Ornstein-Zernike denklemi
N parçacıklı bir ortamda , Leonard Ornstein ve Frederik Zernike'den kaynaklanan Ornstein-Zernike denklemi , bir parçacık üzerindeki ortalama etkiyi hesaplamak için ortamdaki çeşitli çiftleri birbirine bağlayan korelasyonu hesaba katmayı mümkün kılar . Bu ortamın iki parçacık arasındaki basit etkileşimin ötesinde açıklaması, bu çalışmanın kökeninde bir fenomen olan kritik opalescence gibi istatistiksel dalgalanmalarla ilgili olgulara ve aynı zamanda ' durum denklemi ' gibi birçok ilişkiye erişim sağlar .
Ornstein-Zernike denklemi
Elde etme
Bir partikül yoğunluğu ortamında n, g ( r ij ) , r ij = | ile uzaktaki i ve j partikül çiftleri için radyal dağılım fonksiyonu olsun . r ben - r j | (belirli bir mesafede bir veya daha fazla parçacığın varlığının olasılık yoğunluğu). Tarafından verilir
g(rbenj)=e-βW(rbenj),β=1kT{\ displaystyle g (r_ {ij}) = e ^ {- \ beta W (r_ {ij})} \ ,, \ qquad \ beta = {\ frac {1} {kT}}}burada W (r ij ), etkileşimler kümesinden kaynaklanan ortalama etkileşim potansiyelidir.
Var ve biz tanımlıyoruz limr→∞g(r)=1{\ displaystyle \ lim \ sınırlar _ {r \ ile \ infty} g (r) = 1}h(rbenj)=g(rbenj)-1{\ displaystyle h (r_ {ij}) = g (r_ {ij}) - 1}
Bu yerde :
- Partikül 2, partikül 1 tarafından nc ( r 12 ) miktarından etkilenir , c doğrudan korelasyon fonksiyonudur,
- partikül 3 ayrıca partikül 1 tarafından nc ( r 13 ) miktarından etkilenir ,
- 3'ün bu modifikasyonu 2'yi nc ( r 13 ) c ( r 23 ) ile etkileyecektir .
3. parçacığın keyfi olduğu için etkisi bir Fredholm integral denklemi ile verilir.
h12=vs(r12)+değil∫vs(r13)vs(r23)dr3{\ displaystyle h_ {12} = c (r_ {12}) + n \ int c (r_ {13}) c (r_ {23}) \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {3}}Elde ettiğimiz tüm parçacıkların muhakemesini tekrarlayarak
h12=vs(r12)+değil∫vs(r13)vs(r23)dr3+değil2∫vs(r13)dr3∫vs(r34)vs(r24)dr4+...=vs(r12)+değil∫vs(r13)h(r23)dr3=vs(r12)+değil∫vs(|r12-r23|)h(r23)dr3{\ displaystyle {\ begin {dizi} {rcl} h_ {12} & = & c (r_ {12}) + n \ int c (r_ {13}) c (r_ {23}) \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {3} + n ^ {2} \ int c (r_ {13}) \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {3} \ int c (r_ {34}) c (r_ { 24}) \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {4} + ... \\ [0.6em] & = & c (r_ {12}) + n \ int c (r_ {13}) h ( r_ {23}) \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {3} \\ [0.6em] & = & c (r_ {12}) + n \ int c (| \ mathbf {r} _ {12 } - \ mathbf {r} _ {23} |) h (r_ {23}) \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {3} \ end {dizi}}}Evrişim ürününü tanıyoruz
h12=vs(r12)+değil(vs∗h)(r12){\ displaystyle h_ {12} = c (r_ {12}) + n (c * h) (r_ {12})}Fourier dönüşümü
Bir Fourier dönüşümü, h'nin dönüşümü üzerine bir denklem yazmayı mümkün kılar
h^(s)=vs^(s)+değilh^(s)vs^(s){\ displaystyle {\ hat {h}} (s) = {\ hat {c}} (s) + n {\ hat {h}} (s) {\ hat {c}} (s)}Çözüm şudur
h^(s)=vs^(s)1-değilvs^(s){\ displaystyle {\ hat {h}} (s) = {\ frac {{\ hat {c}} (s)} {1-n {\ hat {c}} (s)}}}Bu aşamada, c (r) belirtilmemiştir: bu nedenle ters Fourier dönüşümünü gerçekleştirmek imkansızdır.
Denklemin yaklaşık çözünürlüğü
Daha sonra, devrimin potansiyelleri ve izotropik ortam varsayılır. Yoğunluk fonksiyonel teorisini kullanarak aşağıdaki formda denklemin resmi bir çözümünü yazabiliriz.
g(r)=e-βU(r)+Γ(r)+b(r){\ Displaystyle g (r) = e ^ {- \ beta U (r) + \ Gama (r) + b (r)}}U (r) iki izole parçacık için potansiyeldir, Γ gama fonksiyonu ve b (r) grafik teorisinden analitik olmayan bir terimdir .
Diğer miktarlar düşülür
h(r)=e-βU(r)+Γ(r)+b(r)-1{\ Displaystyle h (r) = e ^ {- \ beta U (r) + \ Gama (r) + b (r)} - 1}vs(r)=e-βU(r)+Γ(r)+b(r)-1-Γ(r){\ Displaystyle c (r) = e ^ {- \ beta U (r) + \ Gama (r) + b (r)} - 1- \ Gama (r)}Hiper ağlı zincir yaklaşımı
Bu yöntem basitçe b (r) ihmal edilerek elde edilir.
vs(r)=e-βU(r)+Γ(r)-1-Γ(r){\ Displaystyle c (r) = e ^ {- \ beta U (r) + \ Gama (r)} - 1- \ Gama (r)}
Percus-Yevick yöntemi
Bu yöntem, Jerome Percus ve George Yevick'e (1958) bağlıdır. Yalnızca ilk iki terimin korunduğu bir Taylor serisinde b (r) 'nin ihmal edildiği ve Γ (r)' nin geliştirildiği bir çözüm arıyoruz.
vs(r)=e-βU(r)(1+Γ(r))-1-Γ(r){\ Displaystyle c (r) = e ^ {- \ beta U (r)} \ sol (1+ \ Gama (r) \ sağ) -1- \ Gama (r)}Bu denklemin, sert küreler tipi potansiyeli durumunda analitik bir çözümü vardır .
Genel olarak, yüksüz bir ortam için iyi sonuçlar verir. Uzun menzilli potansiyeller bu yaklaşımla zayıf bir şekilde temsil edilmektedir.
Notlar ve referanslar
Notlar
-
Percus-Yevick yaklaşımı, Hypernetted-chain yaklaşımından önce gelir ve diğer argümanlar üzerine inşa edilmiştir.
Referanslar
-
(içinde) Leonard Ornstein ve Frits Zernike , " Tek bir maddenin kritik noktalarında kazara yoğunluk sapmaları ve kızarma " , Proceedings KNAW , cilt. 17II,1914, s. 793-806 ( çevrimiçi okuyun )
-
(in) , Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss'e ve Robert Byron Bird , sıvı ve gazlar Moleküler Teorisi , John Wiley and Sons ,1966( ISBN 978-0-471-40065-3 )
-
(inç) JP Hansen ve McDonald IR, Basit Sıvıların Teorisi: Yumuşak Maddeye Uygulamalar , Amstersdam, Academic Press ,2013( ISBN 978-0-12-387032-2 )
-
(inç) JMJ van Leeuwen, J. ve J. de Boer Groenveld, " Çift korelasyon fonksiyonunun hesaplanması için yeni yöntem I " , Physica , Elsevier Science BV, cilt. 25 Hiçbir kemikleri 7-12,1959, s. 792-808 ( ISSN 0031-8914 , DOI 10.1016 / 0031-8914 (59) 90004-7 , Bibcode 1959Phy .... 25..792V , çevrimiçi okuyun )
-
(in) Jerome K. Percus ve George J. Yevick, " Klasik İstatistiksel Mekaniğin Kolektif Koordinatlar Yoluyla Analizi " , Physical Review , cilt. 110, n o 1,1958, s. 1-13 ( ISSN 0031-899X , DOI 10.1103 / PhysRev.110.1 , Bibcode 1958PhRv..110 .... 1P , çevrimiçi okuma , 31 Ağustos 2018'de erişildi )
-
(inç) MS Wertheim, " Sert Küreler için Vurmalı-Yevick İntegral Denkleminin Tam Çözümü " , Physical Review Letters , cilt. 10, n o 8,1963, s. 321-323 ( ISSN 1079-7114 , DOI 10,1103 / PhysRevLett.10.321 , bibcode 1963PhRvL..10..321W , çevrimiçi okumak erişilen, 2018 31 Ağustos )
Ayrıca görün
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">