Küresel sarkaç
Küresel sarkaç , sabit bir noktaya tutturulmuş ve diğer ucunda bir kütle sabitlenmiş, 3 boyutlu hareket edebilen ve düzgün bir yerçekimi alanına yerleştirilmiş sıfır kütleli bir çubuktan oluşan bir cihaz diyoruz . Kısacası, basit bir 3 boyutlu sarkaçtır .
l{\ displaystyle l \,}VS{\ displaystyle C \,}M{\ displaystyle M \,}m{\ displaystyle m \,}
Ancak sorun, bir yüzeyde sürtünme olmaksızın kaymaya sınırlanan bir malzeme noktasının, bu durumda merkez ve yarıçap küresinin özel bir hareketi olarak da düşünülebilir .
VS{\ displaystyle C \,}l{\ displaystyle l \,}
Küçük salınımlar: Hooke'un sarkacı
|
Dinamiklerin temel ilişkisi şöyle yazılmıştır: md2M→dt2=-mgk→-TlVSM→=(T-mg)k→-TlÖM→{\ displaystyle m {d ^ {2} {\ vec {M}} \ over dt ^ {2}} = - mg {\ vec {k}} - {T \ over l} {\ overrightarrow {CM}} = (T-mg) {\ vec {k}} - {T \ over l} {\ overrightarrow {OM}}}
Küçük salınımlar için noktanın düzlemde kaldığını ve dolayısıyla küçük salınımların yaklaşık denklemini veren bunu düşünebiliriz :
M{\ displaystyle M \,}xÖy{\ displaystyle xOy \,}T=mg{\ displaystyle T = mg \,}d2M→dt2=-glÖM→=-ω02ÖM→{\ displaystyle {d ^ {2} {\ vec {M}} \ over dt ^ {2}} = - {g \ over l} {\ overrightarrow {OM}} = - {\ omega _ {0} ^ { 2}} {\ overrightarrow {OM}}}
Bu nedenle hareket, kuvvetin merkezden uzaklığa ( harmonik alan olarak adlandırılır ) orantılı olduğu merkezi bir alandaki maddi bir noktanın hareketidir . Yaklaşık diferansiyel denklem şunlara entegre edilmiştir:
x=acos(ω0t+ϕ){\displaystyle x=a\cos(\omega _{0}t+\phi )\,} ; y=bsin(ω0t+ψ){\displaystyle y=b\sin(\omega _{0}t+\psi )\,}
Bu nedenle yörüngeler, Hooke elipsleri olarak adlandırılan merkez elipsleridir . Hareketin periyodu , tek düzlemli sarkacın küçük salınımlarınınki ile aynı, sabittir .
Ö{\ displaystyle O \,}T0=2πω0{\ displaystyle T_ {0} = {2 \ pi \ over \ omega _ {0}}}
|
Bu durumun, çubuğu eksene dik bir düzlemde kalacak şekilde uzatılabilen bir sarkacın durumunu temsil ettiğine dikkat edin (bu o zaman herhangi bir salınım için).
M{\ displaystyle M \,}
Artan salınımlar
|
Hooke'un hareketinin genliğini arttırırsak, karşımızdaki şekilde olduğu gibi Hooke elips hareketini görürüz.
Bu devinim hareketi , dikkatli olunmazsa , sidereal karasal dönüşten kaynaklanan Foucault deviniminden çok daha büyüktür . Foucault deneyinin başarısız olmasının nedeni çoğu kez budur.
|
Newton yaklaşımını kullanan denklem
Lagrangian yaklaşımını kullanan denklem
Sonsuz küçük varyasyonlar için ve iki dikey sapmamız var ve . Hızın iki dikey bileşeni bu nedenle ve
kinetik enerji değerindedir . Potansiyel enerji değerinde , Lagrange'ın işlevi yazılmıştır:
dθ{\ displaystyle d \ theta \,}dφ{\ displaystyle d \ varphi \,}ldθ{\ displaystyle ld \ theta \,}lgünahθdφ{\ displaystyle l \ sin \ theta d \ varphi \,}lθ˙{\ displaystyle l {\ dot {\ theta}}}lφ˙günahθ{\ displaystyle l {\ nokta {\ varphi}} \ sin \ theta}Evs=ml22(θ˙2+φ˙2günah2θ){\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {ml ^ {2}} {2}} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ sağ)}Ep=VSte-mglçünküθ{\ displaystyle E_ {p} = \ mathrm {Cte} -mgl \ cos \ theta \,}
L=Evs-Ep=ml22(θ˙2+φ˙2günah2θ)+mglçünküθ-VSte{\ displaystyle L = E_ {c} -E_ {p} = {\ frac {ml ^ {2}} {2}} \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ right) + mgl \ cos \ theta - \ mathrm {Cte}}
Lagrange , önsel işlevi, üzerinde açıkça burada bağlı değildir , ne de üzerinde . Biz ,
(θ,φ,θ˙,φ˙,t){\ displaystyle \ sol (\ theta, \ varphi, {\ nokta {\ theta}}, {\ nokta {\ varphi}}, t \ sağ)}φ{\ displaystyle \ varphi \,}t{\ displaystyle t \,}∂L∂θ=ml2φ˙2günahθçünküθ-mglgünahθ{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi \ theta}} = {ml ^ {2}} {\ nokta {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta -mgl \ sin \ theta}
∂L∂θ˙=ml2θ˙{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {\ theta}}}} = {ml ^ {2}} {\ nokta {\ theta}}}ve
bu iki Lagrange denklemine götürür:
ve
.
∂L∂φ˙=ml2φ˙günah2θ{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi L} {\ kısmi {\ nokta {\ varphi}}}} = ml ^ {2} {\ nokta {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta}θ¨-φ˙2günahθçünküθ+g/lgünahθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} - {\ nokta {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta + g / l \ sin \ theta = 0}φ¨günah2θ+2θ˙φ˙günahθçünküθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta +2 {\ dot {\ theta}} {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta \ cos \ theta = 0}
(4) ve (5) denklemlerini buluyoruz.
Olası bir yörünge paralelliktir: Daha sonra teorisi Huygens tarafından yapılan konik bir sarkaçtan söz ederiz . Denklem (4) 'e , düğüm açısı denilen açının sabit olduğunu yazarak , eksen etrafında dönme hızını elde ederiz, buna devinim hızı denir , bu nedenle sabittir. 90 ° 'yi geçemeyeceğine dikkat edilmelidir; hareket dönemi .
θ{\ displaystyle \ theta \,}φ˙=ω0çünküθ{\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = {\ omega _ {0} \ over {\ sqrt {\ cos \ theta}}}}θ{\ displaystyle \ theta \,}T=T0çünküθ{\ displaystyle T = T_ {0} {\ sqrt {\ cos \ theta}}}
Bu hareketin çevresinde küçük bir düğümü olan hareketler vardır.
Genel dava
Yüzeyin dikey dönme eksenine sahip olması nedeniyle bir kareye kadar entegre edilebilir.
Denklem (5), (6) 'ya sığar ; eksen etrafında dönme hızı bu nedenle ekvatorda minimumdur ve kutuplara yaklaştıkça artar.
φ˙günah2θ=vste=4ω{\ displaystyle {\ nokta {\ varphi}} \ sin ^ {2} \ theta = cte = 4 \ omega}
Denklem (4) daha sonra (7) 'ye entegre olur ; Düzlem sarkaçının durumunu açıkça gösteriyor .
θ2˙-2ω02çünküθ+16ω2günah2θ=vste=(2kω0)2{\ displaystyle {\ dot {\ theta ^ {2}}} - 2 \ omega _ {0} ^ {2} \ cos \ theta + {16 \ omega ^ {2} \ over \ sin ^ {2} \ theta } = cte = (2k \ omega _ {0}) ^ {2}}ω=0{\ displaystyle \ omega = 0 \,}
Ayarlandığında , (7) şu hale gelir:
sen=günahθ2{\ displaystyle u = \ sin {\ theta \ 2 üzeri}}
(8)
sen˙2=ω02(k2-sen2)(1-sen2)+ω2sen2{\ displaystyle {\ dot {u}} ^ {2} = \ omega _ {0} ^ {2} (k ^ {2} -u ^ {2}) (1-u ^ {2}) + {\ omega ^ {2} \ u ^ üzerinde {2}}}
.
Sahadaki farklı yörüngelerin görünümlerini görün:
küresel sarkacın eğrisi .
Genellemeler
- Önceki durumda, referans çerçevesinin Galilean olduğunu dolaylı olarak varsaydık; genel durumda, tahrik atalet kuvvetini ve tamamlayıcı eylemsizlik kuvvetini veya Coriolis kuvvetini eklemek gerekir ; durumda , Foucault sarkacın dikey dönme ekseni ve ihmal edilebilir bir tahrik eylemsizlik kuvveti ile, böyle bir sarkacın küçük salınımlar olduğunu.
- Sarkaç dönme ataletine sahipse ve kendi etrafında dönüyorsa, tepeyi veya jiroskopu alırız .
- Düzlem sarkaçına gelince, bir çift sarkaç , hatta çoklu bir sarkaç olarak düşünülebilir .
Kaynak
Paul Appell: Rasyonel Mekanik Üzerine İnceleme, sayfalar 530-541
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">