Belirleme aksiyomu

Determinasyon aksiyomu alternatif aksiyomu olan küme kuramı belirli iddia sonsuz (anlamında oyunlar oyun teorisi belirlenir).

Bu aksiyom, seçim aksiyomuyla uyumlu değildir, ancak sayılabilir seçim aksiyomunu ve süreklilik hipotezinin zayıf bir biçimini ima eder .

Aksiyomun ifadesi

Herhangi bir grubu X'in bir doğal sayı sonsuz seri Aşağıda verilen tanımlar J X iki oyuncu arasında I ve II :

Ben doğal bir numarası seçerek başlar bir 1 daha sonra II başka doğal numarası seçerek çoğaltır b 1 , sonra ben henüz başka doğal sayı seçer bir 2 , II tekrar çoğaltır doğal numarası seçerek b 2'ye kadar sonra ve. Her oyuncu rakibinin yaptığı vuruşların farkındadır. Elde edilen dizi (halinde bir 1 , b 1 , bir 2 , b 2 , ...) içinde X , sonra bir başka şekilde, oyunu kazanır II oyunu kazanır.Oyuncu I için bir strateji , tam sayı değerleriyle çift sayıda terimden (boş dizi dahil) oluşan tamsayıların sonlu dizileri kümesi üzerinde tanımlanan bir haritadır. Eğer hamleler ( a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n , b n ) iki oyuncu tarafından art arda oynandıysa, o zaman tamamı oyuncu I'e , ardından oynanacak bir sonraki hamleyi gösterir. strateji .

\ sigma

{\ displaystyle \ sigma (a_ {1}, b_ {1}, \ noktalar, a_ {n}, b_ {n})}

\ sigma

Oyuncu II için stratejinin ne olduğunu aynı şekilde tanımlıyoruz , uygulama bu sefer tek sayıda terimden oluşan sonlu tamsayı dizileri kümesi üzerinde tanımlanıyor. Her iki oyuncu da bir strateji benimserse, hamle sırası benzersizdir ve iki stratejinin alternatif kullanımıyla tanımlanır. Oyuncu I tarafından benimsenen stratejinin , oyuncu II tarafından benimsenen herhangi bir strateji için, her iki stratejinin kullanımıyla tanımlanan sıra X içinse kazanacağı söylenir . Böylece, rakibi tarafından yapılan hamlelere bakılmaksızın , oyuncu I kesinlikle kazanır. Oyuncu II için kazanma stratejisinin ne olduğunu simetrik olarak tanımlıyoruz .

\ tau

\ sigma

\ tau

J X oyununun iki oyuncudan birinin kazanma stratejisi olup olmadığının belirleneceği söyleniyor.

Belirleme aksiyomu her kümesi için ifadesi olan , X , doğal tamsayılar grubu sonsuz dizilerinin J X , yukarıda tanımlanan gibi, tespit edilir.

Yüklemlerin hesaplanmasının sonsuz bir formülü ile ifade

X alt kümesinin belirlendiğini söylemek , sonsuz yüklemlerin hesaplanması için sonsuz formülün şu anlama geldiğini söylemek anlamına gelir : ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {\ omega}}$

{\ displaystyle \ x_ {0}, \ for all y_ {0}, \ var x_ {1}, \ for all y_ {1}, ... (x_ {0}, y_ {0}, x_ {1}, y_ {1}, ...) \ X \ lor \ forall x_ {0}, \ var y_ {0}, \ forall x_ {1}, \ var y_ {1}, ... (x_ {0} , y_ {0}, x_ {1}, y_ {1}, ...) \ notin X}

doğrulandı.

Aksiyomun sonuçları

Belirleme aksiyomu, seçim aksiyomuyla uyumlu değildir, çünkü ikincisi , doğal tam sayıların sonsuz dizileri kümesi üzerinde iyi bir düzenin varlığını ima eder, bu sayede belirlenmemiş bir oyun sonsuzluğu inşa edebileceğimiz iyi bir düzen.

Yine de bu aksiyom, gerçek sayılarla ilgili birçok sonuç için yeterli olan , R'nin alt kümelerinin aileleri için sayılabilir seçim aksiyomunu ifade eder .

Ayrıca, herhangi bir gerçek setinin:

olan Lebesgue anlamında ölçülebilir ,
vardır Baire özelliği ,
mükemmel bir küme özelliğine sahiptir, yani ya sayılabilir , dolayısıyla kardinalitedir ya da mükemmel bir küme , dolayısıyla gerçek sayıların R kümesi gibi kardinalite içerir. Bu, süreklilik hipotezinin zayıf bir şeklidir . ${\ aleph _ {0}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$

Kardinalite açısından diğer sonuçlar

Aksiyomun bir sonucu, herhangi bir alt kümesinin bir kulüp setini içermesi veya bunlardan ayrı olmasıdır . Solovay'den kaynaklanan bazı sonuçlar : ${\ aleph _ {1}}$

Kulüp filtre üzerinde bir olduğunu ultrafiltrenin ima bir olduğunu ölçülebilir kardinal . ${\ aleph _ {1}}$ ${\ aleph _ {1}}$
${\ displaystyle {\ aleph _ {2}}}$ Bir olan ölçülebilir kardinal .

Göreli tutarlılıkla ilgili bilinen sonuçlar

Projektif belirleme aksiyomu

Kaynakça

Patrick Dehornoy , Kümeler Teorisi: Bir sonsuzluk teorisine ve büyük kardinallere giriş , 650 sayfa, editör: Calvage ve Mounet,30 Kasım 2017, ( ISBN 978-2916352404 ) . Yazarın sitesinde kısmen erişilebilir kitap .
Thomas jech
- içinde Matematiksel Mantık Handbook , deli eder. B.2. Seçim Aksiyomu Hakkında , §10 "Kararlılık - seçim aksiyomuna bir alternatif", yayıncı: North Holland, 1977, ( ISBN 0-7204-2285-X ) sonra ( ISBN 978-0444863881 ) .
- Set Theory , bölüm 43. Belirleme aksiyomu , sayfalar 550-562, editör: Springer.
- Set Theory: The Third Millennium Edition, revize edilmiş ve genişletilmiş (Springer Monographs in Mathematics) , bölüm Determinacy , sayfa 627-645, yayıncı: Springer,Eylül 2011, ( ISBN 978-3642078996 )
Akihiro Kanamori
- Yüksek Sonsuz. Başlangıçlarından Küme Teorisinde Büyük Kardinaller, Matematiksel Mantıkta Perspektifler, Springer-Verlag, Berlin, 1994, xxiv + 536 sayfa, ( ISBN 978-3110197020 )
- (editör), Handbook of Set Theory , 2230 sayfa, bölümler… (tamamlanacak) ( ISBN 978-1402048432 )
(en) T. Litak, " Sonsuz popülasyonlar, seçim ve belirlilik " , Studia Logica , cilt. 106, n o 22018, s. 969-999
W. Hugh Woodin , The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms ve the Nonstationary Ideal , 852 sayfa, editör: De Gruyter, 2010, ( ISBN 978-3110197020 )

Belirleme aksiyomu üzerine gayri resmi makale

Jean-Paul Delahaye , "Sonsuz oyunlar ve büyük topluluklar", Pour la Science'taki makale ,Haziran 1996, sayfalar 60-66. Matematiksel ve matematiksel oyun oyunlarında yeniden üretilen makale [ sürümlerin ayrıntıları ] , sayfalar 42-50.

Notlar ve referanslar

Zermelo'nun teoremi olan varyantı aracılığıyla, herhangi bir kümenin iyi bir düzen ilişkisi ile sağlanabileceğini ileri sürer.
tanım gereği ikinci en küçük sonsuz kardinal sayıdır , küçüktür veya ona eşittir ve süreklilik hipotezi bunların eşit olduğunu belirtir. ${\ aleph _ {1}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$
Th Jech, Set Teorisi , sayfa 633.