Tarski Aksiyomları

Aksiyomlar Tarski nedeniyle, Alfred Tarski , aksiyomlarına bir sistem olan Öklid geometrisi birinci derece mantık olarak ifade edilmiştir. Dilde kullanılan yüklemler şunlardır:

y noktası, x ve z noktaları arasındadır: (entre deux veya İngilizce arasında); ${\ displaystyle Bxyz}$
x'den y'ye uzaklık, z'den u'ya olan mesafeye eşittir: (uygunluk). ${\ displaystyle xy \ equiv zu}$

Aksiyomlar

A1: Yansıtma

${\ displaystyle xy \ equiv yx.}$

A2: Geçişkenlik

${\ displaystyle (xy \ equiv zu \ land xy \ equiv vw) \ rightarrow zu \ equiv vw.}$

A3: Boş segment

${\ displaystyle xy \ equiv zz \ rightarrow x = y.}$

A4: Segment aktarımı

${\ displaystyle \ var z \, [Bxyz \ land yz \ equiv ab].}$

A5: Beş bölüm

${\ displaystyle {(x \ neq y \ land Bxyz \ land Bx'y'z '\ land xy \ equiv x'y' \ land yz \ equiv y'z '\ land xu \ equiv x'u' \ land yu \ equiv y'u ')} \ rightarrow zu \ equiv z'u'.}$

A6: Kimlik

${\ displaystyle Bxyx \ rightarrow x = y.}$

A7: Pasch'ın Aksiyomu

${\ displaystyle (Bxuz \ land Byvz) \ rightarrow \ var bir \, (Buay \ land Bvax).}$

A8: En küçük boyut

${\ Displaystyle \ vardır bir \, \ vardır b \, \ vardır c \, [\ neg Babc \ land \ neg Bbca \ land \ neg Bcab].}$

Doğrusal olmayan üç nokta vardır, bu nedenle <2 boyut teorisinin bir modeli yoktur.

A9: En büyük boyut

${\ displaystyle (xu \ equiv xv \ land yu \ equiv yv \ land zu \ equiv zv \ land u \ neq v) \ rightarrow (Bxyz \ lor Byzx \ lor Bzxy).}$

> 2 boyut modeli yoktur.

A10: Öklid Aksiyomu

${\ displaystyle (Bxuv \ land Byuz \ land x \ neq u) \ rightarrow \ var bir \, \ var b \, (Bxya \ land Bxzb \ land Bavb).}$

Öklid'in beşinci postülatına eşdeğer başka formülasyonlar da vardır . Örneğin :

${\ displaystyle ((Bxyw \ land xy \ equiv yw) \ land (Bxuv \ land xu \ equiv uv) \ land (Byuz \ land yu \ equiv zu)) \ rightarrow yz \ equiv vw.}$
${\ displaystyle Bxyz \ lor Byzx \ lor Bzxy \ lor \ var bir \, (xa \ equiv ya \ land xa \ equiv za).}$

A11: Süreklilik aksiyom diyagramı

${\ displaystyle \ bir \, \ forall x \, \ forall y \, [(\ phi (x) \ land \ psi (y)) \ rightarrow Baxy] \ rightarrow \ vardır b \, \ forall x \, \ forall y \, [(\ phi (x) \ land \ psi (y)) \ rightarrow Bxby}$

burada φ ve ne ne a ne de b içeren birinci dereceden formüllerdir, φ y içermeyen ve ψ x içermeyen.

Bu aksiyom A11 yerine, çift sağ daire kesişim aksiyomu tanıtılabilir:

${\ displaystyle (Buvp \ land u \ neq v \ land Bapb \ land b \ neq p) \ rightarrow \ var y \, \ var z \, (ay \ equiv ab \ land az \ equiv ab \ land Bypz \ land Bupz ).}$

Yorumlar (değiştir | kaynağı değiştir)

1. Uyum aksiyomları.

Sadece A5 aksiyomu, düzlem şekillerinin uyumu ile ilgilenir. Hilbert açı aktarım aksiyomuna eşdeğer bir aksiyomun olmaması, bir segmentin orta noktasının inşasını daha zor hale getirir. Aşağıdaki adımları gerçekleştirir:

- Ortogonalite bu şekilde tanımlanır: a, b ve c üç noktası a köşesinin dik açısını oluşturur, eğer c 'c'nin a, bc ve bc'ye göre simetrik olması' uyumlu ise.

- Bir segmentin orta kısmının yapımı ilk önce uçlarından eşit uzaklıkta bir noktaya sahip bir segment için gerçekleştirilir.

- Çift düz daire kesişme aksiyomu, bir doğru üzerindeki bir nokta kadar alçaltılmış dikenin kolay inşasına izin verir. Bununla birlikte, Gupta'nın yapımı, çok daha zahmetli bir gelişme pahasına bu aksiyomdan vazgeçmeyi mümkün kılıyor.

- Düz bir çizgiye göre simetrinin tanımı, interpozisyon ilişkisini koruyan izometri.

- Bu çizgi üzerindeki bir noktanın yükseltilmiş bir çizgiye dik inşası.

- İkincisi, Euclid'in aksiyomu olmadan nihayet herhangi bir bölümün ortasının inşasına izin verir.

2. Pasch'ın aksiyomu.

Aksiyom A7, Pasch'ın Hilbert'in sistemindeki aksiyomundan hem daha kısıtlayıcı hem de daha az kısıtlayıcıdır : Üç nokta xyz aynı çizgisel değil ve u, zx segmentinin z ve x'ten farklı bir noktası olsun. Bir d doğrusu u'da xz bölütü ile kesişirse, xy bölütü veya yz bölütü de kesişir.

Aksiyom A7, x, y ve z noktalarının doğrusallığını dışlamadığı ve u ve v noktalarının önceki noktalardan farklı olmasını gerektirmediği için daha az kısıtlayıcıdır. Dahası, bu özel durumlarda, diğer Hilbert sıra aksiyomları gösterilebilir.

Aksiyom A7 (iç Pasch aksiyomu) daha kısıtlayıcıdır, çünkü sadece d çizgisinin xy çizgisini w noktasında, y'nin x ve w arasında olduğu şekilde kesiştiği durumu kapsar. X'in w ve y arasında olduğu durumda (dış Pasch aksiyomu), ispat aşağıdaki adımları ödünç alır:

- D doğrusu üzerinde ve x ile z arasında bir u noktası varsa, bu d çizgisine ait olmayan iki nokta x ve z arasında bir D doğrusu olduğu söylenir.

- Lemma: Eğer bir D doğrusu x ve z iki nokta arasındaysa ve r, D'nin bir noktasıysa, o zaman D doğrusu x ile r'den farklı herhangi bir y noktası arasındadır ve orijinal yarı doğrusu r'ye aittir ve z'den geçmektedir. .

- "İç" Pasch aksiyomu ve lemma, "dış" Pasch aksiyomunu göstermemize izin verir.

D doğrusunun xy doğrusuyla kesişmediği durumda, ispat, Tarski'nin aksiyomlarının bir parçası olmayan Hilbert'e göre Öklid'in aksiyomunu gerektirir.

3. Öklid aksiyomu.

Aksiyom A10, Hilbert'e göre Öklid'in aksiyomundan farklıdır : Eğer xy, z'den geçen d doğrusuna paralelse ve u, x ile z arasında bir noktaysa, yu doğrusu d doğrusunu keser. (başka bir deyişle, d'ye y'den geçen tek bir paralel vardır) Hilbert'e göre Öklid'in aksiyomunun kanıtı aşağıdaki adımları atar:

- Bir doğrunun aynı tarafında bulunan iki noktanın tanımı: İki nokta a ve b, D'nin a ile c arasında ve b ile c arasında olduğu şekilde bir c noktası varsa, D çizgisinin aynı tarafındadır.

- D çizgisi a ve b noktaları arasındaysa, o zaman a ve b, D çizgisinin aynı tarafında değildir.

- “Bir doğrunun aynı tarafında olma” ikili ilişkisi dönüşlü, simetrik ve geçişlidir.

- B çizgisi A çizgisine paralelse, B'nin herhangi iki noktası A'nın aynı tarafındadır.

- Ortak bir noktadan geçen iki farklı A ve B doğrusu, C doğrusuna paralel olsaydı, A'nın herhangi bir noktası ve B'nin herhangi bir noktası C'nin aynı tarafında olurdu. C noktası A'nın bir x noktası ve B'nin bir y noktası, öyle ki C doğrusu x ile y arasında, dolayısıyla çelişki

Metamatematik sonuçları

Aksiyomatizasyon tutarlı , eksiksiz ve karar verilebilirdir (bkz. “ Tarski-Seidenberg teoremi (en) ”).

Ayrıca görün

Kaynakça

(tr) Michael Beeson, Tarski'nin geometrisinin yapıcı bir versiyonu, Annals of pure and application logic , cilt. 166,Kasım 2015, böl. Sayı 11, s. 1199-1273
(tr) Michael Beeson, Yapıcı geometri ve paralel postulante, Sembolik mantık Bülteni , cilt. 22,Mart 2016, böl. sorun 1
(de) W. Schwabhäuser, Wanda Zwielew ve Alfred Tarski, Metamathematishe Methoden in der Geometrie, Springer-Verlag 1983, ISHI Press tarafından 2012'de yeniden basılmıştır.

İlgili Makaleler