Gauss-Jordan eliminasyonu
Gelen matematik , daha kesin olarak lineer cebir , Gauss-Jordan eliminasyonu da adlandırılan Gauss eksen yöntemi adını, Carl Friedrich Gauss ve Wilhelm Jordan bir olan, algoritma bir çözeltilerini belirlemek için denklem sisteminin doğrusal belirlemek için, seviye a matrisi veya ters çevrilebilir (kare) bir matrisin tersini hesaplamak için . Gauss eliminasyonunu bir matrise uyguladığımızda, onun ölçeklendirilmiş indirgenmiş biçimini elde ederiz .
Tarih
Bu yöntem bilinen Çinli matematikçi en azından beri ben st yüzyıl AD. Sekizinci bölümünü oluşturan Çin kitabı Jiuzhang suanshu'da ( Matematik Sanatı Dokuz Bölüm ) "Fang cheng" (dikdörtgen düzenleme) başlığı altında atıfta bulunulmaktadır . Yöntem on sekiz alıştırma ile sunulmuştur. Tarihli yorumunda 263 , Liu Hui babalık Ts'ang Chang, Çin imparatorunun şansölyesi niteliklerini II inci yüzyıl M.Ö..
Avrupa'da bu yöntem keşfedildi ve modern şeklinde sunulan XIX inci yüzyılın . 1810'da Carl Friedrich Gauss , asteroid Pallas'ın hareketini inceleyen bir kitapta en küçük kareler yöntemini sundu . Bu kitabın 13. maddesinde, pivot yönteminin özünü oluşturan bir doğrusal denklem sistemini çözmenin genel bir yöntemini anlatıyor. 1888'de Wilhelm Jordan , bu yöntemin nasıl kullanılacağını belirten ve biraz farklı bir gösterim benimseyen bir jeodezi kitabı yayınladı . Bu son kitap sayesinde bu yöntem Batı'ya yayıldı. Günümüzde Gauss-Ürdün'ün ortadan kaldırılması adı veya Gauss'un pivot yöntemi olarak bilinmektedir .
Algoritma
Operasyonlar
Gauss-Jordan algoritması, temel satır işlemlerini kullanarak bir matrisin küçültülmüş ölçekli matrisini üretir . Üç tür temel işlem kullanılır:
-
İki hatlı değişim ;
-
Çarpma bir bir satırın sıfır olmayan skalar ;
-
Bir satırın katlarını başka bir satıra ekleme .
Sözde kod
Izin vermek n × m boyutlarında bir A matrisi olsun ;
Gauss-Jordan algoritması aşağıdaki gibidir:
Gauss-Jordan
r = 0 (r est l'indice de ligne du dernier pivot trouvé)
Pour j de 1 jusqu'à m (j décrit tous les indices de colonnes)
| Rechercher max(|A[i,j]|, r+1 ≤ i ≤ n). Noter k l'indice de ligne du maximum
| (A[k,j] est le pivot)
| Si A[k,j]≠0 alors (A[k,j] désigne la valeur de la ligne k et de la colonne j)
| | r=r+1 (r désigne l'indice de la future ligne servant de pivot)
| | Diviser la ligne k par A[k,j] (On normalise la ligne de pivot de façon que le pivot prenne la valeur 1)
| | Si k≠r alors
| | | Échanger les lignes k et r (On place la ligne du pivot en position r)
| | Fin Si
| | Pour i de 1 jusqu'à n (On simplifie les autres lignes)
| | | Si i≠r alors
| | | | Soustraire à la ligne i la ligne r multipliée par A[i,j] (de façon à annuler A[i,j])
| | | Fin Si
| | Fin Pour
| Fin Si
Fin Pour
Fin Gauss-Jordan
Misal.
Matristen başlıyoruz
AT=(2-10-12-10-12){\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ - 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}}}![{\ mathrm {A}} = {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ - 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6e80c3cef95c170a4c2f9df9e40b03b2a6b8ec)
Bu gerçek bir matristir, dolayısıyla bir katsayının modülü mutlak değeridir.
- İlk yineleme, j = 1 (ve r = 0):
- Adım 1.1: Katsayıların mutlak değerlerinin maksimum değeri için matrisin ilk sütununa bakarız. (1, 1) konumunda bulunan 2 değerindedir, böylece k = 1,
- adım 1.2.1: r = 1,
- adım 1.2.2: r = k , değişim yok,
- Adım 1.2.3: Biz olan A (1, 1) = 2, satır 1 bölmek ,(1-1/20){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 ve -1 / 2 ve 0 \ end {pmatrix}}}
![{\ başlar {pmatrix} 1 ve -1 / 2 ve 0 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0767f600adeafcb68349488c0895f19be956db64)
- adım 1.2.4:
- i = 2 doğrusu , A (2, 1) = -1 var; şu hesaplamayı ,
(-12-1)-(-1)×(1-1/20)=(03/2-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 2 & -1 \ end {pmatrix}} - (- 1) \ times {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ başlar {pmatrix} 0 ve 3/2 ve -1 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} -1 & 2 & -1 \ end {pmatrix}} - (- 1) \ times {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 ve 3/2 ve -1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ab79174827df24e1b0951d23c983ac1a93d0db)
- satır i = 3, A (3, 1) = 0 var, dolayısıyla satır değiştirilmez,
- matris daha sonra ;
AT′=(1-1/2003/2-10-12){\ displaystyle \ mathrm {A} '= {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & 3/2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}}}![{\ mathrm {A}} '= {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & 3/2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c8561ea767df66d949c347fa1b7c62e0b43ed7)
- ikinci yineleme, j = 2 (ve r = 1):
- adım 2.1: ikinci sütunun 2. ve 3. satırlarında mutlak değerdeki maksimum değeri ararız. Bu 3/2, (2, 2) adresinde bulunur,
- adım 2.2.1: r = 2,
- adım 2.2.2: r = k , değişim yok.
- Adım 2.2.3: A ile hat 2 bölmek '(2, 2) = 3/2 olduğu ,(01-2/3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 ve 1 ve -2 / 3 \ end {pmatrix}}}
![{\ başlar {pmatrix} 0 & 1 ve -2 / 3 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de17c5710736867d89a2b7a850fa2e52bd8ffb86)
- adım 2.2.4:
- satır i = 1, A '(1, 2) = -1/2; şu hesaplamayı ,
(1-1/20)-(-1/2)×(01-2/3)=(10-1/3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \ end {pmatrix}} - (- 1/2) \ times {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & -2 / 3 \ end {pmatrix }} = {\ başlar {pmatrix} 1 ve 0 ve -1 / 3 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \ end {pmatrix}} - (- 1/2) \ times {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & -2 / 3 \ end {pmatrix}} = {\ başlar {pmatrix} 1 ve 0 ve -1 / 3 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83d970a0911615c6c0a95f7fede54fc22273d3f)
- i = 3 doğrusu , A '(3, 2) = -1 var; şu hesaplamayı ,
(0-12)-(-1)×(01-2/3)=(004/3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}} - (- 1) \ times {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & -2 / 3 \ end {pmatrix}} = { \ başlar {pmatrix} 0 ve 0 ve 4/3 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}} - (- 1) \ times {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & -2 / 3 \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} 0 ve 0 ve 4/3 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b200163524e8daceabe915b8e9a26c93ade07f8)
- matris daha sonra ;
AT″=(10-1/301-2/3004/3){\ displaystyle \ mathrm {A} '' = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 / 3 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & 0 & 4/3 \ end {pmatrix}} }![{\ mathrm {A}} '' = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 / 3 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & 0 & 4/3 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18b51286906e27330f7980c7e097c2b158de089)
- üçüncü yineleme, j = 3 (ve r = 2):
- Adım 3.1: üçüncü sütunun pivotu, üçüncü satır 4 / 3'tür. Yani k = 3
- adım 3.2.1: r = k,
- Adım 3.2.2: Değiştirilecek satır yok,
- Adım 3.2.3: 3. satırı A '' (3, 3) = 4/3 ile böleriz, (001){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 ve 0 ve 1 \ end {pmatrix}}}
- adım 3.2.4:
- satır i = 1, A '' (1, 3) = -1/3 var. Son adım, bu katsayıyı iptal eder.
- i = 2 doğrusu , A '' (2, 3) = -2/3. Son adım, bu katsayıyı iptal eder.
- matris daha sonra küçültülür.
AT‴=(100010001){\ displaystyle \ mathrm {A} '' '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}![{\ mathrm {A}} '' '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c947034fad95fe257258081986a822e38c1ba0)
Sayısal kararlılık
Algoritmanın ilk bölümü, yani en büyük pivot değerine sahip satır değiş tokuşu, algoritmanın sayısal kararlılığını iyileştirmeyi amaçlamaktadır. Bu adım, sayısal kararsızlığa neden olan kümülatif yuvarlama hatalarını en aza indirmeye çalışır. Bu strateji, karşı örnekler verebilsek bile, genellikle bu istikrarsızlığı gidermeyi mümkün kılar.
Algoritmik karmaşıklık
Asimptotik algoritmik karmaşıklık Gauss eliminasyonu olan O ( n, 3 ) ( Landau gösterimler ): n, X , n matrisin boyutu ve gerçekleştirilebilir talimat sayısı ile orantılıdır n 3 . Bu algoritma, binlerce bilinmeyen ve denklem içeren sistemler için bir bilgisayarda kullanılabilir . Bununla birlikte, Strassen'in algoritması olup, O ( n, 2.807 ) daha iyi bir asimptotik Algoritma sahiptir.
Gauss pivotunun algoritmik karmaşıklığı , matris seyrek olduğunda O ( n 3 ) olarak kalır . Aslında, sadece k n girdisi sıfır olmayan ancak girdileri düzenli olarak satırlar ve sütunlar üzerine dağıtılan bir n × n matrisi , sonra Gauss pivot algoritması sırasında bir üzerindeki sıfır olmayan değerlerin ortalama sayısını alalım. hat dan gidecek k için 2 k ardından 3k için n . Bu nedenle, talimat sayısının nn (n-1) / 2 düzeyinde olduğunu buluyoruz .
Bir kare matrisin tersini hesaplamak
Gauss-Jordan eliminasyonu , tersinir bir kare matrisi ters çevirmek için kullanılabilir . Bu amaçla, bir matris oluşturmak n satır ve 2 N matris A çevreleyen sütunların kimlik matris I , n , bir oluşturur, çoğaltılmış bir matris (in) gösterilir [A | I] . Girdi matrisi tersine çevrilebilirse, artırılmış matrise Gauss-Jordan algoritması uygulanır. Son matris [I | A −1 ] ve sağ bölümünde ilk matrisin tersini içerir.
Misal
Aşağıdaki matrisi varsayalım:
AT=(2-10-12-10-12){\ displaystyle \ mathrm {A} = \ sol ({\ begin {dizi} {rrr} 2 & -1 & 0 \\ - 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {array}} \ sağ)}![{\ mathrm {A}} = \ left ({\ begin {array} {rrr} 2 & -1 & 0 \\ - 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {array}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3d3a404211aaea618a592f16b10167d1c6aced)
Bu matrisin tersini bulmak için, artırılmış matrisi [A | I] aşağıdaki gibidir:
[AT|ben]=(2-10100-12-10100-12001){\ displaystyle [\ mathrm {A} | \ mathrm {I}] = \ sol ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 ve 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \ end {dizi}} \ sağ)}![[{\ mathrm {A}} | {\ mathrm {I}}] = \ left ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 ve 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a6db60837ac5b8abf88c63d86266db8495d258)
Gauss-Jordan algoritmasını uygulayarak, artırılmış matrisi aşağıdaki indirgenmiş ölçekli biçiminde elde ederiz:
[ben|B]=(10034121401012112001141234){\ displaystyle [\ mathrm {I} | \ mathrm {B}] = \ sol ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & {\ frac {3} {4}} & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {1} {4}} \\ [3pt] 0 & 1 & 0 & {\ frac {1} {2}} & 1 & {\ frac {1} { 2}} \\ [3pt] 0 & 0 & 1 & {\ frac {1} {4}} & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {3} {4}} \ end {dizi }} \ sağ)}![[{\ mathrm {I}} | {\ mathrm {B}}] = \ left ({\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & {\ frac {3} {4}} & { \ frac {1} {2}} & {\ frac {1} {4}} \\ [3pt] 0 & 1 & 0 & {\ frac {1} {2}} & 1 & {\ frac {1} {2}} \\ [3pt] 0 & 0 & 1 & {\ frac {1} {4}} & {\ frac {1} {2}} & {\ frac {3} {4}} \ end { dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3002a7ba22ffb87452873d09584ef9c0bf3a18da)
Gösteri
Daha önce olduğu gibi, ilk pivot ilk satırdadır. Adım 2.2.3'te, ilk satır
(1-1/201/200){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \ end {dizi}} \ sağ)}![\ left ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 1 ve -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4a55d5fbe0a76c6fe308ae7f1a01064cc1b6d1)
Adım 2.2.4 şu hale gelir:
- i = 2 doğrusu, A (2, 1) = -1 var; hesaplıyoruz ;
(-12-1010)-(-1)×(1-1/201/200)=(03/2-11/210){\ displaystyle ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \ end {dizi}}) - (- 1) \ times ({\ begin {dizi} { rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \ end {dizi}}) = ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 0 & 3/2 & -1 & 1 / 2 ve 1 ve 0 \ end {dizi}})}![({\ begin {dizi} {rrr | rrr} -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \ end {dizi}}) - (- 1) \ times ({\ begin {dizi} {rrr | rrr } 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \ end {dizi}}) = ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 0 & 3/2 & -1 & 1/2 & 1 ve 0 \ end {dizi}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f75a2dc18790e657d9677da6a167d11a5fd66a)
- satır i = 3, A (3, 1) = 0 var, satır değiştirilmedi.
Böylece sahibiz
(1-1/201/20003/2-11/2100-12001){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 3/2 & -1 & 1/2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \ end {dizi}} \ sağ)}![\ left ({\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 3/2 & -1 & 1/2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10c05ae49dda8b4be804150e01968577dfda5ca)
İkinci yineleme için, 2. ve 3. satırları değiştiririz ve yeni satırı 2'ye böleriz, yani adım 2.2.3'te:
(1-1/201/2000-1/21001/203/2-11/210){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 / 2 & 1 & 0 & 0 & 1 / 2 \\ 0 & 3/2 & -1 & 1/2 & 1 & 0 \ end {dizi}} \ sağ)}![\ left ({\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 / 2 & 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 3/2 & -1 & 1/2 & 1 & 0 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae003dab790a67ad0225cfa570bc328d19e45a30)
Adım 2.2.4'te:
- satır i = 1, A (1, 3) = 0 var, satır değiştirilmedi;
- i = 3 doğrusu, A (3, 3) = -1 var; hesaplıyoruz ;
(03/2-11/210)-(-1)×(0-1/21001/2)=(0101/211/2){\ displaystyle ({\ begin {array} {rrr | rrr} 0 & 3/2 & -1 & 1/2 & 1 & 0 \ end {array}}) - (- 1) \ times ({\ begin { dizi} {rrr | rrr} 0 & - 1/2 & 1 & 0 & 0 & 1/2 \ end {dizi}}) = ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 0 & 1 & 0 & 1 / 2 ve 1 ve 1/2 \ end {dizi}})}![({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 0 & 3/2 & -1 & 1/2 & 1 & 0 \ end {dizi}}) - (- 1) \ times ({\ begin {dizi} { rrr | rrr} 0 & -1 / 2 & 1 & 0 & 0 & 1/2 \ end {dizi}}) = ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 ve 1/2 \ uç {dizi}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/224de3aec46daae6027151701fbe33ad6af217f6)
Böylece sahibiz
(1-1/201/2000-1/21001/20101/211/2){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 / 2 & 1 & 0 & 0 & 1 / 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \ end {dizi}} \ sağ)}![\ left ({\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 / 2 & 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753e6acc5e90e66499a8314719f95d8b4b14dd73)
Üçüncü yineleme için, 3. satırı 1'e böleriz, matris 2.2.3. Adımda değişmez.
Adım 2.2.4'te:
- satır i = 1, A (1, 2) = -1/2 var; hesaplıyoruz ;
(1-1/201/200)-(-1/2)×(0101/211/2)=(1003/41/21/4){\ displaystyle ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \ end {dizi}}) - (- 1/2) \ times ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \ end {dizi}}) = ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & 3/4 ve 1/2 ve 1/4 \ uç {dizi}})}![({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 1 & -1 / 2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \ end {dizi}}) - (- 1/2) \ times ({\ begin {dizi } {rrr | rrr} 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \ end {dizi}}) = ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & 3/4 & 1/2 ve 1/4 \ uç {dizi}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bca7aad817a20b980bf796d472e022b28c9773a)
- satır i = 2, A (2, 2) = -1/2 var; hesaplıyoruz ;
(0-1/21001/2)-(-1/2)×(0101/211/2)=(0011/41/23/4){\ displaystyle ({\ begin {array} {rrr | rrr} 0 & -1 / 2 & 1 & 0 & 0 & 1/2 \ end {array}}) - (- 1/2) \ times ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \ end {dizi}}) = ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 0 & 0 & 1 & 1/4 ve 1/2 ve 3/4 \ end {dizi}})}![({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 0 & -1 / 2 & 1 & 0 & 0 & 1/2 \ end {dizi}}) - (- 1/2) \ times ({\ begin {dizi } {rrr | rrr} 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \ end {dizi}}) = ({\ begin {dizi} {rrr | rrr} 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/2 ve 3/4 \ end {dizi}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6595c5ee3e0a28ba23c0b76069795546f183fd)
Böylece sahibiz
(1003/41/21/40011/41/23/40101/211/2){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & 3/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/2 & 3/4 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \ end {dizi}} \ sağ)}![\ left ({\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & 3/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/2 & 3/4 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940cc574fbefb640793aaf5d6da689125558e598)
.
2. ve 3. satırların son permütasyonu bize şunu verir:
(1003/41/21/40101/211/20011/41/23/4){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & 3/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1 / 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/2 & 3/4 \ end {dizi}} \ sağ)}![\ left ({\ begin {array} {rrr | rrr} 1 & 0 & 0 & 3/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/2 & 3/4 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3570d278820d041ec77f269de474f8581ae89f0)
.
Matrisin sol bölümü, A'nın tersinir olduğunu gösteren kimlik matrisidir. Sağdaki 3x3 bölümü, yani matris B, A'nın tersidir.
Genel dava
Bir matrisin n satırında temel bir O işleminin gerçekleştirilmesi, onu solda temel matris (tersine çevrilebilir) G s : = O ( I n ) ile çarpmak anlamına gelir .
Not etmek sureti ile O 1 , ..., O ler biri üzerinde taşıyan temel işlemleri A ve G s = O ler ( I n ) ile bağlantılı temel matrisler, bir bu şekilde biter, matris sol bölümünde,
bendeğil=(Ös∘...∘Ö1)(AT)=Gs...G1AT{\ displaystyle \ mathrm {I} _ {n} = (O_ {s} \ circ \ ldots \ circ O_ {1}) (A) = G_ {s} \ ldots G_ {1} A}
ve sağdaki matriste
B=(Ös∘...∘Ö1)(bendeğil)=Gs...G1.{\ displaystyle B = (O_ {s} \ circ \ ldots \ circ O_ {1}) (\ mathrm {I} _ {n}) = G_ {s} \ ldots G_ {1}.}
Bu durumda, B tekil olmayan ve BA = I , n , o kadar B -1 = A ve A -1 = B .
Gauss-Jordan eliminasyonu, AX = B denklem sistemini çözebilir; burada A, n × m dereceli bir matris r , B sabit bir vektör ve X, bilinmeyen vektördür. A matrisini B vektörüyle sınırlayarak n satırlı ve m + 1 sütunlu bir tablo oluşturuyoruz. Matrisi küçültülmüş ölçeklendirilmiş biçimde indirgiyoruz.
(A | B) ile ilişkili indirgenmiş ölçeklendirilmiş matrisin pivotları yalnızca ilk m sütunlarında yer alıyorsa (bu her zaman r = n durumunda geçerlidir ) ve k 1 ,…, k r sütun indeksine sahipse, sonra son sütun indeksi çizgisinde bulunan dışında tüm sıfır koşullar alarak elde edilen belirli bir çözüm sağlar k ı line bulunan terimin değeri vermek üzere i , son sütunun i 1 ile değişen r .
Bu özel çözüme A çekirdeğinin herhangi bir öğesini ekleyerek sistemin genel çözümünü elde ederiz. Bu, k i dışında bir satır indeksinde bulunan X katsayılarına keyfi değerler verilerek ve belirleyerek elde edilir. göstergesi hatları bulunan katsayılar k ı (kolay matrisin ölçekli şekil verilmiştir) sistemi tatmin edecek şekilde.
(A | B) ile ilişkili indirgenmiş ölçeklendirilmiş matrisin son pivotu son sütundaysa, çözüm yoktur.
A matrisi ters çevrilebilir kare ise (başka bir deyişle, sistem Cramer ise), son sütunda sistemin benzersiz çözümü X'i elde ederiz.
Varyasyon: önceki algoritmada, kendimizi ölçekli bir matris elde etmekle sınırlarsak (indirgenmemiş), daha yüksek bir üçgen matris elde ederiz. Geriye kalan tek şey, X'in katsayılarının değerlerini bulmak için "geri dönmektir".
Örnek 1 (ayrıntılı)
Doğrusal denklem sistemi olsun:
{x-y+2z=53x+2y+z=102x-3y-2z=-10{\ displaystyle \ sol \ {{\ begin {dizi} {* {7} {c}} x & - & y & + & 2z & = & 5 \\ 3x & + & 2y & + & z & = & 10 \\ 2x & - & 3y & - & 2z & = & - 10 \ \\ end {dizi}} \ sağ.}
Karşılık gelen matrisi oluşturuyoruz:
(1-125321102-3-2-10){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ &&& \\ 3 & 2 & 1 & 10 \\ &&& \\ 2 & -3 & -2 & -10 \ end {dizi}} \ sağ)}
Sütun 1 ile başlıyoruz. Pivot, mutlak değer olarak 1, 3 ve 2 arasındaki maksimum değerdir, yani 3:
(1-125(3)21102-3-2-10){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ &&& \\ (3) & 2 & 1 & 10 \\ &&& \\ 2 & -3 & - 2 & -10 \ end {dizi}} \ sağ)}
Bu pivot sıfır olmadığından, bulunduğu çizgiyi (yani 2. satır) pivot ile böleriz:
(1-125(1)23131032-3-2-10){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & -1 & 2 & 5 \\ &&& \\ (1) & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1 } {3}} & {\ frac {10} {3}} \\ &&& \\ 2 & -3 & -2 & -10 \ end {dizi}} \ sağ)}
1. ve 2. satırları değiştiriyoruz:
((1)23131031-1252-3-2-10){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} (1) & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {3}} & {\ frac {10} { 3}} \\ &&& \\ 1 & -1 & 2 & 5 \\ &&& \\ 2 & -3 & -2 & -10 \ end {dizi}} \ sağ)}
Şimdi pivotun dışındaki çizgileri analiz ediyoruz. 2. satırda A (2, 1) = 1 var. Hesaplıyoruz
(1-125)-(1)×(12313103)=(0-535353){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 & 2 & 5 \ end {pmatrix}} - (1) \ times {\ begin {pmatrix} 1 & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {3}} & {\ frac {10} {3}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & - {\ frac {5} {3}} & {\ frac { 5} {3}} ve {\ frac {5} {3}} \ end {pmatrix}}}
Satır 3, A (3, 1) = 2'ye sahibiz.
(2-3-2-10)-(2)×(12313103)=(0-133-83-503){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & -3 & -2 & -10 \ end {pmatrix}} - (2) \ times {\ begin {pmatrix} 1 & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {3}} & {\ frac {10} {3}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & - {\ frac {13} {3}} & - { \ frac {8} {3}} & - {\ frac {50} {3}} \ end {pmatrix}}}
2. ve 3. satırları değiştiririz, böylece hesaplanır:
((1)23131030-5353530-133-83-503){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} (1) & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {3}} & {\ frac {10} { 3}} \\ &&& \\ 0 & - {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} \\ &&& \\ 0 & - {\ frac {13} {3}} & - {\ frac {8} {3}} & - {\ frac {50} {3}} \ end {dizi}} \ sağ)}
Biz Pivot mutlak arasındaki değer maksimum 2. sütuna gitmek ve demek ki, :
-53{\ displaystyle - {\ frac {5} {3}}}
-133{\ displaystyle - {\ frac {13} {3}}}
-133{\ displaystyle - {\ frac {13} {3}}}![{\ displaystyle - {\ frac {13} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db162dc60e438eef414850f6c4679e00f773f1a1)
(123131030-5353530(-133)-83-503){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {3}} & {\ frac {10} {3} } \\ &&& \\ 0 & - {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} \\ &&& \\ 0 & \ left (- {\ frac {13} {3}} \ sağ) & - {\ frac {8} {3}} & - {\ frac {50} {3}} \ end {dizi}} \ sağ)}
Bu pivot sıfır olmadığından, bulunduğu çizgiyi (yani 3. satır) pivot ile böleriz:
(123131030-5353530(1)8135013){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {3}} & {\ frac {10} {3} } \\ &&& \\ 0 & - {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} \\ &&& \\ 0 & (1 ) & {\ frac {8} {13}} & {\ frac {50} {13}} \ end {dizi}} \ sağ)}
2. ve 3. hatları değiştiriyoruz:
(123131030(1)81350130-535353){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {3}} & {\ frac {10} {3} } \\ &&& \\ 0 & (1) & {\ frac {8} {13}} & {\ frac {50} {13}} \\ &&& \\ 0 & - {\ frac {5} {3} } & {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} \ end {dizi}} \ sağ)}
Şimdi pivotun dışındaki çizgileri analiz ediyoruz. Satır 1, A (1, 2) = var . Hesaplıyoruz23{\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}![{\ frac {2} {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19eee5d63f2cf9106dc531cdfdea8cfb8f34b2cf)
(12313103)-(23)×(018135013)=(10-1131013){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & {\ frac {2} {3}} & {\ frac {1} {3}} & {\ frac {10} {3}} \ end {pmatrix}} - \ sol (\ textstyle {\ frac {2} {3}} \ sağ) \ times {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & {\ frac {8} {13}} & {\ frac {50} {13} } \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & - {\ frac {1} {13}} & {\ frac {10} {13}} \ end {pmatrix}}}
3. satırda A (3, 2) = var . Hesaplıyoruz-53{\ displaystyle - {\ frac {5} {3}}}![{\ displaystyle - {\ frac {5} {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e629a4003f4729d5b446ef2151c0c099e4c2ab33)
(0-535353)-(-53)×(018135013)=(00351310513){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & - {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} & {\ frac {5} {3}} \ end {pmatrix}} - \ sol (- \ textstyle {\ frac {5} {3}} \ sağ) \ times {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & {\ frac {8} {13}} & {\ frac {50} { 13}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & {\ frac {35} {13}} & {\ frac {105} {13}} \ end {pmatrix}}}
1. ve 3. satırları değiştiririz, böylece hesaplanır:
(10-11310130(1)813501300351310513){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & 0 & - {\ frac {1} {13}} & {\ frac {10} {13}} \\ &&& \\ 0 & (1) & {\ frac {8} {13}} & {\ frac {50} {13}} \\ &&& \\ 0 & 0 & {\ frac {35} {13}} & {\ frac {105 } {13}} \ end {dizi}} \ sağ)}
3. sütuna gidiyoruz. Özet şu şekildedir :
3513{\ displaystyle {\ frac {35} {13}}}![{\ displaystyle {\ frac {35} {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9384c053fede5f8b7524a45101d0d2722b51a05a)
(10-113101301813501300(3513)10513){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & 0 & - {\ frac {1} {13}} & {\ frac {10} {13}} \\ &&& \\ 0 & 1 & {\ frac {8} {13}} & {\ frac {50} {13}} \\ &&& \\ 0 & 0 & \ left ({\ frac {35} {13}} \ sağ) & { \ frac {105} {13}} \ end {dizi}} \ sağ)}
Bu pivot sıfır olmadığından, bulunduğu çizgiyi (yani 3. satır) pivot ile böleriz:
(10-113101301813501300(1)3){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc | c} 1 & 0 & - {\ frac {1} {13}} & {\ frac {10} {13}} \\ &&& \\ 0 & 1 & {\ frac {8} {13}} & {\ frac {50} {13}} \\ &&& \\ 0 & 0 & (1) & 3 \ end {dizi}} \ sağ)}
Bu pivot zaten 3. satır olduğundan, hatları değiştirmeye gerek yoktur.
Şimdi pivotun dışındaki çizgileri analiz ediyoruz. Satır 1, A (1, 3) = var . Hesaplıyoruz-113{\ displaystyle - {\ frac {1} {13}}}![{\ displaystyle - {\ frac {1} {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e068748e05e8eed41758d1017882ab93129ae5e6)
(10-1131013)-(-113)×(0013)=(1001){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & - {\ frac {1} {13}} & {\ frac {10} {13}} \ end {pmatrix}} - \ left (- \ textstyle {\ frac {1} {13}} \ right) \ times {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 3 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix }}}
2. satırda A (2, 3) = var . Hesaplıyoruz813{\ displaystyle {\ frac {8} {13}}}![{\ displaystyle {\ frac {8} {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3435ca7ba0aae6d7ec4c650f823659f734098c5b)
(018135013)-(813)×(0013)=(0102){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & {\ frac {8} {13}} & {\ frac {50} {13}} \ end {pmatrix}} - \ left (\ textstyle {\ frac { 8} {13}} \ right) \ times {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 3 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2 \ end {pmatrix}} }
1. ve 2. satırları değiştiririz, böylece hesaplanır:
(100101020013){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ &&& \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ &&& \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {dizi}} \ sağ)}
Dikey çubuğun solundaki tüm sütunlar işlendi. Bir yanda özdeşlik matrisi ve diğer yanda değişkenlerin değeri olan küçültülmüş ölçekli bir matrisin varlığındayız. Denklem sisteminin çözümü bu nedenle:
{x=1y=2z=3{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {ccc} x & = & 1 \\ y & = & 2 \\ z & = & 3 \\\ end {array}} \ right.}
Örnek 2
Doğrusal denklem sistemi olsun:
{x1+2x2+2x3-3x4+2x5=32x1+4x2+x3-5x5=-64x1+8x2+5x3-6x4-x5=0-x1-2x2-x3+x4+x5=1{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {* {11} {c}} x_ {1} & + & 2x_ {2} & + & 2x_ {3} & - & 3x_ {4} & + & 2x_ {5} & = & 3 \\ 2x_ {1} & + & 4x_ {2} & + & x_ {3} &&& - & 5x_ {5} & = & - 6 \\ 4x_ {1} & + & 8x_ {2} & + & 5x_ {3} & - & 6x_ {4} & - & x_ {5} & = & 0 \\ - x_ {1} & - & 2x_ {2} & - & x_ {3} & + & x_ {4} & + & x_ {5} & = & 1 \ end {dizi}} \ sağ.}
İle ilişkili olarak daha düşük ölçekli matris
olup
.
(122-3232410-5-6485-6-10-1-2-1111){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccccc | c} 1 & 2 & 2 & -3 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & -5 & -6 \\ 4 & 8 & 5 & -6 & -1 & 0 \\ - 1 & -2 & -1 & 1 & 1 & 1 \ end {dizi}} \ right)}
(1201-4-5001-234000000000000){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccccc | c} 1 & 2 & 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {dizi}} \ sağ)}![\ left ({\ begin {array} {ccccc | c} 1 & 2 & 0 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7018fc0a612db52586478fc48975b7e9684d050a)
Pivotlar, indeks 1 ve 3'ün sütunlarında bulunur. Bu nedenle , vektöre karşılık gelen özel bir çözüm :
x1=-5,x3=4,x2=x4=x5=0{\ displaystyle x_ {1} = - 5, x_ {3} = 4, x_ {2} = x_ {4} = x_ {5} = 0}
(-50400){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccc} -5 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \ end {dizi}} \ sağ)}
Örnek 3
Doğrusal denklem sistemi olsun:
{x1+2x2+2x3-3x4+2x5=32x1+4x2+x3-5x5=-64x1+8x2+5x3-6x4-x5=0-x1-2x2-x3+x4+x5=2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {* {11} {c}} x_ {1} & + & 2x_ {2} & + & 2x_ {3} & - & 3x_ {4} & + & 2x_ {5} & = & 3 \\ 2x_ {1} & + & 4x_ {2} & + & x_ {3} &&& - & 5x_ {5} & = & - 6 \\ 4x_ {1} & + & 8x_ {2} & + & 5x_ {3} & - & 6x_ {4} & - & x_ {5} & = & 0 \\ - x_ {1} & - & 2x_ {2} & - & x_ {3} & + & x_ {4} & + & x_ {5} & = & 2 \ end {dizi}} \ sağ.}
İle ilişkili olarak daha düşük ölçekli matris
olup
.
(122-3232410-5-6485-6-10-1-2-1112){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccccc | c} 1 & 2 & 2 & -3 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & -5 & -6 \\ 4 & 8 & 5 & -6 & -1 & 0 \\ - 1 & -2 & -1 & 1 & 1 & 2 \ end {dizi}} \ right)}
(1201-40001-230000001000000){\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {ccccc | c} 1 & 2 & 0 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {dizi}} \ sağ)}![\ left ({\ begin {array} {ccccc | c} 1 & 2 & 0 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {dizi}} \ sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cf22f3c58a6e099c4651ef1edeebbcc2d7ff06)
Çözümü yok.
Belirleme
Bu algoritma aynı zamanda bir matrisin determinantını hesaplamayı da mümkün kılar :
det(AT)=(-1)p.∏j=1değil(AT[k,j]){\ displaystyle \ det (A) = (- 1) ^ {p}. \ prod _ {j \ mathop {=} 1} ^ {n} (A [k, j])}
ile p satır permütasyon sayısı ve dönme adımı belirtildiği j algoritması.
AT[k,j]{\ displaystyle A [k, j]}![A [k, j]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5944aca3e9ace7263d48cc4b53d59da553fde99)
Pivotlardan biri sıfırsa, matrisin determinantı sıfırdır ve tersinemez.
Misal
Matristen başlıyoruz
AT=(2-100-12-12-1){\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ - 1 & 2 & -1 \ end {pmatrix}}}![{\ mathrm {A}} = {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ - 1 & 2 & -1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4611466fec28a78f17b6d4db5800848839fbeba)
Bu gerçek bir matristir, dolayısıyla bir katsayının modülü mutlak değeridir.
1. sütundaki pivotu arıyoruz:
((2)-100-12-12-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} (2) & - 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ - 1 & 2 & -1 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} (2) & - 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ - 1 & 2 & -1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b29ba741539bf543f680c7216ca172744a36e1)
1. satırı 2'ye böleriz, böylece köşegen üzerinde 1 elde ederiz:
(1-1/200-12-12-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ - 1 & 2 & -1 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ - 1 & 2 & -1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a09d63ecc180170d5f76b5d8af85a8d650e1af)
2. ve 3. satırları 1. satırdaki doğrusal kombinasyonlarla değiştiririz, böylece ilk sütunda sıfırlar elde ederiz (köşegen hariç):
(1-1/200-1203/2-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 ve -1 / 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3/2 & -1 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3/2 & -1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80c92bcdd163a30a301a1a434e4c70e4135f0c5)
2. sütundaki pivotu arıyoruz:
(1-1/200-120(3/2)-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & (3/2) & - 1 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & (3/2) & - 1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee47947e6dbd3b7481edda1568ab97c80522964)
2. ve 3. hatları değiştiriyoruz:
(1-1/200(3/2)-10-12){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & (3/2) & - 1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & (3/2) & - 1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e375f3e1c6650a19ae776d2f67d021b56491c6)
2. doğruyu (3/2) ile böleriz, böylece köşegen üzerinde 1 elde ederiz:
(1-1/2001-2/30-12){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f2e0830e9b7974c454564d9ad5880333a5a4ed)
1. ve 3. satırları 2. satırdaki doğrusal kombinasyonlarla değiştiririz, böylece ikinci sütunda sıfırlar elde ederiz (köşegen hariç):
(10-1/301-2/3004/3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 / 3 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & 0 & 4/3 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 / 3 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & 0 & 4/3 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59babc8813c9a48cac46bfcec1ea44eeb48500c7)
3. sütundaki pivotu arıyoruz:
(10-1/301-2/300(4/3)){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 / 3 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & 0 & (4/3) \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 / 3 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & 0 & (4/3) \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22cdbd3cffab0266ef7232e4c82c5f2d81a5ecb)
3. satırı (4/3) ile böleriz, böylece köşegen üzerinde 1 elde ederiz:
(10-1/301-2/3001){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 / 3 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -1 / 3 \\ 0 & 1 & -2 / 3 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e156632ce03a5fe3f5e426a648588168f669f30)
Üçüncü sütunda (köşegen hariç) sıfırlar elde etmek için 1. ve 2. satırları doğrusal kombinasyonlarla 3. satırla değiştiririz, o zaman matris:
(100010001){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}![{\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc04c39564230b6de6c1d727bd1227f7e6d7e72)
küçültülür.
Matrisin determinantı bu nedenle değerlidir .
(-1)1×2×32×43=-4{\ displaystyle (-1) ^ {1} \ times 2 \ times {\ frac {3} {2}} \ times {\ frac {4} {3}} = - 4}![(-1) ^ {1} \ times 2 \ times {\ frac 32} \ times {\ frac 43} = - 4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53525ba9efa041a65ac37553f3a65de36c9e6414)
Notlar
-
Gauss 1810 .
-
Ürdün 1888 .
-
Althoen ve McLaughlin 1987 .
-
Beezer 2014'ten uyarlanmıştır , s. 30.
-
Örneğin Patrick Lascaux ve Raymond Théodor'un, mühendis sanatına uygulanan Matric sayısal analiz , t. 1: Doğrudan yöntemler [ sürümlerin ayrıntıları ], s. 228 .
Referanslar
-
Steven C. Althoen ve Renate McLaughlin , " Gauss-Jordan Azaltma: Kısa Bir Tarih, " Amer. Matematik. Ay. , cilt. 94,1987, s. 130-142.
-
Robert A. Beezer , Lineer Cebirde İlk Kurs , Puget Sound Üniversitesi,2014( çevrimiçi okuyun ).
-
Carl Friedrich Gauss , Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ,1810.
-
Wilhelm Jordan , Handbuch der Vermessungskunde , cilt. 1, Metzler,1888.
İlgili Makaleler
Dış bağlantı
Math-linux.com'da
Gauss pivot yöntemi