Gelen olasılık teorisi ve istatistik , çarpıklık ( çarpıklık İngilizce) dağılımının asimetrisi bir ölçüsüdür gerçek rasgele değişken .
Bu, basıklık ile birlikte şekil parametrelerinin ilkidir ( 5 ve üstü dereceli anlara dayalı parametrelerin atanmış bir adı yoktur).
Genel anlamda, bir dağılımın çarpıklığı, sağ kuyruk (yüksek değerlerde) daha uzun veya şişman ise pozitif, sol kuyruk (düşük değerlerde) daha uzun veya şişman ise negatiftir.
Ortalama μ ve standart sapma σ olan gerçek bir rastgele değişken X verildiğinde , asimetri katsayısını indirgenmiş merkezli değişkenin üçüncü derece momenti olarak tanımlarız :
bu umut varken. Böylece sahibiz :
ile merkezli anları düzenin i ve κ i kümülantların düzenin i .
X değişkeninin boyutu için i gücüne yükseltilmiş merkezlenmiş momentler μ i ve kümülatif momentler κ i , asimetri katsayısı γ 1 boyutsuz bir niceliktir .
Let X, bir gerçek rasgele değişken ve toplamı , n bağımsız gerçekleşmeleri X (örneğin: binom yasa parametreleri , n ve p , toplamı , n bağımsız gerçekleşmeleri Bernoulli kanun parametre p ). Kümülantların toplamsallık özelliği sayesinde , κ i ( Y ) = n κ i ( X ) olduğunu biliyoruz , bu nedenle:
Asimetri katsayısının teorik tanımı γ 1'in naif bir uygulaması, yanlı bir ölçüm üretir. Bir tarafsız için tahmincisi normal dağılımın çarpıklık önemi yoktur:
burada ve sırasıyla beklenti ve varyansın yansız tahmin edicileridir.
Karl Pearson , momentleri değil, diğer istatistiksel parametreleri kullanarak daha basit hesaplamalarla başka çarpıklık tahminleri önerdi:
Birinci Pearson asimetri katsayısı (mod asimetrisi)Pearson'ın mod asimetri katsayısı şu şekilde verilir:
orta - modastandart sapma.İkinci Pearson asimetri katsayısı (medyan asimetri)Pearson'ın medyan çarpıklık katsayısı şu şekilde verilir:
3 ( ortalama - ortanca )standart sapma.Bowley (1901'de) veya Yule katsayısı (1912'de) tarafından önerilen asimetri ölçüsü, Galton asimetrisinin ölçüsü veya Yule – Kendall indeksi şu şekilde tanımlanır:
.İkinci formda, payın birinci ve üçüncü çeyreklerin ortalaması (konum ölçüsü) ile medyan arasındaki fark olduğunu, paydanın ise (simetrik durumlarda) dağılımın mutlak ortalama sapmasını temsil ettiğini görüyoruz .
Bir asimetri fonksiyonunun daha genel bir formülasyonu Groeneveld ve Meeden tarafından tanımlanmıştır:
burada F , dağıtım işlevidir . Böylece 1/2 ≤ u <1 için bu fonksiyonun üstünlüğü tarafından tanımlanan asimetrinin genel bir ölçüsünü elde ederiz . Bu ifadenin pay ve paydalarının integralleri ile başka bir ölçü elde edilebilir. İşlev γ ( u ) tatmin -1 ≤ γ ( u ) ≤ 1 ve iyi olarak dağıtılması her anında varlığını gerektirmeden tanımlanır. Kuantillere göre çarpıklık ölçümlerinin yorumlanması kolay olsa da, anlara göre yapılan hesaplamalardan daha fazla değişiklik gösterme eğilimindedirler. Örneğin, düzgün dağılım daha büyük bir nicel asimetriye sahiptir.
Yule katsayısı γ (3/4)' e karşılık gelir ve Kelley ölçüsü γ (0,1)'dir .
Gerçek bir rastgele değişkenin dağılımının asimetrisini ölçmek, bu dağılım ile ayna görüntüsü arasındaki farkı nicel olarak değerlendirmek anlamına gelir: ortalama noktaya göre yansıma vardır, dolayısıyla kiralite ölçümleriyle resmi bir bağlantı vardır. Bu asimetri ölçümü kiral indeks ile yapılabilmektedir. Sonlu ve sıfır olmayan bir varyans dağılımı durumunda, şu şekilde verilir:
dağılım ve ayna görüntüsü arasındaki korelasyon katsayısının üst sınırı nerede . Kiral indeks [0; 1/2] aralığında değerler alır. n gözlem durumunda, artan değerlere göre sıralanan gözlemler ile azalan değerlere göre sıralanan gözlemler arasındaki korelasyon katsayısıdır. Diğer asimetri ölçülerinden farklı olarak, kiral indeks, ancak ve ancak dağıtım simetrik ise, dolaylı simetri anlamında kaybolur.