Lagrange denklemleri
Lagrange denklemleri matematikçi tarafından 1788 yılında keşfedilen, Joseph-Louis Lagrange , klasik mekaniğin yeniden formüle olduğunu.
Birinci tür denklemler
Bu, Newton denkleminin reaksiyon kuvvetlerini içermeyen bir yeniden formülasyonudur .
Bunun için, incelenen parçacığın maruz kaldığı stresleri, aşağıdaki türden denklemler şeklinde ifade ediyoruz: gben(x→,t)=0{\ displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}}, t) = 0}
Hareket bir yüzeyle sınırlandırılmışsa yalnızca bir denklem, bir eğriyle sınırlandırılmışsa iki denklem vardır.
Örneğin, basit sarkaç için kısıtlamamız var . Ayrıca hareket Oxz düzleminde yapılırsa, denklemi ekleriz.g1(x→,t)=r-ben=0{\ displaystyle g_ {1} ({\ vec {x}}, t) = rl = 0}g2(x→,t)=y=0{\ displaystyle g_ {2} ({\ vec {x}}, t) = y = 0}
Tepki kuvvetlerinin (sürtünme hariç) yüzeye veya gerilme eğrisine dik olduğunu varsayarız, daha sonra formda yazılırlar.
$→ben=λben∇→gben , ben=1,2{\ displaystyle {\ vec {R}} _ {i} = \ lambda _ {i} {\ vec {\ nabla}} g_ {i} ~~, ~~ i = 1,2}
Hareket denklemleri bu nedenle
mr→¨=F→+λ1∇→g1+λ2∇→g2{\ displaystyle m {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ vec {F}} + \ lambda _ {1} {\ vec {\ nabla}} g_ {1} + \ lambda _ {2} { \ vec {\ nabla}} g_ {2}}
gben(x→,t)=0 , ben=1,2{\ displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}}, t) = 0 ~~, ~~ i = 1,2}
İkinci tür denklemler
Lagrange mekaniğinde, bir nesnenin yörüngesi, eylem adı verilen belirli bir miktarı en aza indirmeye çalışarak elde edilir . En az eylem ilkesi, bir nesnenin her an eylemi en aza indiren yörüngeyi izlediğini gösterir ve Lagrange denklemleri bu bağlamda Isaac Newton tarafından keşfedilen klasik mekanik yasalarını yeniden formüle eder .
Mekanikte, Lagrange denklemleri, kuvvet kavramını kullanmak zorunda kalmadan karmaşık bir sistemin hareket denklemlerini çok kolay bir şekilde elde etmeyi mümkün kılar .
Genelleştirilmiş koordinatlarla tanımlanan serbestlik dereceli bir sistem için , genelleştirilmiş koordinatlardan
ve bunların zamana göre türevlerinden Lagrange'ı kinetik enerji ile potansiyel enerji arasındaki fark olarak ifade ederiz . Zaman, Lagrange'da açıkça görülebileceği gibi, sonuçta değişkenlere bağlıdır .
DEĞİL{\ görüntü stiliN} DEĞİL{\ görüntü stiliN} qben{\ görüntü stili q_ {i}} L{\ görüntü stili L} qben{\ görüntü stili q_ {i}}q˙ben{\ görüntü stili {\ nokta {q}} _ {i}}2DEĞİL+1{\ displaystyle 2N + 1}
Sisteme herhangi bir dış kuvvet uygulanmadığında, Lagrange denklemleri aşağıdaki forma sahiptir:
ddt∂L∂q˙ben-∂L∂qben=0{\ displaystyle {\ frac {\ matematik {d}} {\ matematik {d} t}} {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi q_ {i}}} = 0}
Bu denklemler doğrudan klasik mekaniğin yasalarından çıkarılabilir. Her genelleştirilmiş koordinat için bir denklem vardır . Bu denklemlerin ilgi alanlarından biri, sistemi tanımlamak için en uygun değişkenler sistemini seçebilmektir.
q˙ben{\ görüntü stili {\ nokta {q}} _ {i}}
In klasik mekanik , parametre zamanı ve bu denklemler Lagrange uygun denklemler vardır.
Parametre yolun uzunluğu ise, bu denklemler jeodezik denklemi sağlar .
denklemlerin kurulması
Bir Verilen koordinat sistemi herhangi bir değişken yörüngelerini ayarlamak için, bir işleve bakalım sadece değişkene bağlıdır ve bakımından toplam türevi , . İntegrali en aza indiren
ve verilen son yörüngeleri bulmak istiyoruz.xben{\ görüntü stili x_ {i}}τ{\ görüntü stili \ tau}L{\ görüntü stili L}xben{\ görüntü stili x_ {i}}τ{\ görüntü stili \ tau}x˙ben{\ görüntü stili {\ nokta {x}} _ {i}}xben(τ){\ displaystyle x_ {i} (\ tau)}τ1{\ görüntü stili \ tau _ {1}}τ2{\ görüntü stili \ tau _ {2}}
∫τ1τ2L(xben,x˙ben)dτ{\ displaystyle \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} L \ sol (x_ {i}, {\ dot {x}} _ {i} \ sağ) \ matematik {d } \ tau}
Bir sonsuz yakın yörünge düşünün ile bir sonsuz küçük ve . Çözümlerin bulunduğunu ve verildiğini varsayarsak , fonksiyon
x′(τ)=x(τ)+εξ(τ){\ displaystyle x '(\ tau) = x (\ tau) + \ varepsilon \ xi (\ tau)}ε{\ displaystyle \ varepsilon}ξ(τ1)=ξ(τ2)=0{\ görüntü stili \ xi (\ tau _ {1}) = \ xi (\ tau _ {2}) = 0}ξ(τ){\ görüntü stili \ xi (\ tau)}
S(ε)=∫τ1τ2(L(xben,x˙ben)+εξ(τ)∂L∂xben+εξ˙(τ)∂L∂xben˙+Ö(ε))dτ{\ displaystyle S \ sol (\ varepsilon \ sağ) = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} \ sol (L \ sol (x_ {i}, {\ nokta {x) }} _ {i} \ sağ) + \ varepsilon \ xi \ sol (\ tau \ sağ) {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi x_ {i}}} + \ varepsilon {\ nokta {\ xi}} \ sol (\ tau \ sağ) {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {x_ {i}}}}} + o \ sol (\ varepsilon \ sağ) \ sağ) \ matrm {d} \ tau}
için minimumdur :
ε=0{\ displaystyle \ varepsilon = 0}
0=[dSdε](0)=∫τ1τ2(ξ(τ)∂L∂xben+ξ˙(τ)∂L∂xben˙)dτ{\ displaystyle 0 = \ sol [{\ frac {\ matematik {d} S} {\ matematik {d} \ varepsilon}} \ sağ] \ sol (0 \ sağ) = \ int _ {\ tau _ {1} } ^ {\ tau _ {2}} \ sol (\ xi \ sol (\ tau \ sağ) {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi x_ {i}}} + {\ nokta {\ xi}} \ sol (\ tau \ sağ) {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {x_ {i}}}}} \ sağ) \ matematik {d} \ tau}
İkinci terimi integral altında bölümlere ayırarak ve limitlerde sıfır olduğu varsayılan
gerçeğinden yararlanarak,ξ{\ görüntü stili \ xi}
0=∫τ1τ2(ξ(τ)∂L∂xben-ξ(τ)ddτ∂L∂xben˙)dτ{\ displaystyle 0 = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} \ sol (\ xi \ sol (\ tau \ sağ) {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi x_ {i}}} - \ xi \ sol (\ tau \ sağ) {\ frak {\ matematik {d}} {\ matematik {d} \ tau}} {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {x_ {i}}}}} \ sağ) \ matematik {d} \ tau}.
İşlev keyfi olduğundan, sahip olmalıyız
ξ{\ görüntü stili \ xi}
∂L∂xben-ddτ∂L∂xben˙=0{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi x_ {i}}} - {\ frac {\ matrm {d}} {\ matrm {d} \ tau}} {\ frac {\ kısmi L} { \ kısmi {\ nokta {x_ {i}}}}} = 0}
Dış çabalar
Uygulanan kuvvetler genelleştirilmiş bir potansiyelden türetildiğinde , yani doğrulama
F→{\ görüntü stili {\ vec {F}}}V(x→,x→˙,t){\ displaystyle V ({\ vec {x}}, {\ nokta {\ vec {x}}}, t)}
Fben=ddt∂V∂x˙ben-∂V∂xben{\ displaystyle F_ {i} = {\ frac {\ matematik {d}} {\ matematik {d} t}} {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi {\ nokta {x}} _ {i}} } - {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi x_ {i}}}}
yukarıdaki denklem Lagrange ile geçerli kalır L=T-V {\ görüntü stili L = TV ~}
noktasında sisteme genelleştirilmiş bir potansiyelden türemeyen bir kuvvet uygulandığında , Lagrange denklemleri şöyle olur:
F{\ görüntü stili F}P=(x,y,z){\ görüntü stili P = (x, y, z)}
ddt∂L∂q˙ben-∂L∂qben=Fqben{\ displaystyle {\ frac {\ matematik {d}} {\ matematik {d} t}} {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi q_ {i}}} = F_ {q_ {i}}} veya
Fqben=∂x∂qben⋅Fx+∂y∂qben⋅Fy+∂z∂qben⋅Fz{\ displaystyle F_ {q_ {i}} = {\ frac {\ kısmi x} {\ kısmi q_ {i}}} \ cdot F_ {x} + {\ frac {\ kısmi y} {\ kısmi q_ {i} }} \ cdot F_ {y} + {\ frac {\ kısmi z} {\ kısmi q_ {i}}} \ cdot F_ {z}}
Klasik bir potansiyelden değil, genelleştirilmiş bir potansiyelden türetilen bir kuvvete bir örnek, Lorentz kuvvetidir :
F→=qE→+qv→×B→=ddt∂V∂x→˙-∂V∂x→{\ displaystyle {\ vec {F}} = q {\ vec {E}} + q {\ vec {v}} \ kere {\ vec {B}} = {\ frac {\ matematik {d}} {\ matrm {d} t}} {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi {\ nokta {\ vec {x}}}}} - {\ frac {\ kısmi V} {\ kısmi {\ vec {x}} }}} ile V(x→,x→˙,t)=qϕ-qAT→⋅v→{\ displaystyle V ({\ vec {x}}, {\ nokta {\ vec {x}}}, t) = q \ phi -q {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {v}}}
Öte yandan, akışkan sürtünme kuvveti , genelleştirilmiş bile olsa, herhangi bir potansiyelden türetilmez.
F→=-αv→{\ displaystyle {\ vec {F}} = - \ alpha {\ vec {v}}}
Ekler
İlgili Makaleler
Örnekler
Dış bağlantılar
Notlar ve referanslar
-
(tr) Herbert Goldstein, Klasik Mekanik
-
Claude Gignoux, Bernard Silvestre-Brac, Lagrange formülasyonundan Hamiltonian kaosuna
-
Joseph Louis Lagrange, Analitik Mekanik ( çevrimiçi okuyun )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">