Poiseuille akışı

Poiseuille kanunu da bilinmektedir Hagen-Poiseuille yasası tarif laminer akış bir sıvının (paralel sıvı filamentler anlamına gelmektedir) Viskoz bir de tahrik silindir . Bağımsız keşfedilen 1840 Fransız hekim ve fizikçi tarafından Jean-Léonard-Marie Poiseuille ve Prusya mühendis tarafından Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen , bu (kullanımda o zamana kadar, bir akışın ortalama hız kavramının ötesinde krş gitmek için ilk girişimde bulunmak formülleri Chézy ve Prony ).

Bir Poiseuille akışı , bir Poiseuille yasasını izleyen bir akıştır.

Genel olarak, Poiseuille yasası teorik olarak bir akışın akış hızı ile sıvının viskozitesi , borunun uçlarındaki basınç farkı, bu borunun uzunluğu ve yarıçapı arasındaki ilişkiyi belirtir . Bu ilişki, düşük yarıçaplı borularda deneysel olarak doğrulanır ve özellikle akış hızının viskozite ile ters orantılı olduğunu belirttiği için viskozimetrelerde sıklıkla kullanılır .

Yarıçapı R ve uzunluğu L olan bir borudaki akış için şu ifade edilir:

ΔP=8ηLπR4Dv{\ displaystyle \ Delta P = {\ frac {8 \ eta L} {\ pi R ^ {4}}} D_ {v}}

Prensip

Temel ilke, viskozite adı verilen miktarın anlamıdır . Bir diş macunu tüpündeki "sıvı", sudan daha viskoz olan zeytinyağından daha viskozdur . "Daha fazla" veya "daha az" diyebiliriz ama fizikte bunu matematiksel olarak aşağıda Yunanca tek harfle not edeceğimiz "viskozite" gibi niceliklerle denklemlerle ifade ederiz .

Aşağıdaki tüm "akademik" gelişmeler, merkezdeki akış hızının viskozitenin tersi ile orantılı olduğunu gösterecektir (bu çok basit durumlar için).

Viskozitenin, bir basınç ile bir zaman (Poiseuille) arasındaki bir ürün olan bir miktar olduğu unutulmamalıdır . Dinamik bir miktarı (zaman, yer değiştirme) ve mekanik bir basıncı (bir yüzeye uygulanan kuvvet, paskal cinsinden ifade edilen, Pa olarak belirtilen veya metrekare başına Newton cinsinden belirtilen N m −2 ) bir niceliktir .

Bir akış aynı zamanda şekle (tüp, levha vb.) Ve pürüzlülük gibi yüzey özelliklerine bağlıdır.

Bir viskoz Newtonyen sıvı bir küçük çaplı bir boru içinde yavaş akışında ya da plakalar yakın iki arasında ise, içinde Stokes akışı . İlk yaklaşım olarak, boru silindirikse veya plakalar paralelse:

• sıvı akışı her yerde duvarlara paraleldir ( yağlama yaklaşımı );
• duvarlardaki sürtünme, makroskopik ölçeklerde sıvının hızının orada sıfır olduğu anlamına gelir ( kaymaz durum );
• basınç, akışın kalınlığında değişiklik göstermez ( yağlama tahmini ).

Bu üç koşul, akışın bir parabolik hız alanına göre düzenlendiğini ima eder: duvarlarda sıfır hız ve orta yükseklikte maksimum.

Aşağıda, Poiseuille akışına neden olan iki farklı sorunu ele alıyoruz:

• dairesel kesitli ve sabit yarıçaplı bir tüp içindeki akış  ;R{\ displaystyle R}
• iki düz ve paralel plaka arasındaki akış  ; bu hesaplama özellikle viskoz bir sıvıya batırılmış ve belirli bir hızda yaklaşan iki nesne ( örneğin iki disk ) arasındaki kuvvetin değerlendirilmesini mümkün kılar .h{\ displaystyle h}

Ayrıca şu hususlara da dikkat edilmelidir:

• öncekilerden kaynaklanan özel bir durum, bir plaka üzerindeki ince bir tabakanın viskoz akışıdır, öyle ki, üst yüzey serbesttir (açık kanaldaki problemlere benzer problem). Bu durumda, kayma üst yüzeyde sıfırdır ve hız profili, iki plaka arasındaki bir akış için elde edilenle aynıdır, ancak plakalardan biri ile ortam arasındaki profilin yalnızca yarısı dikkate alınır. Kısacası, bir tabak ile Poiseuille "iki tabaklı Poiseuille'in yarısı" dır;
• Poiseuille akışındaki hızların parabolik doğası, boru (veya plakalar) boyunca başka makasların ihmal edilmesinden kaynaklanmaktadır. Akışkan katmanlarının boru içinde birbirine paralel aktığı varsayılır, bu nedenle hız türevinin tek bileşeni, dikey kesit boyunca alınan uzunlamasına hız türevidir (duvarlara paralel). Bununla birlikte, boylamasına eksene paralel olan ve yalnızca enine eksen boyunca değişen bu hız yaklaşımı, bir katı durumunda uzanabilir. Taylor, iki plaka arasına itilen sıkıştırılamaz bir katının Poiseuille akışıyla aynı varsayımları sağladığına dikkat çekti. Ancak bu durumda parabolik olarak değişen hız değil deformasyondur. Bu nedenle, bir boruya veya iki plaka arasına itilen bir katı, katı ve tersinir (elastik) bir "Poiseuille" deformasyon profiline sahip olacaktır.

Poiseuille akışının hız alanı

Bir tüpte

Hız tüp eksenine (A ile belirtilmiştir paralel olan z ): . v→=vsen→z{\ displaystyle {\ vec {v}} = v {\ vec {u}} _ {z}}

Hız profilinin denklemi şu şekilde verilir:

v(r,z,θ)=v(r)=vm-dex(1-r2R2){\ displaystyle v (r, z, \ theta) = v (r) = v _ {\ rm {maks}} \; \ sol (1 - {\ frac {r ^ {2}} {R ^ {2} }} \ sağ)}

maksimum hızın (tüpün merkezinde) basınç gradyanı, dinamik viskozite ve yarıçap ile ilgili olduğu yerlerde:

vmax=R22η|dpdz|{\ displaystyle v _ {\ max} = {\ frac {R ^ {2}} {2 \; \ eta}} \; \ sol | {\ frac {{\ rm {d}} p} {{\ rm {d}} z}} \ sağ |}iki boyutlu ve üç boyutlu.vmax=R24η|dpdz|{\ displaystyle v _ {\ max} = {\ frac {R ^ {2}} {4 \; \ eta}} \; \ sol | {\ frac {{\ rm {d}} p} {{\ rm {d}} z}} \ sağ |} Tüp kılıfının gösterilmesi

Simetriye göre, akışın hızı z veya θ cinsinden değişmez ve durağan bir rejim durumunda, zamana da bağlı değildir:

v(r,z,θ)=v(r){\ displaystyle v (r, z, \ theta) = v (r)}

Sonuç olarak, tek kesme kuvveti z boyunca radyal olarak ( r boyunca ) iletilen kuvvetlerdir :

σrz(r,z,θ)=σrz(r)=ηdv(r)dr{\ displaystyle \ sigma _ {rz} (r, z, \ theta) = \ sigma _ {rz} (r) = \ eta \; {\ frac {{\ rm {d}} v (r)} {{ \ rm {d}} r}}}

Z boyunca öteleme değişmezliği ile , basınç değişimi z ekseni boyunca sabittir  :

dpdz=vsÖdeğilst{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} p} {{\ rm {d}} z}} = {\ rm {const}}}

Yarıçapı r ve uzunluğu Δ z olan silindirik bir bölgenin maruz kaldığı kuvvetleri ele alalım .

Silindirin iki dairesel yüzeyi üzerindeki basınç kuvvetleri şunlara eşittir:

Ff-devses=πr2Δzdpdz{\ displaystyle F _ {\ rm {yüzler}} = \ pi \, r ^ {2} \; \ Delta z \; {\ frac {{\ rm {d}} p} {{\ rm {d}} z}}}

Silindirin kenarındaki kayma gerilmeleri, ona z ekseni boyunca yönlendirilmiş bir kuvvet iletir  :

FbÖrd=2πrΔzσrz(r){\ displaystyle F _ {\ rm {kenar}} = 2 \ pi \, r \; \ Delta z \; \ sigma _ {rz} (r)}

Akış kalıcı olduğundan sıvı silindire uygulanan toplam kuvvet sıfırdır. Yani :

σrz(r)=r2dpdz{\ displaystyle \ sigma _ {rz} (r) = {\ frac {r} {2}} \; {\ frac {{{\ rm {d}} p} {{\ rm {d}} z}} }

Hız gradyanı doğrusal olduğu sonucuna r  :

dv(r)dr=σrz(r)η=r2ηdpdz{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} v (r)} {{\ rm {d}} r}} = {\ frac {\ sigma _ {rz} (r)} {\ eta}} = {\ frac {r} {2 \; \ eta}} \; {\ frac {{\ rm {d}} p} {{\ rm {d}} z}}}

Başka bir deyişle, hız alanı paraboliktir:

v(r)=vsÖdeğilst+r24ηdpdz{\ displaystyle v (r) = {\ rm {const}} + {\ frac {r ^ {2}} {4 \; \ eta}} \; {\ frac {{\ rm {d}} p} { {\ rm {d}} z}}}

Kaymama durumu dikkate alındığında ( v ( R ) = 0 ):

v(r)=-R24ηdpdz(1-r2R2){\ displaystyle v (r) = - {\ frac {R ^ {2}} {4 \; \ eta}} \; {\ frac {{\ rm {d}} p} {{\ rm {d}} z}} \; \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {R ^ {2}}} \ sağ)}

Hız, basınç gradyanına göre yönlendirildiğinden, negatif işarete rağmen kanalın merkezinde hız daha büyüktür.

İki tabak arasında

Basınç gradyanının x ekseni boyunca yönlendirildiği ve plakalara normalin z = 0 ve z = h konumlarında yer alan plakalar ile z boyunca yönlendirildiği varsayılmıştır . Hız daha sonra plakalara paraleldir, özellikle x  : ekseni boyunca yönlendirilir . v→=vsen→x{\ displaystyle {\ vec {v}} = v {\ vec {u}} _ {x}}

Hız profilinin denklemi şu şekilde verilir:

v(x,y,z)=v(z)=vm-dex(4zh-4z2h2){\ displaystyle v (x, y, z) = v (z) = v _ {\ rm {maks}} \; \ sol ({\ frac {4 \, z} {h}} - {\ frac {4 \, z ^ {2}} {h ^ {2}}} \ sağ)}

maksimum hızın (katmanın ortasında) basınç gradyanı, dinamik viskozite ve plakalar arasındaki mesafe ile ilgili olduğu durumlarda:

vmax=-h28ηdpdx.{\ displaystyle v _ {\ max} = - {\ frac {h ^ {2}} {8 \; \ eta}} \; {\ frac {{\ rm {d}} p} {{\ rm {d }} x}}.}

Daha sonra, bir negatif basınç gradyanı için maksimum pozitif hıza ulaşıldığı fark edilir.

Notlar ve referanslar

1. Poiseuille, “Çok küçük çaplı tüplerdeki sıvıların hareketi üzerine deneysel araştırma; I-IV ”, 1840-41.
2. Göre (de) István Szabó , Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen , Basel, Birkhauser Verlag , argo.  "Wissenschaft und Kultur",1979( yeniden baskı  1987, 1996), 491  s. ( ISBN  978-3-7643-1063-9 ve 978-3-764-30864-3 , OCLC  5801710 ) , s.  269-273.
3. (inç) "Plane Poiseuille Flow" (sürüm 2 Nisan 2015, İnternet Arşivi ) .

Ayrıca görün

Kaynaklar ve bibliyografya

• GI Taylor , Onikinci Uluslararası Uygulamalı Matematik Kongresi Bildirileri , New York: Springer Verlag, 1969.
• Boudaoud A., Saharaoui C., "  Tekil ince viskoz tabaka  ", Phys. Rev. E. , 2001; 64: 050601 (R).
• Académie des Sciences , Académie des Sciences oturumlarının haftalık raporları: Çok küçük çaplı tüplerdeki sıvıların hareketi üzerine deneysel araştırmalar , Paris, Gauthier-Villars ,Temmuz 1840, 795  s. ( çevrimiçi okuyun ) , s.  961-967, 1041-1048, Çevrimiçi okumak üzerine Gallica'nın Poiseuille, ince kılcal borulardaki akışın, borunun çapının dördüncü kuvvetinde olduğu meşhur yasasını oluşturur.

Dış bağlantı

• Poiseuille (1840) tarafından yayınlanan makale, çevrimiçi ve BibNum hakkında yorum yaptı

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">