İçinde temel matematik , üç kural veya orantılılık kural a, matematiksel yöntem bir belirlemek için dördüncü orantılı . Daha kesin bir ifadeyle, üç sayı bir , b ve c verilen, üç kural sayısı bulmak için, çapraz ürünlerinin eşitlikten sağlar, d şekilde ( a , b ) bir oransal için ( c , d ) . Bu d sayısı şuna eşittir :.
Adını üç sayı ( a , b ve c ) içeren bir işlemin varlığından alır .
Üç kuralı, zaman içinde sabit hızda kat edilen mesafeler, ev ekonomisinde ağırlığa göre ödenecek fiyat veya laboratuvar teknolojisindeki dozaj sorunları gibi orantılılık sorunlarını çözmek için kullanılabilecek bir yöntemdir . Özellikle yüzdelerin hesaplanmasında, birim dönüştürme problemlerinin çözümünde , Thales teoreminin uygulanmasında veya koordinatlarını kullanarak düzlemin iki vektörünün eşdoğrusallığının karakterizasyonunda bulunur .
Üç kuralının sunulma şekli ve Fransız eğitiminde yer aldığı yer zaman zaman değişiklik göstermiştir. Onun öğrenmesiyle ortaya çıkan soru, tarifler sağlayan bir öğretimin destekçileri ile yapım aşamasında olan anlaşılır bir bilgiyi sunan bir öğretimin destekçileri arasındaki bir çekişme noktasıdır.
Ekonomide satın alınan miktara göre ödenecek fiyat veya haritadaki mesafeler ile yerdeki mesafeler arasındaki ilişkiler gibi iki değişken arasında bariz bir orantılılık olduğunda üç kuralı kullanılır. Yani aşağıdaki üç problem üç kural ile çözülebilir.
Matematiğin anlaşılmasında temel olan bu prosedürü gerekçelendirmenin yolu benzersiz değildir ve zamanla değişmiştir.
Şimdi Fransa'da sık sık bu biçimde sunuluyor. Dört hücreli bir orantı tablosunda, bir köşegendeki terimlerin çarpımı, diğer köşegendeki terimlerin çarpımına eşittir. Bu sonuç, en azından Öklid'den beri aşırılıkların çarpımı ile araçların çarpımı olarak bilinmektedir (soldan sağa ve yukarıdan aşağıya okumada).
Önceki problemleri çözmek için eksik bir orantılılık tablosu oluşturmak yeterlidir:
Kütle, kg | € cinsinden fiyat |
---|---|
2 | 10 |
1.5 | x |
veya
Harita (cm cinsinden mesafeler) | 2 | 12.2 |
---|---|---|
Arazi (km cinsinden mesafeler) | 15 | y |
Çapraz çarpımlar aşağıdaki denklemleri yazmanıza ve çözümlerini bulmanıza olanak tanır
Nihai sonuç böylelikle bir köşegenin iki teriminin çarpımını gerçekleştirerek ve kalan terime bölerek elde edilir.
Bu yöntem daha açıklayıcı bir söylem kurarak üçün kuralını açıklığa kavuşturmayı ve onu "altı kuralı" ile değiştirmeyi mümkün kılar. Ünite boyunca bir adım kullanmaktan oluşur.
Sorun 1 için:
2. sorun için:
Sorun 3 için:
Farklı zamanlarda Fransız okullarında bu formda öğretildi.
Orantılılık katsayısı yöntemi, orantılılık tablolarına benzer bir özellik kullanır : bir orantı tablosunda, bir satırdan diğerine (veya bir sütundan diğerine), orantılılık katsayısı adı verilen sabit bir katsayı ile çarparak gidiyoruz ve kesin bir biçimde kalması gerekiyor. , muhtemelen kesirli.
Yani 1. problem tabloyu sağlar
Kütle, kg | € cinsinden fiyat |
---|---|
2 | 10 |
1.5 | x |
İlk sütundan ikinci sütuna gitmek için orantılılık katsayısı 5 veya karakterdir . 1.5'ten aranan sayıya çıkmayı mümkün kılan da aynı orantılılık katsayısıdır. Bu nedenle aranan sayıdır .
Benzer şekilde, ilk satırdan ikinci satıra gitmek için orantılılık katsayısı da karakterdir . 10'dan aranan sayıya gitmeyi mümkün kılan aynı orantılılık katsayısıdır. Bu nedenle aranan sayıdır .
Üç kuralının kullanılması, ilgili miktarlar arasında bir orantılılığın varlığının tesis edildiğini varsayar. Üniversite Öğretmen Eğitimi Enstitüleri (IUFM) bu tuzaktan yükseltmek: üç kural orantılılık kavramını önce olamaz.
Dört kutulu bir tablonun doldurulması, orantılılığın varlığını garanti etmez ve bunun gibi yanlış yorumlamalara yol açabilir
Bir dizi oluşturmak her zaman mümkündür
Çalışan sayısı | 4 | 6 |
---|---|---|
Gün olarak zaman | 9 | ? |
Ancak üç kuralını uygulamaya başlamadan önce orantılılığı kontrol etmek gerekir. Burada doğrulama, yalnızca "işçi sayısını ikiye katlarsak çalışma süresi ikiye katlanır mı?" Sorusundan ibarettir. " . Normalde, sağduyu tepkisi hayır demektir ve üç kuralı doğrudan uygulanmaz (bkz. Üçün tersi kuralı ).
François Drouin, orantılılık fenomeninin nadir olduğunun altını çiziyor ve iç ekonomide bile, satın alınan miktar ile ödenen fiyat arasında her zaman orantılı olmadığı gerçeğini hatırlatıyor. "Sabit hızda" , "sabit birim fiyatta" , "sabit akışta" hassasiyet, ifadede genellikle söylenmeden bırakılır. Zaten XVIII inci yüzyılın , Diderot ve d'Alembert kendi içinde ansiklopedi , parmağı Bu kısıtlamayı işaret onlara değil gibiydi belirten makul bir tank sabit bir oranda boşaltılmış edilebileceğini hayal etmek ve bu nedenle düşünülmesi gerçekçi değildir Bir sarnıcı boşaltmak için gereken süre, içerdiği su hacmi ile orantılıdır.
Dörtten fazla kutudan oluşan orantı tablosu, diğer tekniklerin geliştirilmesine de izin vererek dördüncü bir orantıyı belirlemeye olanak tanır. Yani 1. problem için, 4 kat daha az meyve alarak 4 kat daha az euro ödememiz gerektiğini gözlemleyebiliriz. Bu nedenle ara tabloyu oluşturuyoruz:
Kütle, kg | € cinsinden fiyat |
---|---|
2 | 10 |
0.5 | 2.5 |
Orantı tablolarındaki özellikler, iki satır ekleyerek veya çıkararak yeni bir çizgi oluşturabileceğimizi söylememize izin verir. Böylece, önceki iki doğrunun çıkarılmasıyla sorunun hat çözümünü oluşturabiliriz:
Kütle, kg | € cinsinden fiyat |
---|---|
2 | 10 |
0.5 | 2.5 |
2 - 0.5 = 1.5 | 10 - 2,5 = 7,5 |
Üç kuralı, bölümlenebilir miktarlar , ondalık, kesirli veya gerçek sayılar için geçerlidir. Miktarlardan biri bölünemediğinde kullanmak zordur: bir odanın duvarlarını boyamak için gereken boya tenekesi sayısı, belirli bir miktar parayla satın alınabilecek nesne sayısı. Sonuç tam sayı nesneler veya kaplar olarak sağlanacaksa, üç kuralının uygulanmasıyla elde edilen sayının sorunun mantığına göre fazlalık veya varsayılan olarak yuvarlanması sorunudur.
İki miktarın tamsayı olduğu da olabilir. O zaman orantılılık kuralı doğrulanmaz. Yani sorun
Önceki sorunların üçlü bir kuralla değil, Öklid bölünmelerinin kullanılmasıyla çözülmesi gerektiği gibi görünen bir durum .
Üç kuralını uygulamak,
177'ye yuvarlansa bile doğru sayıda kolye vermezdi.
Verilerdeki artışla orantılı olarak azalan miktarlar vardır. Örneğin, 15 işçinin 12 günde kaldırabildiği belirli bir duvarı 10 işçinin inşa etmesinin ne kadar süreceğini sorarsak, böyle bir duvar inşa etmenin 15 × 12 = 180 erkek × gün; büyük ölçüde insan sayısından veya mevcut zamandan bağımsız olan, ancak yalnızca duvarın boyutuna bağlı olan çalışma. Dolayısıyla, aranan zaman t şöyle olmalıdır: 10 × t = 180 dolayısıyla t = 18 gün. Özetle, bu durumda üç kuralı yazılır:
Bu nedenle cevap, 10 işçi için 18 gündür.
Bazen iki bağlantılı "üç kural" veya daha fazlasını içeren orantılı problemlerle karşılaşıyoruz. İşte bir örnek:
Günde 8 saat çalışan 18 işçi, 10 günde 150 m'lik bir caddeyi asfaltladı . 75 m uzunluğundaki bir caddeyi 15 günde döşemek için günde 6 saat çalışan kaç işçiye , bir öncekiyle aynı genişlikte olduğunu soruyoruz .
Lagrange şu kuralı önerir: "Bir miktar aynı anda artarsa, bir veya daha fazla başka miktarın artması ve diğer miktarların azalması oranında artarsa, önerilen miktarın arttığını söylememizle aynı şeydir. Aynı anda artan miktarların çarpımı, aynı anda azalanların çarpımına bölünür. "
Az önce verilen örnekte, aynı yol genişliği için,
Yani sayısının N işçilerin verilir, gosterilecektir: .
Dördüncü orantılı arayışı zaten bulunan izlerin beri çok eski bir sorundur Elements of Euclid . Bu kişi, V kitabında, orantılı nicelikler kavramını ve nicelikler arasındaki mantık kavramını inceler: 4 nicelikler a, b, c, d orantılıdır, eğer a'dan b'ye, c'nin d'ye ne olduğu. : Bugünlerde biz yazardım - a ve b arasındaki sebebi c ve d arasındaki oran eşitse Yani, demek ki . VII kitabında, tam sayılar arasındaki oranlara ilişkin kuralı kurar: dört sayı, ancak ve ancak birincinin dördüncü ile ikinci çarpımının üçüncünün ürününe eşit olması durumunda orantılıdır. Bugün çarmıhtaki ürünlerin eşitliği olarak adlandırılan bu kural, aynı zamanda şu ifadeyle de çevrilmiştir: aşırılıkların ürünü, araçların ürününe eşittir. Dördüncü orantılı araştırmanın daha sonra inşa edildiği bu kuraldır. Bununla birlikte, Öklid'in aynı nitelikteki miktarlar (kitap V) veya tam sayılar (kitap VII) üzerinde çalıştığını fark edebiliriz. Ancak daha sonra bu özellik , bugün rasyonel sayılar olarak adlandırılan kırık (veya kesirli) sayılara genelleştirildi .
Terimi "üç kural" 1520 yılından bu yana Fransa'da onaylanmış ancak muhtemelen gelen mevcut olan XIII inci yüzyıl . Kitabında Yeni oluşan Aritmetik , Estienne de La Roche o olarak tanımladığı bu kurala bir bütün bölüm ayırıyor "en güzeli" ve altın kuralın lakabını belirtir. Üç sayı ile ilgili verdiği bir reçetedir, öyle ki birinci ve ikinci arasındaki oran, üçüncü ile dördüncü arasındaki oranın aynısıdır. Burada birimler önem kazanıyor: Birinci ve üçüncü sayının aynı nitelikte olması gerektiğini ve ayrıca ikinci ile dördüncü sayının aynı nitelikte olması gerektiğini belirtiyor. Böyle bir durumda, birinci sayının dördüncü ile çarpımının, ikinci sayının üçüncü ile çarpımına eşit olması gerektiğini hatırlıyor. Daha sonra kuralı belirler:
1710'dan itibaren tarif, François Barrême'nin L'Arithmétique du sieur Barrême kitabının sayısız baskısı veya aritmetiği kendi başınıza ve usta olmadan öğrenebileceğiniz kolay kitap tarafından popüler hale getirildi . Barrême, teraziler adı altında gelecek nesillere aktarılan pratik hesaplama çalışmalarının ve yazışma tablolarının yazarıdır.
Onun incelemesinde, aşırılıkların ve araçların ürünü ile gerekçelendirme ortadan kalktı. Geçirmez hesaplama doğruluğu başlangıç numaralardan birini bulmak için üç aynı kuralı kullanarak oluşur. Sadece tarifin ifadesi kalır. Orantılılığın varlığı söylenmez. Öte yandan Barrême, manipüle edilen sayıların doğası konusunda çok ısrar ediyor ve de La Roche gibi, birinci ve üçüncü sayının, dördüncü ile ikinci sayı gibi aynı nitelikte olması gerektiğini belirtiyor. Bu kuralı, ona matematik alanında aklın bir zaferini temsil ediyor gibi göründüğünü belirten "akıl kuralı" olarak adlandırdı.
Diderot ve d'Alembert gerçek bir orantılılığın varlığından daha çok Barrême'den daha fazla meşgul olsalar bile , Encyclopédie'nin makalesinde bu aynı tarif niteliğini buluyoruz . Bu kitapta da buna "altın kural" deniyor.
XIX E yüzyılın ilk yarısında ruhlar değişir, kuralın anlaşılması için gerekli oranlar teorisi ikinci planı alır. 1810'da Antoine André Louis Reynaud, orantılı veya ters orantılı vakaları aynı şekilde ele almasına izin veren birliğe geri dönmeyi içeren yeni bir yöntem önerdi.
Önsözde , "sorunları çözmek için tamamen yeni bir yöntem" önereceğini duyurdu . Amacı eğitimdir: Üçün kuralına ve varyantlarına ilişkin çok sayıda kuralın, fenomenin ustalığını gizlediğini fark etti. Ters orantılı büyüklükler söz konusu olduğunda, yansıma olmadan uygulanan kuralın anormal sonuçlara yol açtığının farkındadır. Bu nedenle, tarifi "Anlamadığımız kuralları kolayca unuturuz, ancak yargılamaya emanet edilen yöntemler hafızadan asla silinmez" diye bir mantık yürütmeyi hedefliyor. Yöntem popülerdir, birliğe indirgeme adı altında kullanımı, ilk müfettişler tarafından teşvik edilir ve okul kitaplarında gelişir. Yüzyılı aşkın bir süredir ilköğretimin tüm sorunlarında, özellikle de eğitim sertifikasının kraliçe sınavında kullanılacaktır .
1960'lar ve 1970'ler modern matematiğin ortaya çıkışına tanık oldu . Bu reformun altında yatan fikir, hesaplama kurallarının ötesinde, düşünceyi daha da yapılandırmayı mümkün kılan daha soyut bilgi ve teknik bilginin olmasıdır. : Üç kural için tarifi daha genel bir kavram lehine terk edileceğini doğrusallığı . Bir kuraldan ziyade, öğrenci tarafında özerklik ve inisiyatif gerektiren çok çeşitli türlerdeki egzersizlerde manipüle etmek için bir araç, orantılılık öneriyoruz. 1963'te, Halk Eğitiminde Matematik Öğretmenleri Derneği'nin (APMEP) üyesi olan Gilbert Walusinski , Bulletin de l'APMEP'te " Üçün kuralı gerçekleşmeyecek" bir makale yazdı . N o 231 Mayıs-Haziran, üçlü kuralın otomatizmini eleştiriyor ve öğrencilerin eleştirel ruhunu harekete geçirmeye izin veren durumlarda problemler öneriyor. Bu başlık, Matematik Eğitimi Araştırma Enstitüsü (IREM) tarafından 1970'lerde dağıtılan ve gelecekteki öğretmenleri üçlü kuralının yararsızlığına ikna etmeyi amaçlayan bir filmde tekrarlandı .
Bununla birlikte, 1980'lerin başlarında modern matematik öğretiminin terk edilmesi, geri dönüşünü işaret etmedi. Modaya uygun araç, çapraz çarpım veya orantılılık katsayısı ile birlikte dördüncü bir orantıyı hesaplamak için yöntemler sunan orantılılık tablosu olarak kalır.
Unutulmamalıdır ki, birçok durumda bir hile, çözünürlüğü basitleştirmeye izin verir; bu nedenle, yukarıda açıklanan 3. problemde, 10 ve 15'in 5'in katları olduğuna dikkat çekerek, bu nedenle:
Bununla birlikte, dördüncü orantılıyı bulmak için öğrenciye bırakılan bu özerklik, ters bir etkiye neden olur: Özerkliği olmayan öğrenci, kendisini basit bir orantılılık problemini çözmek için etkili bir araçtan yoksun bulur. Hemşirelik okullarındaki eğitmenler gibi bazı meslek çevreleri, 1996'da endişelenmeye başladı.
2008'de, temel bilgiler üzerine bir yansıma aşağıdaki gözlemlere yol açtı: Fransız öğrencilerin matematikteki okul performansı düştü, Pisa değerlendirmesi , en iyi öğrencilerin hala çok iyi performans göstermesi durumunda matematikteki fakir öğrencilerin sayısının çok yüksek olduğunu gösteriyor. Bir çare önerildi: temel araçların ustalığı ancak çok sayıda tekrarlayan alıştırmalarla ve bunların otomasyonuna kadar uygulanan prosedürlerin oluşturulmasıyla ve daha sonra zihnin nihayetinde daha fazla muhakeme, karmaşıklığı manipüle etmesine izin vererek elde edilebilir. Üç kuralı daha sonra ilköğretimin müfredatında yeniden ortaya çıkar, ancak giriş biçimi öğretmenin özgür seçimine bırakılmıştır.