Jung teoremi
İn geometrisi , Jung teoremi bir bir eşitsizlik arasındaki çap bir noktaları bir dizi Öklid alan ve yarıçapı ve minimum sınırlayıcı topun bu kümenin. 1901'de bu eşitsizliği inceleyen Heinrich Jung'un adını almıştır .
Eyaletler
Herhangi bir sınırlı boş olmayan kısmı E ℝ arasında , n bir tek içerdiği kapalı topu en az yarıçapın ve bu yarıçap r çapı ile ilgilidir d = sup bir , b ∈ E ║ b - a ║ 2 parçası E , aşağıdaki eşitsizlikle:
r≤ddeğil2(değil+1).{\ displaystyle r \ leq d {\ sqrt {\ frac {n} {2 (n + 1)}}}.}
Eşitliğin sınır durumuna normal n - simpleks ile ulaşılır .
Gösteri
En küçük yarıçaplı bir top varlığı: herhangi bir noktada, harita E , ilişkilendirir üst sınırı uzaklıkların M noktalarına E , (1 için sürekli Lipschitzian ) ve karşı eğilimi + ∞ zaman M uzağa hareket de sonsuz, böylece minimum r noktasına , böyle bir topun merkezi olan C noktasında ulaşır .
C'nin benzersizliği : medyan teoreminden çıkarılabilir .
Artış: göre Helly teoremine , nerede durumda kanıtlamak için yeterli E sonlu ve cardinality daha az veya eşit , n + 1 us sonra göstersin M 0 , ..., K m ( m ≤ n ) noktaları e olan mesafesi merkezi için C tam olarak r . Değişken bir argümanla kendimizi C'nin dışbükey zarflarına ait olduğuna hemen ikna ederiz . Yani gerçekler var
λ0,...,λm≥0 gibi ∑λben=1 ve VS=∑λbenMben.{\ displaystyle \ lambda _ {0}, \ ldots, \ lambda _ {m} \ geq 0 {\ text {ör.}} \ sum \ lambda _ {i} = 1 {\ text {ve}} C = \ toplam \ lambda _ {i} M_ {i}.}
0'dan m'ye kadar her bir k indeksi için elimizde:
(1-λk)d2=∑ben≠kλbend2≥∑ben≠kλbend(Mk,Mben)2=∑ben=0mλbend(Mk,Mben)2=∑ben=0mλben(2r2-2VSMk→⋅VSMben→)=2r2{\ displaystyle (1- \ lambda _ {k}) d ^ {2} = \ toplamı _ {i \ neq k} \ lambda _ {i} d ^ {2} \ geq \ toplamı _ {i \ neq k} \ lambda _ {i} d (M_ {k}, M_ {i}) ^ {2} = \ toplam _ {i = 0} ^ {m} \ lambda _ {i} d (M_ {k}, M_ { i}) ^ {2} = \ sum _ {i = 0} ^ {m} \ lambda _ {i} (2r ^ {2} -2 {\ overrightarrow {CM_ {k}}} \ cdot {\ overrightarrow { CM_ {i}}}) = 2r ^ {2}}
dolayısıyla, ekleyerek:
md2≥2(m+1)r2 bu nedenle d22r2≥1+1m≥1+1değil,{\ displaystyle md ^ {2} \ geq 2 (m + 1) r ^ {2} {\ text {dolayısıyla}} {\ frac {d ^ {2}} {2r ^ {2}}} \ geq 1+ {\ frac {1} {m}} \ geq 1 + {\ frac {1} {n}},}
hangi sonuca varır.
Uçakta Jung teoremi
Jung teoreminin en yaygın durumu, n = 2 ile Öklid düzlemindedir . Bu durumda teorem, yarıçapı karşılayan tüm noktaları çevreleyen bir daire olmasını sağlar.
r≤d3.{\ displaystyle r \ leq {\ frac {d} {\ sqrt {3}}}.}
Eşitlik durumu bir eşkenar üçgen için elde edilir .
Referanslar
- (tr) Mikhail Katz (en) , " Karmaşık projektif geometride Jung'un teoremi " , QJ Math. , cilt. 36, n, o , 4,1985, s. 451-466 ( DOI 10.1093 / qmath / 36.4.451 )
- (en) BV Dekster , " Küresel ve hiperbolik uzaylar için Jung teoremi " , Acta Math. Sci. Hungar. , cilt. 67, n, o , 4,1995, s. 315-331 ( DOI 10.1007 / BF01874495 )
- (en) BV Dekster , " Eğriliğin metrik uzaylarında yukarı sınırlanan Jung teoremi " , Proc. Acı. Matematik. Soc. , cilt. 125, n o 8,1997, s. 2425-2433 ( DOI 10.1090 / S0002-9939-97-03842-2 )
- (de) Heinrich Jung , " Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschliesst " , J. queen angew. Matematik. , cilt. 123,1901, s. 241-257 ( çevrimiçi okuyun )
- (de) Heinrich Jung , " Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt " , J. queen angew. Matematik. , cilt. 137,1910, s. 310-313 ( çevrimiçi okuyun )
-
(tr) Hans Rademacher ve Otto Toeplitz , Matematikten Zevk: Amatörler için Matematikten Seçmeler , Dover ,1990, 205 s. ( ISBN 978-0-486-26242-0 , çevrimiçi okuyun ) , böl. 16 (planın sınırlı bir kısmı için)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">