Gelen matematik , matrisler hesaplama açısından yorumlamak için kullanılan elemanlar (sayı, karakter) dizileri ve bu nedenle operasyon, teorik sonuçlar doğrusal cebir ve hatta iki-doğrusal cebri .
Doğrusal olayları inceleyen tüm disiplinler matrisleri kullanır. Doğrusal olmayan fenomenler gelince, bir çoğu kez olduğu gibi bunların lineer yaklaşımları verir geometrik optik ile Gauss yaklaşımlar .
Her ne kadar matris hesaplama kendisi başında görünen XIX inci yüzyıl, kalıplar, sayıların tablolar gibi, bir çözmede uygulamasının uzun bir geçmişe sahip doğrusal denklem . Çinli metin Matematiksel Sanat Üzerine Dokuz Bölümler yazar II inci yüzyıl M.Ö.. AD , denklem sistemlerini çözmek için tabloların kullanımının bilinen ilk örneğidir , hatta determinant kavramını tanıtmaktadır . 1545 yılında Girolamo Cardano , Ars Magna adlı eserini yayınlayarak bu yöntemi Avrupa'da bilinir hale getirdi . Japon matematikçi Seki Takakazu Hollanda'da 1683 yılında denklem sistemlerini çözmek için bağımsız aynı teknikleri kullanılır, Johan de Witt , 1659 tarihli kitabında tabloları kullanarak geometrik dönüşümler olduğunu Elementa curvarum linearum . 1700 ve 1710 yılları arasında Leibniz , verileri veya çözümleri not etmek için tabloların nasıl kullanılacağını gösterdi ve bu amaçla 50'den fazla tablo sistemi ile deneyler yaptı. 1750'de Gabriel Cramer , adını taşıyan kuralı yayınladı .
1850'de, terim (matriks tarafından tercüme edilecek) “matris” (Latince kökü üzerine icat edildi mater tarafından) , James Joseph Sylvester halen denilen belirleyicileri ailesine sebebiyet veren bir nesne olarak görür, küçükler ise, yani satır ve sütunların çıkarılmasıyla elde edilen alt matrislerin determinantları. 1851 tarihli bir makalesinde Sylvester şunları belirtir:
"Önceki makalelerde, sanki ortak bir ebeveynin bağırsaklarından geliyormuş gibi, birkaç belirleyici sistemin üretilebileceği dikdörtgen bir terim matrisi dizisi olarak adlandırdım ."1854'te Arthur Cayley , matrisleri kullanan geometrik dönüşümler üzerine, kendisinden önce yapılmış her şeyden çok daha genel bir şekilde bir inceleme yayınladı. Matris hesabının olağan işlemlerini (toplama, çarpma ve bölme) tanımlar ve çarpmanın ilişkisellik ve dağıtılabilirlik özelliklerini gösterir . O zamana kadar, matrislerin kullanımı esasen belirleyicilerin hesaplanmasıyla sınırlıydı; matris işlemlerine bu soyut yaklaşım devrim niteliğindedir. 1858'de Cayley , 2 × 2 matrisler için Cayley-Hamilton teoremini belirttiği ve gösterdiği Matris Teorisi Üzerine Bir Anısını yayınladı .
Ayrıca birçok teorem başlangıçta sadece küçük matrisler için gösterilmiştir: Cauchy'den sonra Hamilton teoremi 4 × 4 matrislere genelleştirir ve 1898'e kadar çift doğrusal formları inceleyen Frobenius teoremi herhangi bir boyutta kanıtlamadı. Bu sonunda oldu XIX inci bu yüzyılın Wilhelm Ürdün yöntemini oluşturur Gauss-Jordan ortadan kaldırılması (Gauss yöntemi genelleme aşamalı diziler ). Başında XX inci yüzyıl, matrisler merkezi olan lineer cebir onlar sınıflandırma sistemlerinde oynadıkları role kısmen sayesinde, hypercomplex sayılar önceki yüzyılın.
Cullis adındaki bir İngiliz matematikçi, 1913'te, matrisleri temsil etmek için modern parantez (veya parantez) gösterimini ve sistematik gösterimi A = [ a i , j ] olan matrisi temsil etmek için kullanan ilk kişiydi . i , j i -inci satırın ve j -inci sütununun terimidir .
Heisenberg , Born ve Jordan sayesinde kuantum mekaniğinin matris mekaniği aracılığıyla formüle edilmesi , sonsuz sayıda satır ve sütun içeren matrislerin incelenmesine yol açtı. Daha sonra, Von Neumann açıklık kuantum mekaniği matematiksel temelleri bu matrisler yerine, doğrusal operatörler ile Hilbert boşluklar .
Belirleyicilerin teorik çalışması çeşitli kaynaklardan gelir. Numarası Sorunları teorisi yol Gauss bir katsayılarını matrisleri ile ilgilidir (veya daha doğrusu onların belirleyici için) kuadratik formda hem de doğrusal haritalar boyutta üç. Gotthold Eisenstein , özellikle modern gösterimde matrislerin çarpımının değişmeli olmadığına dikkat çekerek bu kavramları geliştirir. Cauchy matris belirleyici tanımı olarak kullanılarak, belirleyici faktörler hakkında genel sonuçları gösteren ilk A = [ a i , j ] polinom olarak ikame sonucu, güç arasında, ak
jbir jk tarafından . Ayrıca 1829'da simetrik bir matrisin özdeğerlerinin gerçek olduğunu gösterir. Jacobi , geometrik dönüşümleri sonsuz küçük bir bakış açısından tanımlamak için kullanılan (daha sonra Sylvester tarafından Jacobian olarak adlandırılan) "fonksiyonel belirleyicileri" inceler ; kitap Determinanten der Theorie die über Vorlesungen tarafından Leopold Kronecker ve Zur Determinantentheorie tarafından Karl Weierstrass ilk kez olarak aksiyom belirleyicileri tanımlamak için, her ikisi de, 1903 yılında yayınlanan çoklu doğrusal formları alternatif .
En az iki önemli matematikçi bu kelimeyi alışılmadık bir anlamda kullandı.
Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead kendi içinde Principia Mathematica , kendi bağlamında kelime "matris" kullanmak azalt aksiyomuna (in) . Bu aksiyom, bir fonksiyonun tipini azaltmayı mümkün kılar, tip 0 fonksiyonları, uzantıları (en) ile aynıdır ; sadece serbest değişkenleri olan bir fonksiyona "matris" derler . Dolayısıyla, örneğin, x ve y değişkenlerinden oluşan bir Φ ( x , y ) işlevi, a i ila y arasındaki tüm ikame değerleri için işlevi "göz önünde bulundurarak" tek bir değişkenli bir işlevler koleksiyonuna , örneğin y'ye indirgenebilir . x değişkeni daha sonra y : ∀ b j , ∀ a ben , Φ ( a i , b j ) için aynı şekilde ilerleyerek değerlerin bir “matrisine” indirgenir .
Alfred Tarski , 1946 tarihli Mantığa Giriş'inde , doğruluk tablosu ile eşanlamlı olarak "matris" kelimesini kullanır .
m satır ve n sütunlu bir matris, satır satır düzenlenmiş m × n sayıdan oluşan dikdörtgen bir dizidir . m satır var ve her satırda n eleman var.
Daha resmi ve daha genel olarak, I , J ve K'nin üç küme olmasına izin verin ( K , genellikle bir halka yapısı veya hatta değişmeli bir alan ile sağlanacaktır ).
Denilen matriks tip ( I , J ) ile katsayıları olarak K , bir aile elemanlarının K tarafından indekslenen Kartezyen ürün I x J söylemek herhangi biridir, uygulama A için bir x J bölgesindeki K .
Çoğu zaman, bu makalenin geri kalanında olduğu gibi, I ve J kümeleri sonludur ve sırasıyla {1,…, m } ve {1,…, n } tamsayı kümeleridir . Bu durumda, matrisin m satırı ve n sütunu olduğunu veya boyut veya boyutta ( m , n ) olduğunu söyleriz . Belirten ile bir I , J, bir görüntü çifti ( i , j ) harita A , matrisi daha sonra ifade edilebilir
veya daha basit bir şekilde ( a i , j ) bağlam kendisine uygunsa.
Özel bir durumda I veya J olan boş bir dizi , uygun matris olarak adlandırılır boş matris .
Genellikle bir matris, dikdörtgen bir tablo şeklinde temsil edilir. Örneğin, tamsayı katsayılı ve (3,4) boyutunda bir A matrisinin altında temsil edilir :
Bu gösterimde, boyutun ilk katsayısı satır sayısı, ikincisi ise tablodaki sütun sayısıdır. Sayısının, bir matris m satır sayısı eşittir n sütun çağrılır bir kare matris boyutu (ya da sırayla ) n . Yalnızca bir satır ve n sütun içeren bir matrise , n boyutunda bir satır matrisi denir . İle bir matris m, satır ve tek sütun olarak adlandırılan bir sütun matrisi boyutu m .
Bir matrisin katsayısını bulmak için, onun satır indeksini, ardından sütun indeksini, satırları yukarıdan aşağıya ve sütunları soldan sağa sayarız. Örneğin, a i , j ile , A matrisinin katsayılarını belirteceğiz , i 1 ile 3 arasında öngörülen katsayının göründüğü satır sayısını ve j 1 ile 4 arasında sütun numarasını belirten; böylece bir 2.4 = 7 .
( m , n ) büyüklüğündeki bir A matrisinin katsayılarının genel düzenlemesi bu nedenle aşağıdaki gibidir.
Katsayıları bir i , j ile i = j olduğu söylenir çapraz olan, i ≠ j olduğu söylenmektedir extradiagonal .
Bir submatrix bir A parçası seçerek elde edilen bir matristir I ⊂ {1, ..., m } yan yana sıralanmış ve bir parçası J ⊂ {1, ..., n } sütunları arasında; Biz ifade A I , J . Önceki tanımda I = J ise bir alt matrisin asal olduğunu söylüyoruz . Diyagonal bir A vektörüdür
burada p = min ( m , n ) .
Belirli işlemleri gerçekleştirmek için bir matrisin satır veya sütun sistemi üzerinde çalışmak faydalı olabilir. Daha sonra aşağıdaki formlardan birinde yazabiliriz
Katsayıları ile matrislerin grubu K olan m satır ve n, sütunlar ile gösterilir E m , n, ( K ) (veya bazen E ( m , n , K ) ).
m = n olduğunda daha basit bir şekilde M n ( K )'yi gösteririz .
Let K olmak kümesi ve bir = ( a i , j ) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ∈ M m , n, ( K ) ; Diyoruz transpoze matriksi içinde A matrisi bir T = ( a j , i ) 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ i ≤ m ∈ M n , m, ( K ) . Eğer K a, magma , bir T = ( a j , i ) 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ i ≤ m ∈ M n , m, ( K op ) K op olan ters magma ve K .
Örneğin , önceki örneklerin A matrisiyle ,
Şimdi K'nin bir halka yapısına sahip olduğunu varsayalım ; Vektör olarak kabul edilebilecek matrislerin aksine, K'nin elemanları skaler olarak adlandırılacaktır .
M m , n ( K ) üzerinde skalerlerin eklenmesinden kaynaklanan bir iç bileşim kanunu tanımlıyoruz :
.Sadece aynı boyutta iki matris ekleyebiliriz.
Çiftinin her bir değeri için ( m , n ) , uzay E m , n, ( K ) daha sonra bir hale değişmeli grubu ile, bir nötr element boş matrisi olan tüm katsayıları 0 eşit olduğu,.
Ayrıca sağında bir işlemi tarif eder , K , her boşluk ile E m , n, ( K ) her skalar ile ilişkilendirerek X olarak K ve her bir matris ile ( bir i , j ) katsayılı K , matris ( bir i , j ) λ = ( a i , j λ ) ilk matrisin tüm katsayılarının λ ile K'de sağdaki çarpımı yapılarak elde edilir : bir skaler ile çarpımdır . Halka değişmeli olduğunda çarpma işlemi soldan da yapılabilir.
Her zaman matrisler A birinci örnekten ( bakınız yukarıda ):
Alanlarda M m , n, ( K ) bu şekilde bir yapıya sahip bu nedenle elde edilen K - sağ modülü ve daha özel olarak K - vektör alan varsa, K a, değişmeli alan .
Matris uzayının kanonik temeliK Modül E m , n, ( K ) olan serbest seviye arasında mn , yani bir sahip, temel bir milyon elemanlarının: dikkate almak yeterli kurallı tabanı ( E i , j ) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n . E i , j matrisi , 1'e eşit olan ( i , j ) indeksi hariç tüm katsayıların sıfır olduğu matristir .
A matrisinin kanonik tabanındaki koordinatlar , onun katsayılarıdır:
Bir satır matrisinin çarpımını bir sütun matrisi ile tanımlayarak başlıyoruz. Let burada n bir tam sayıdır, L bir satır matrisi, x i katsayılarının, Cı sütun matrisi, y i katsayılarının. Her ikisinin de n boyutunda olduğu varsayılır . Daha sonra, bir skaler veya bir boyut matrisi (1, 1) olarak kabul edilen ürünü tanımlarız:
Matrislerin boyutlarında uyumluluk durumu fark edilir (birincisinin sütun sayısının ikincisinin satır sayısı ile eşitliği). Şimdi iki matrisin, ilk arasında daha genel olarak, bir ürün tanımlar ( x i , j ) içinde E m , n, ( K ) , ikinci ( y i , j ) içinde M , n , p ( K ) , her zaman A 'ile boyutlar üzerinde uyumluluk durumu (ve çarpma faktörlerinin sırası genel olarak değiştirilemez). Elde edilen sonuç , katsayıları ( z ben , j ) şu şekilde elde edilen bir M m , p ( K ) matrisidir :
Bir satır matrisinin bir sütun matrisi ile çarpımı örneği ışığında, bu katsayı, birinci matrisin i satırının ikincinin j sütunu ile çarpımına eşit olduğunu söyleyerek bu tanımı yeniden formüle edebiliriz. aşağıdaki gibi, eğer L i birinci matrisin satırları ve C j sütunları ikinci ise, ürün: .
Matris çarpımı birleştiricidir , matris toplamasına göre sağda ve solda dağılır . Boyutlar mümkün soruya bir anlam vermek yapmak bile Öte yandan ve skalerler halka değişmeli olsa bile matrisleri bir ürünü yok genelde gidip : AB için genel, eşit olmayan BA örneğin:
Not : Yukarıdaki örnekte olduğu gibi sıfır olmayan iki matrisin çarpımı sıfır olabilir.
A ve B matrislerinin ilgili boyutlarına bağlı olarak , iki üründen birinin var olduğu ve diğerinin olmadığı bile olur.
Yer değiştirme ve matris çarpımı şu anlamda uyumludur:
( K halkası değişmeli olmasa bile , aktarılan matrislerin katsayılarının K op halkasında olduğunu hatırlayalım ).
Bir matrisin özdeşliği ve ters matrisiHer n tamsayısı için , köşegen katsayıları 1'e eşit ve diğer katsayıları sıfır olan n boyutundaki kare matrisi I n ile gösteririz ; n boyutundaki kimlik matrisi olarak adlandırılır .
nerede δ i, j göstermektedirler Kronecker sembolü .
Boyut uyumluluğu tabi olarak, ben n matrisler olan sol ve sağ nötr çoğalması için.
A boyut matrisi olsun ( m , n ). Bu demek bir olduğu tersi bir matris mevcutsa (sırasıyla solda) sağ tarafta B boyutu (ve n , m ile), böylece AB = ı m (sırasıyla BA = I , n ). Hem sağ hem de sol ise basitçe ters çevrilebilir olduğu söylenir . Alt kümesi M n ( K ) tersinir matrislerin yapılmış matris ürün için bir grup yapısına sahiptir; buna lineer grup denir ve GL n ( K ) ile gösterilir .
Bir katsayılı bir kare matris için değişmeli halka K sağ olmak veya sola tersi ya da bir olan ters çevrilebilir bir belirleyici olarak K (eğer örneğin sıfır olmayan K bir alandır) üç eşdeğer özellikler vardır.
Halka zaman K değişmeli, resim M n ( K ) boyutta kare matrisler N nedenle yapısına sahip olduğunu K - birleştirici ve üniter cebir matris ilavesiyle, bir büyüklük ve ürün matrisi tarafından ürün.
Skaler matris olarak adlandırılan , λ'nın K halkasının bir üyesi olduğu I n λ biçiminde bir matris .
Bu matrislere skaler matrisler denir çünkü çarpmaya göre skaler gibi davranırlar:
Zaman K değişmeli, veya, bu olmazsa bir λ olan merkezi olarak K , yani zaman λ tüm elemanları ile yolculukları K , de vardır:
Tersine, herhangi bir matris B ait M n ( K ) bu şekilde ∀ bir ∈ M n ( K ), AB = BA skalar matristir I , n A, A, içinde merkezi bir K (bunun için alınması ile gösterilir A matrislerinin kanonik temel ).
Formun bir matrisi:
diyagonal matris olarak adlandırılacaktır .
Determinantın yanı sıra, notun bir başka işlevi de trace'dir . Her ikisi de daha genel bir nesnede, köşegenleştirilebilir matrislerin (yani bir köşegen matrise benzer ) veya trigonalizasyonun belirli karakterizasyonlarını sağlayan karakteristik polinomda görünür .
GL n ( K ) doğrusal grubunu matrislerin uzayları üzerinde hareket ettirmenin birkaç yolu vardır, özellikle:
Şimdi, skalerler değişmeli bir alan oluşturduğunda, bu eylemler üzerindeki klasik sonuçları açıklıyoruz. İlk iki eylem genellikle aynı anda düşünülür; iki matrisin: bu nedenle, söz ilgilenen bir ve B boyutunun ( m , n ) matrisleri bulunmaktadır var olmayan, verilen p ∈ GL m ( K ) ve S ∈ GL m ( K ) bu şekilde bir = PBQ -1 ? Bu durumda, A ve B matrislerinin eşdeğer olduğu söylenir . Ana sonuç, iki matrisin ancak ve ancak aynı rütbeye sahip olmaları durumunda eşdeğer olduğudur ; bu, yine, rütbenin, sol ve sağdaki iki çarpma eylemi tarafından tanımlanan çift sınıflar için tam bir değişmez olduğu söylenerek ifade edilir. . Ayrıca, bir matris verildiğinde, Gauss pivot yöntemi ile bu eylemlerden biri için aynı yörüngede başka ayrıcalıklı matrisler ( ölçeklendirilmiş matrisler ) bulunabilir .
Konjugasyon ile işlem için, iki kare matris A ve B boyutu , n aynı yörüngede şeklinde bir ilişki kabul A = PBP -1 , belirli için tersi matris P boyutu , n ; bu tür iki matrisin benzer olduğu söylenir . Tam bir değişmezler sisteminin (benzer matrisleri karakterize eden) tanımı daha hassastır. Bu değişmezlere benzerlik değişmezleri diyoruz . Algoritmik bir bakış açısından, keyfi bir matrisin ayrıcalıklı bir biçimde bir matrise indirgenmesi, Gauss pivotundan esinlenen bir algoritma tarafından yapılır, bkz. değişmez faktör teoremi .
Matrislerin ana avantajı, lineer cebirin olağan işlemlerinin belirli bir kanoniklikle uygun şekilde yazılmasına izin vermeleridir .
Birinci nokta bildirimi için bir K Modül K , n kanonik kolonun boşluk ile tanımlanır matrisler M n , 1 ( K ) : eğer , e i olduğu , n -tuplet arasında K , n katsayıları sıfır, ancak i - TH1 değer olan, bunun ile ilişkilendirmek i -inci kolon matrisi E i , 1 arasında standart olarak bir M n , 1 ( K ) (katsayıları dışında sıfır bir i -inci 1 değerinde olan), ve tanımlamayı doğrusallıkla genişletiriz; her n- uplet ile ilişkili matris , kurallı koordinat matrisi olarak adlandırılacaktır .
Ancak başka tanımlamalar da mümkündür; bir söz zaman baz (skalerler halka, örneğin, bir alan ise), uzay herhangi esaslı temel kolon matrisleri ilişkilendirebilir K , n (ya da daha genel olarak bir K - serbest modülü), daha sonra uzanır yine doğrusallıkla; ilişkili matrisler, dikkate alınan tabanda koordineli matrisler olarak adlandırılacaktır.
Koordinat matrisleri, sabit bir tabanda, birkaç n- uple yan yana getirilebilir. Böylece bir vektör ailesinin koordinat matrisini elde ederiz. Seviye matrisinin daha sonra bu vektörlerin ailesinin boyut olarak tanımlanır. Özellikle bir bazın diğer bazındaki matrisine bu iki baz arasındaki geçiş matrisi veya baz değişim matrisi denir . Eğer X ve X ', iki baz aynı vektör matrisler koordine olan B ve C , ve P baz geçişin matristir C tabanı içinde B , biz (geçidin bir matris her zaman ters çevrilebilir) ilişkisi vardır:
Let E ve F , iki vektör, ilgili boyutların alanlarda , n ve m, bir alan üzerinde K , B bir baz E , C bir baz F ve φ bir doğrusal eşleme arasında E olarak F .
Bu bazların (çiftinin cp matris çağrı B , C ) mat matris B , C ( φ ) ait M m , n, ( K ) bu şekilde herhangi bir vektör için , x ve E , biz halinde göstermektedirler y = φ ( x ) , X = mat B ( x ) ve Y = mat C ( y ) , o zaman:
Eğer ψ, D tabanına sahip üçüncü bir G vektör uzayında F'nin ikinci bir doğrusal haritasıysa, o zaman, B , C , D tabanlarına göre, bileşik ψ ∘ φ matrisi, ψ matrislerinin çarpımına eşittir. ve φ . Daha kesin :
Uygulama L ( E , F cinsinden) K m , n, ( K ) her biri ile cp (kendi matris ilişkilendiren B , C ) bir bir vektör boşlukların izomorfizm .
Herhangi bir matris için M arasında K m , n, ( K ) , harita X ↦ MX arasında K -vector alan M , n , 1 ( K cinsinden) K -vector alanı E m , 1 ( K ) doğrusaldır. Bu, lineer cebir ve matrisler arasındaki bağlantıda kilit bir noktadır. Sonuç olarak, M matrisinin bu lineer harita ile tanımlandığı sıklıkla olur . Daha sonra matrisin çekirdeğinden , matrisin özuzaylarından , matrisin görüntüsünden vb. bahsedeceğiz .
Eğer B ve B 'iki bazlardır E , C ve C' , iki baz F , P = örgü B ( B ' ) geçidin matris gelen B için B' ve Q dan geçiş matris C için C ' daha sonra, iki matris M ve 'M aynı lineer dönüşümün E içinde F bazların çifti (içinde, B , C () ve B' , C ' :) ile bağlantılıdır = Q, M' -1 MP . Bu nedenle, iki eşdeğer matrisin , farklı tabanlarda aynı doğrusal haritayı temsil eden iki matris olduğu not edilir . Özellikle, bir endomorfizm durumunda, B = C ve B ' = C' uygularsak , önceki formül şöyle olur: M '= P -1 MP ve iki benzer matris , farklı bazlarda aynı endomorfizmi temsil eden iki matristir. .
aktarmaYine E ve F , iki K -spaces sonlu boyutlarının vektör, söz konusu bazlar B ve C , ve φ doğrusal haritalama E olarak F . İkilileri arasındaki transpoze lineer harita t φ: F * → E * ile tanımlanır
İkili baz çiftindeki ( C *, B *) matrisi, ( B , C )' deki φ matrisiyle şu şekilde bağlantılıdır :
AçıklamaHalka değişmeli olmadığında, vektörler sütun matrisleri ile temsil ediliyorsa, lineer cebir, ancak dikkate alınan modüller veya vektör uzayları sağda ise , yukarıda ayrıntılı olarak verilen makalelerde olduğu gibi, sola karşılık gelen bir lineer harita ise matris hesabı ile uyumludur. bir sütun vektörünün onu temsil eden matrisle çarpımı. Solda modüller veya vektör uzayları olmasını istiyorsak , vektörleri satır matrisleriyle temsil etmeliyiz , bu sefer doğrusal bir harita, bir satır vektörünün sağındaki onu temsil eden matris tarafından çarpılarak temsil edilir.
Genel olarak, n bilinmeyenli m lineer denklem sistemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:
burada x 1 , ..., x n bilinmeyenlerdir ve a i , j sayıları sistemin katsayılarıdır.
Bu sistem matris formunda yazılabilir:
ile birlikte :
sistemlerin çözünürlüğü teorisi, A matrisine bağlı değişmezleri ( sistemin matrisi olarak adlandırılır ), örneğin sıralamasını ve A'nın ters çevrilebilir olması durumunda determinantını kullanır (bkz. Cramer kuralı makalesi ).
Bu paragrafta, skalerlerin K halkasının değişmeli olduğu varsayılacaktır. Çoğu uygulamada, bu değişmeli bir alan olacaktır.
Değişmeli olmayan durum da var, ancak bazı önlemler alınması gerekiyor ve bu makale için gösterimler çok ağırlaşıyor.
Let E verdi bir K Modül ve B = ( E 1 , ..., e n ), bir taban e .
Olalım bir iki çizgili formu . B tabanındaki matrisi aşağıdaki formülle tanımlarız :
K = ℝ ve f'nin bir nokta çarpım olduğu özel durumda , bu matrise Gram matrisi denir .
Mat matris B f olan simetrik (sırasıyla antisymmetric ) ve eğer iki-doğrusal bir şekilde sadece bir simetrik (sırasıyla antisymmetric ).
E'nin iki vektörü x ve y olsun . B tabanındaki koordinatlarını X ve Y ile gösteriniz ve A = mat B f . O zaman formülümüz var .
İki çift doğrusal form, ancak ve ancak belirli bir tabanda aynı matrise sahiplerse eşittir.
K , 2'den farklı bir karakteristik alan olduğunda , ikinci dereceden formun ortaya çıktığı simetrik çift doğrusal formun matrisi, ikinci dereceden bir formun matrisi olarak adlandırılır.
Let E verdi bir K serbest ve Modül B, C ve iki baz E . Bilineer bir form düşünün .
Not M = örgü B ön matris f baz olarak B ve M ' = mat C f matris f üssü C . Geçiş matrisini P = mat B C ile gösterelim . Daha sonra bilineer bir form için temel değişim formülüne sahibiz ( doğrusal bir uygulama için bununla karıştırılmamalıdır ):
İki kare matrisler A ve B olduğu söylenmektedir uyuşan tersinir matris mevcutsa P şekildedir
İki uyumlu matris, iki farklı temelde aynı çift doğrusal formu temsil eden iki matristir.
Zaman K , 2'den farklı olan karakteristik bir alandır, herhangi bir simetrik matris uyuşan bir köşegenel matristir. Kullanılan algoritma , Gauss pivotu ile karıştırılmaması için Gauss indirgemesi olarak adlandırılır .
Bir matrisin devriğine eşitse simetrik, devrikine zıtsa antisimetrik olduğu söylenir.
Karmaşık katsayılara sahip bir matris A matris eşleniği A'nın devrik değerine eşitse Hermitian olarak adlandırılır .
Bir matris bir söylenir
(Daha fazla örnek için sayfanın alt kısmına bakın: "İlgili makaleler" ve "Matrisler" paleti)
İster Dunford'un ayrıştırılmasında olduğu gibi gerçek bir ayrıştırma (toplamda) olsun, isterse diğer ayrıştırmaların çoğunda olduğu gibi bir çarpanlara ayırma olsun, bir matrisin ayrıştırılması terimini yanlış kullanıyoruz .
Bu paragraf boyunca, K = ℝ veya ℂ .
Bir matris bir norm bir bir cebri normu üzerinde cebir M n ( K ) olan, bir vektör uzayı norm bundan başka, alt-çarpma olup.
Spektral yarıçapı bir kare matris A kompleks katsayıları ile büyük olan modülü onun bir eigen . A matris normlarının alt sınırına eşittir .
Açık M n ( K ) herhangi bir norm N bağlı bir norma ilgili K , n , bir cebri normu ayrıca tatmin edici N ( I n ) 1 = (tersi yanlıştır).
M m , n (ℝ) vektör uzayı , kanonik olarak ℝ mn ile izomorfiktir , Öklid yapısını devralır . Skaler ürün olarak transkripsiyonu
burada belirtmektedir iz (yani, ) ve bir i , j (resp. b i , j ) elemanlarını ifade A (sırasıyla. B ). Bu skaler çarpımla ilişkili standart, Frobenius standardı veya Hilbert-Schmidt standardıdır :
burada σ ( A ) vektörüdür tekil değerlerin ve A ve bir Öklid normu .
Eğer m = n > 1 , bir alt norm, çünkü değil
Cauchy-Schwartz eşitsizliği olan (herhangi bir skaler ürün için gibi) yazılı:
Bu eşitsizlik, von Neumann iz eşitsizliği ile güçlendirilebilir :
burada σ ( A ) vektörüdür tekil değerlerin ve A , sırasına göre düzenlenmiştir . Matrislerin kare ve simetrik olduğunu varsayan Ky Fan eşitsizliği ile aynı yapıya sahiptir (daha sonra σ (•) yerine özdeğer vektörü koyabiliriz ).
Vektör uzayı M m, n (ℂ) , Hermit uzayının benzer bir yapısına sahiptir .
Let bir ∈ M n (ℂ) ya da N , standart cebir ve bir bütün dizi arasında yakınsama yarıçapı R .
Daha sonra, eğer , N ( A ) ' R , seri olan mutlak yakınsak . (Bunu N ( A n ) ≤ N ( A ) n kullanarak gösteriyoruz .)
Özellikle, herhangi bir karmaşık kare matris için miktar tanımlanabilir.
Bu üsselin etkin hesaplanması matrisin indirgenmesiyle yapılır .
Üstel, doğrusal diferansiyel denklem sistemlerinin çalışmasında merkezi bir rol oynar .