Doğru denklem
Gelen afin geometri , bir düz çizgi denklemi , geniş anlamda, bu işlemlerden ait tüm noktaları tarif kolaylaştırır düz çizgi .
2 boyutunun afin düzlemindeki bir çizgi, bir Kartezyen denklemi ile belirlenir ; bir bir çizgi afin alan bir boyut 3, satır kesişim iki sekant düzlemlerini tanımlayan iki Kartezyen denklemler sisteminde belirlenir; vb.
Tanım
Düz bir D çizgisinin denklemi, birinci dereceden birkaç bilinmeyene ( koordinatlar ) bir (veya daha fazla) denklemdir ve çözümleri seti doğru D'yi oluşturur .
Planda
Düzlemde, D' yi oluşturan M ( x , y ) noktaları kümesi , formun bir denklemiyle temsil edilebilir:
-dex+by+vs=0{\ displaystyle ax + by + c = 0}
burada a , b ve c sabitlerdir, öyle ki ( a , b ) ≠ (0, 0) . Bu durumda,
D={(x,y)∈R2∣-dex+by+vs=0}.{\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid ax + by + c = 0 \}.}
Boşlukta
Kartezyen koordinatlarda üç boyutlu bir uzayda, D çizgisini oluşturan M ( x , y , z ) noktaları kümesini şu şekilde tanımlayabiliriz :
- parametrik bir denklem;
- paralel olmayan düzlemlerin iki denklem sistemi ;
- ikisine eşit, üç denklemden oluşan fazlalık bir sistem.
Parametrik bir sistem
Eğer bir ( X , A , Y bir , Z bir ) hattı bir nokta D ve bir yönlendirmektedir D , bu hat kullanılarak tanımlanabilir aşağıdaki parametre denklemi :
sen→(-debvs){\ displaystyle {\ vec {u}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}}{x=-det+xATy=bt+yATz=vst+zATt∈R{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = at + x_ {A} \\ y = bt + y_ {A} \\ z = ct + z_ {A} \ end {matrix}} \ sağ. \ quad t \ in \ mathbb {R}}
İki denklem sistemi
D Hattı , iki formdaki denklem sistemiyle de tanımlanabilir:
{-dex+by+vsz+d=0-de′x+b′y+vs′z+d′=0{\ displaystyle {\ begin {case} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d '= 0 \ end {case}}}
burada bir , b , c , d , a ' b', , c ' d' üçlü şekilde sabitler ( a , b , c ) ve ( a ' b', , c ' ) olmayan olan eşdoğrusal , başka bir deyişle olmayan oransal (özellikle de iki üçlü sıfır olmalıdır).
-dex+by+vsz+d=0{\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}ve paralel olmayan iki düzlemin denklemleridir.
-de′x+b′y+vs′z+d′=0{\ displaystyle a'x + b'y + c'z + d '= 0}
Fazladan üç denklem sistemi
Boyut 3 yönlendirilmiş Öklid alana, bir nokta M ( x , y , z ) geçerek hattına ait A ( x A , Y , A , Z bir ) ve vektör yönlendirme (sıfır), ancak ve ancak çapraz ürün olan sıfır vektörü (nedeniyle ve , daha sonra eş doğrusal ). Daha genel olarak , boyut 3'ün herhangi bir afin uzayında, bu çizgi üç denklem sistemi tarafından belirlenir.
sen→(-debvs){\ displaystyle {\ vec {u}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}} sen→∧ATM→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ land {\ overrightarrow {AM}}}ATM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}ATM→=ksen→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}} = k {\ vec {u}}}
{b(z-zAT)-vs(y-yAT)=0vs(x-xAT)--de(z-zAT)=0-de(y-yAT)-b(x-xAT)=0,{\ displaystyle {\ başlar {durumlar} b (z-z_ {A}) - c (y-y_ {A}) = 0 \\ c (x-x_ {A}) - a (z-z_ {A} ) = 0 \\ a (y-y_ {A}) - b (x-x_ {A}) = 0, \ end {vakalar}}}bu gereksizdir çünkü ikisine eşittir. Aslında, örneğin a a 0 ise, ilk denklem diğer ikisinden çıkarılır:
(z-zAT=vs-de(x-xAT) ve y-yAT=b-de(x-xAT))⇒b(z-zAT)-vs(y-yAT)=(bvs-de-vsb-de)(x-xAT)=0.{\ displaystyle \ left (z-z_ {A} = {\ frac {c} {a}} (x-x_ {A}) {\ text {et}} y-y_ {A} = {\ frac {b } {a}} (x-x_ {A}) \ right) \ Rightarrow b (z-z_ {A}) - c (y-y_ {A}) = \ left (b {\ frac {c} {a }} - c {\ frac {b} {a}} \ sağ) (x-x_ {A}) = 0.}Özel durumlar
Düzlemde, x eksenine paralel (yatay) bir çizgi form denklemine sahiptir:
y=y0{\ displaystyle y = y_ {0}}belirli bir gerçek için .y0{\ displaystyle y_ {0}}
Benzer şekilde, y eksenine paralel (dikey) bir doğru formun denklemine sahiptir:
x=x0{\ displaystyle x = x_ {0}}belirli bir gerçek için .x0{\ displaystyle x_ {0}}
Düzlemde bir çizgi denklemi bulmak
Bir denklem sistemini çözerek
Diyelim ki düzlemin çakışmayan iki noktası, M ( u , v ) ve M ' ( u' , v ' ) .
Bu iki noktadan geçen çizgi dikey değilse ( ), denklemi .
sen≠sen′{\ displaystyle u \ not = u '}y=-dex+b{\ displaystyle y = balta + b}
Denklemini bulmak için sistemi çözmeliyiz:
{v=-desen+bv′=-desen′+b{\ displaystyle {\ begin {case} v = au + b \\ v '= au' + b \ end {case}}}
Biz (yönetmen katsayısı) var.
-de=v′-vsen′-sen{\ displaystyle a = {\ cfrac {v'-v} {u'-u}}}
Sabit b'yi (y kesme noktası) bulmak için , x ve y değişkenlerini sırasıyla u ve v (veya u ' ve v' ) ile değiştirmek yeterlidir .
Öyleyse var .
v=-desen+b⇔b=v--desen{\ displaystyle v = au + b \, \ Leftrightarrow \, b = v-au}
Nereden, sağdaki denklemi değiştirerek, elimizde: (çarpanlara ayırma)
y=-dex+v--desen⇔y=-de(x-sen)+v{\ displaystyle y = ax + v-au \ Leftrightarrow y = a (xu) + v}
Değiştirerek bir değeri (yönetmeni katsayısı), çizgi denklemi nihayet(MM′):y=v′-vsen′-sen(x-sen)+v{\ displaystyle \ sol (MM '\ sağ): y = {\ cfrac {v'-v} {u'-u}} (xu) + v}
(Özel durumda , böylece yatay denklem çizgisini buluruz .)
v′=v{\ displaystyle v '= v}y=v{\ displaystyle y = v}
Ya da daha genel olarak, biz denklemin hattı doğrulayabilir ile
-dex+by+vs=0{\ displaystyle ax + by + c = 0}{-de=v′-vb=sen-sen′vs=-(bv+-desen){\ displaystyle {\ başlar {vakalar} a = v'-v \\ b = u-u '\\ c = - (bv + au) \ son {vakalar}}}
olan bir nokta boyunca geçen hat, ve ne olursa olsun koordinatları.
M(sen,v){\ displaystyle M \ sol (u, v \ sağ)}M′(sen′,v′){\ Displaystyle M '\ sol (u', v '\ sağ)}
İki vektörün doğrusallığı ile
Düzlemde, iki ayrı nokta A ve B düz bir çizgi belirler .
(ATB){\ displaystyle \ sol (AB \ sağ)}
M(x,y){\ displaystyle M \ sol (x, y \ sağ)}Bu doğrunun bir noktasıdır ancak ve ancak vektörler ve eşdoğrusal ise (aynı nihai denklemi A ve B'nin rollerini ters çevirerek elde ederiz ).
ATB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}ATM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}}}
Çizginin denklemini yazarak elde ederiz
(xB-xAT)(y-yAT)-(yB-yAT)(x-xAT)=0.{\ displaystyle \ sol (x_ {B} -x_ {A} \ sağ) \ sol (y-y_ {A} \ sağ) - \ sol (y_ {B} -y_ {A} \ sağ) \ sol (x -x_ {A} \ sağ) = 0.}
Son olarak, doğrunun denklemi :
(ATB){\ displaystyle \ sol (AB \ sağ)}(yB-yAT)x+(xAT-xB)y+xByAT-xATyB=0.{\ displaystyle \ sol (y_ {B} -y_ {A} \ sağ) x + (x_ {A} -x_ {B}) y + x_ {B} y_ {A} -x_ {A} y_ {B} = 0.}
Ne zaman , yaklaşık muhakeme yaparak aynı denklemin ile bitirmek yönetmenlik katsayısı ve yazarak:
xB≠xAT{\ displaystyle x_ {B} \ neq x_ {A}}y-yAT=yB-yATxB-xAT(x-xAT).{\ displaystyle y-y_ {A} = {\ frac {y_ {B} -y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} (x-x_ {A}).}
eşittir :
y=yB-yATxB-xATx+(yAT-yB-yATxB-xATxAT).{\ displaystyle y = {\ frac {y_ {B} -y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} x + \ sol (y_ {A} - {\ frac {y_ {B} - y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} x_ {A} \ sağ).}
Ne zaman , çizgi basitçe denklemdir .
xB=xAT{\ displaystyle x_ {B} = x_ {A}}x=xAT{\ displaystyle x = x_ {A}}
Misal:
Düzlemde, noktalardan geçen çizgi ve denklemi vardır:
AT(-1;4){\ displaystyle A (-1; 4)}B(1;0){\ displaystyle B (1; 0)}y-4=0-41-(-1)(x-(-1)){\ displaystyle y-4 = {\ frac {0-4} {1 - (- 1)}} (x - (- 1))}
basitleştirmeden sonra:
2x+y-2=0.{\ displaystyle 2x + y-2 = 0.}
İki vektörün ortogonalitesiyle
Let A aşağıdaki Öklid düzleminde ve üzerindeki bir nokta sıfır olmayan bir vektör. A ve normal vektörün içinden geçen çizgi , düzlemin M noktaları kümesidir, örneğin:değil→{\ displaystyle {\ vec {n}}}değil→{\ displaystyle {\ vec {n}}}ATM→⋅değil→=0.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}} \ cdot {\ vec {n}} = 0.}
Uyarılar
- Bir çizgi, onu temsil eden sonsuz sayıda denkleme sahip olabilir.
- Düzlemde düz, formun bir denklemini (Kartezyen olarak adlandırılır) kabul eder .-dex+by+vs=0{\ displaystyle ax + by + c = 0}
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">