylece bir kerte hattının inşasını zorlaştırdılar. Bu nedenle denizciler, meridyenlerin eşit uzaklıkta paralel çizgilerle ve paralellerin meridyenlere dik çizgilerle (yani doğrudan silindirik bir izdüşüm) temsil edileceği karasal kürenin kartografik bir temsilini istediler. Ayrıca bu izdüşümün uyumlu olmasını , yani açıları korumasını istediler .
Mercator göreve başladı ve 1569'da denizcilerin iki gereksinimini neredeyse karşılayan bir harita sağladı. Mantığını tam olarak bilmiyoruz, ama onu yeniden inşa edebiliriz. Küreye teğet bir silindir kullanmaz ve merkezi bir izdüşüm yapmaya çalışmaz, ancak tüm meridyenlerin paralel ve eşit uzaklıkta olduğu ve tüm paralellerin meridyenlere dik olduğu bir ızgara haritası oluşturur. φ enleminde , paralelde bir deformasyon var - aslında, Dünya'da, φ enlemine paralelin uzunluğu ekvatordan bir faktör cos ( φ ) daha küçüktür, haritada, yapım gereği, tüm paraleller Aynı uzunluk. 1 / cos ( φ ) apsisindeki bu deformasyon, açıların korunumu isteniyorsa, ordinat üzerinde yeniden oluşturulmalıdır. Bu eşitliğe yol açar
Açılar radyan cinsinden ifade edildiğinde, bu diferansiyel denklemin çözümü vardır:
Ancak XVI inci yüzyıl, hesabı henüz doğmamış ve doğal logaritma fonksiyonu henüz çalışılmamıştır. Bu Merkatör ° 5 bir basamak ile çeşitli paralel yerini oluşturur bu ayrık toplamı ile bu nedenle: enlem paralel ise φ ı bir mesafede haritada yerleştirilir y ı ekvator paralel gelen φ i + 5 bir mesafede haritada yerleştirilir y i + 5 / cos ( φ i ) .
1569'da yayınlanan haritası, belirsizliğine rağmen, belli bir başarı ile karşılandı. Modeli daha sonra Edward Wright tarafından 1599'da Navigasyondaki Kesin Hatalar'da 1'den daha ince bir adım atılarak geliştirildi.
Wright'ın hesaplaması ile logaritma tabloları (Henry Bond c. 1645) arasında bağlantı ancak logaritmaların icadından sonra yapıldı ve tam formül kuruldu. Bu, 1668'de James Gregory ve 1696'da Edmund Halley tarafından matematiksel olarak gösterildi .
Çoğu deniz haritası Mercator projeksiyonunu kullanır. Bu uyumlu izdüşüm, açıları (pusula ile ölçülen açıların doğrudan haritaya aktarılmasına izin verir ve tam tersi) korur, ancak mesafeleri (haritanın enlemle değişen ölçeği) veya yüzeyleri (izdüşüm eşdeğerinin aksine) korumaz. . Mercator haritasındaki herhangi bir düz çizgi, sabit bir azimut çizgisidir , yani bir kerte çizgisidir . Bu, bu şekilde tanımlanan yol genellikle geniş bir daire üzerinde olmasa ve bu nedenle en kısa yol olmasa bile , onu denizciler için özellikle yararlı kılar . Yolculuğun uzunluğu nedeniyle bu gerekli olduğunda (örneğin San Francisco - Yokohama) ortodromi Mercator haritasında gösterilebilir. İzlenecek rotayı çıkarıyoruz.
Mercator'un navigasyona yönelik çalışmasından esinlenilen geleneksel haritaların ana hatası, dünyanın farklı bölgelerinin işgal ettiği alanlar ve dolayısıyla halklar arasındaki ilişkiler hakkında hatalı bir fikir vermeleridir. Yani :
Bu deformasyonların üstesinden gelmek için, Arno Peters , göreceli alanları koruyan silindirik bir projeksiyon (Mercator'daki gibi) önerdi: Peters projeksiyonu . Öte yandan , artık uyumlu değil , yani kıtaların açılarını ve dolayısıyla şeklini korumuyor.
Mercator projeksiyonu doğrudan silindirik tipte bir kartografik projeksiyondur, yani bir Mercator haritasındaki bir noktanın x ve y koordinatları , formun denklemleriyle enlem φ ve boylam λ'dan ( haritanın merkezinde λ 0 ile ) belirlenir.
Dünya bir küre ile modelleniyorsa, denklemler:
burada boylamlar ve enlemler radyan cinsinden ifade edilir. Bunlar derece cinsinden ifade edildiğinde, π / 180 ile çarpma ile bir dönüşüm gereklidir.
gösteriSilindirik bir izdüşüm kullandığımız için x, λ'nın afin bir fonksiyonudur ve y sadece φ'ye bağlıdır. Dönüşüm uyumlu olduğundan, Dünya üzerindeki sonsuz küçük bir dikdörtgen, haritadaki görüntüsüne benzer olmalıdır. hangi vermek
Ve seçtiğimizden beri
Bulduk
sonra entegre ederek
Mercator işlevi veya artan enlemler işlevi olarak bilinen işlev , Gudermann işlevinin tersidir .
Dünya'nın eksantrikliği e ile oldukça elipsoid bir şekle sahip olduğu gerçeğini hesaba katarsak , bir düzeltme yapılmalı ve o zaman denklemler:
0101H karasal düzlem küresinde harita 1:40.000.000 ölçeğindedir ve 65 ° batı merkezlidir. Bu nedenle ölçek, dünyanın çevresini 40.000 km olarak alarak , 100 cm'nin 2 π radyanı temsil ettiğini , dolayısıyla n'nin değerinin 50 / π veya yaklaşık 15.9 olduğunu belirtir . λ 0 değeri 65 ° 'dir. 45 ° enleminin paraleli bu nedenle ekvatordan 15.9 × ln (tan (67.5 °)) cm veya yaklaşık 139 mm uzaklıkta olacaktır. Eliptik modelin düzeltilmesini hesaba katmak gerekeceğinden küçük bir fark vardır.
Bu makaleyi gösteren haritayı düşünün (piksel olarak h = 724 yüksekliğinde ve w = 679 genişliğinde ). Harita, enlem ve boylam 0 noktasında ortalanır. Piksel (0,0) sol üsttedir.
λ boylamını (derece olarak) temsil eden yatay pikselin konumunu elde etmek için daha önce verilen formülü uygulamak yeterlidir:
.
φ enleminin dikey pikselinin (radyan cinsinden) konumunu elde etmek için: