Clebsch-Gordan katsayısı
In fiziği , Clebsch-Gordan katsayıları okuyan görünmesi sayılardır açısal momentum kaplinler kanunlarına tabi kuantum mekaniği . Değişmez teoride benzer bir problemle karşılaşan Alman matematikçiler Alfred Clebsch (1833-1872) ve Paul Gordan (1837-1912) ismini almıştır .
Olarak temsil teorisi , özellikle kompakt Lie grupları , bu katsayılar gerçekleştirmek için kullanılan doğrudan toplam ayrıştırma bölgesinin tensör ürün iki indirgenemez temsillerin.
SO (3) grubu ile ilişkili Clebsch-Gordan katsayılarını küresel harmoniklerin bir ürünü olarak daha doğrudan bir şekilde tanımlayabiliriz . İlavesi, spin olarak kuantum mekaniği , bu yaklaşım ile anlaşılır. Bu yazıda, kullandığımız notasyonu sutyen-ket arasında Dirac .
Ön Notasyonlar
Açısal momentum operatörleri
Operatörler arasında açısal momentumu vardır Hermitsel operatörler ve hangi aşağıdaki ilişkileri tatmin:
j1,j2{\ displaystyle j_ {1}, j_ {2}}j3{\ displaystyle j_ {3}}
[jk,jl]=benh/(2π)∑m=13εklmjm{\ displaystyle \ sol [j_ {k}, j_ {l} \ sağ] = ih / (2 \ pi) \ toplamı _ {m = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {klm} j_ {m} \, }ile Levi-Civita sembolü . Bu üç terim, bir vektör operatörünün bileşenleri olarak düşünülebilir . Kare normunun ile tanımlanır:
εklm{\ displaystyle \ varepsilon _ {klm}} j{\ displaystyle \ mathbf {j}}j{\ displaystyle \ mathbf {j}}
j2=j12+j22+j32{\ displaystyle \ mathbf {j} ^ {2} = j_ {1} ^ {2} + j_ {2} ^ {2} + j_ {3} ^ {2}}Ayrıca operatörleri ve aşağıdakileri de tanımlıyoruz :
(j+){\ displaystyle (j _ {+})}(j-){\ displaystyle (j _ {-})}
j±=j1±benj2.{\ displaystyle j _ {\ pm} = j_ {1} \ pm ij_ {2}. \,}
Açısal momentum durumları
Ve ile işe gidip geldiklerini gösterebiliriz :
j2{\ displaystyle \ mathbf {j} ^ {2}}j1,j2{\ displaystyle j_ {1}, j_ {2}}j3{\ displaystyle j_ {3}}
[j2,jk]=0{\ displaystyle \ sol [\ mathbf {j} ^ {2}, j_ {k} \ sağ] = 0} k = 1,2,3 ile.
İki Hermit operatörü gidip geldiklerinde, ortak bir özfonksiyonlar kümesine sahiptirler. Kongre gereği ve seçeriz . Değişim ilişkilerine göre özdeğerler belirlenir :
j2{\ displaystyle \ mathbf {j} ^ {2}}j3{\ displaystyle j_ {3}}
j2|jm⟩=j(j+1)|jm⟩j=0,1/2,1,3/2,2,...j3|jm⟩=m|jm⟩m=-j,-j+1,...,j.{\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} \ mathbf {j} ^ {2} | jm \ rangle = j \ left (j + 1 \ sağ) | jm \ rangle & \; \; \; j = 0 , 1 / 2,1,3 / 2,2, \ ldots \\ j_ {3} | jm \ rangle = m | jm \ rangle & \; \; \; m = -j, -j + 1, \ ldots , j. \ end {alignat}}}Operatörler ve aşağıdakilerin değerini değiştirir :
(j+){\ displaystyle (j _ {+})}(j-){\ displaystyle (j _ {-})}m{\ displaystyle m}
j±|jm⟩=VS±(j,m)|jm±1⟩{\ displaystyle j _ {\ pm} | jm \ rangle = C _ {\ pm} \ sol (j, m \ sağ) | jm \ pm 1 \ rangle}ile
VS±(j,m)=j(j+1)-m(m±1)=(j∓m)(j±m+1).{\ displaystyle C _ {\ pm} \ sol (j, m \ sağ) = {\ sqrt {j \ sol (j + 1 \ sağ) -m \ sol (m \ pm 1 \ sağ)}} = {\ sqrt {\ left (j \ mp m \ sağ) \ left (j \ pm m + 1 \ sağ)}}.}Tanımına bir (karmaşık) faz kaydırma faktörü eklenebilir . Açısal momentum durumları ortogonal olmalıdır - çünkü öz değerleri farklıdır - ve normalleştirildiği varsayılır:
VS±(j,m){\ displaystyle C _ {\ pm} \ sol (j, m \ sağ)}
⟨j1m1|j2m2⟩=δj1,j2δm1,m2.{\ displaystyle \ langle j_ {1} m_ {1} | j_ {2} m_ {2} \ rangle = \ delta _ {j_ {1}, j_ {2}} \ delta _ {m_ {1}, m_ { 2}}.}
Tanımı ve özellikleri
Tanım
Açısal momentum durumları birbirlerinden ayrılmadıkları varsayılarak geliştirilebilir:
|(j1j2)JM⟩=∑m1=-j1j1∑m2=-j2j2|j1m1j2m2⟩⟨j1m1j2m2|JM⟩{\ displaystyle | \ sol (j_ {1} j_ {2} \ sağ) JM \ rangle = \ toplam _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ toplamı _ {m_ { 2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} | j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | JM \ rangle}Geliştirmede görülen katsayılar , Clebsch-Gordan katsayılarıdır.
⟨j1m1j2m2|JM⟩{\ displaystyle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | JM \ rangle}
Operatörü uygulayarak:
J3=j3⊗1+1⊗j3{\ displaystyle J_ {3} = j_ {3} \ otimes 1 + 1 \ otimes j_ {3}}eşitliğin her iki tarafında, Clebsch-Gordan katsayılarının yalnızca aşağıdaki durumlarda sıfır olmayabileceğini gösteriyoruz:
M=m1+m2.{\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}. \,}
Ortogonalite ilişkileri
Aşağıdaki alternatif, ancak eşdeğer gösterimi sunabiliriz:
⟨JM|j1m1j2m2⟩≡⟨j1m1j2m2|JM⟩{\ displaystyle \ langle JM | j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} \ rangle \ equiv \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | JM \ rangle}Daha sonra iki diklik ilişkisi kurmak mümkündür:
∑J=|j1-j2|j1+j2∑M=-JJ⟨j1m1j2m2|JM⟩⟨JM|j1m1′j2m2′⟩=δm1,m1′δm2,m2′{\ displaystyle \ toplamı _ {J = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} \ toplamı _ {M = -J} ^ {J} \ langle j_ { 1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | JM \ rangle \ langle JM | j_ {1} m_ {1} 'j_ {2} m_ {2}' \ rangle = \ delta _ {m_ {1 }, m_ {1} '} \ delta _ {m_ {2}, m_ {2}'}}∑m1m2⟨JM|j1m1j2m2⟩⟨j1m1j2m2|J′M′⟩=δJ,J′δM,M′{\ displaystyle \ sum _ {m_ {1} m_ {2}} \ langle JM | j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ { 2} m_ {2} | J'M '\ rangle = \ delta _ {J, J'} \ delta _ {M, M '}}
Simetri özellikleri
Aşağıdaki simetri ilişkisi hala geçerlidir:
⟨j1m1j2m2|JM⟩=(-1)j1+j2-J⟨j1-m1j2-m2|J-M⟩=(-1)j1+j2-J⟨j2m2j1m1|JM⟩.{\ displaystyle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | JM \ rangle = \ sol (-1 \ sağ) ^ {j_ {1} + j_ {2} -J} \ langle j_ {1} {- m_ {1}} j_ {2} {- m_ {2}} | J {-M} \ rangle = \ left (-1 \ sağ) ^ {j_ {1} + j_ {2} -J} \ langle j_ {2} m_ {2} j_ {1} m_ {1} | JM \ rangle.}
Sembol 3 ile bağlantı - jm
Clebsch-Gordan katsayıları, daha basit simetriler nedeniyle kullanımı daha keyifli olan 3-jm sembolleriyle ilgilidir . Bu ilişki aşağıdaki denklemle ifade edilir:
⟨j1m1j2m2|j3m3⟩=(-1)j1-j2+m32j3+1(j1j2j3m1m2-m3).{\ displaystyle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | j_ {3} m_ {3} \ rangle = \ sol (-1 \ sağ) ^ {j_ {1} -j_ { 2} + m_ {3}} {\ sqrt {2j_ {3} +1}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2 } & - m_ {3} \ end {pmatrix}}.}
SU (N) grubunun Clebsch-Gordan katsayıları
Açısal momentum operatörlerinin cebiri, matematikteki su (2) cebirine karşılık gelir. Açısal momentum kuantum sayılarını, üniter özel grubun Lie cebiri olan su (N) 'ye genellenebiliriz . Örneğin, kuantum kromodinamiğinde durum böyledir . Bu tür iki kuantum durumunu birleştirmek için, genellikle bilinmeyen SU (N) Clebsch-Gordan katsayılarına ihtiyacımız var. Ancak bu katsayıları üreten algoritmalar mevcuttur. SU (N) için Clebsch-Gordan katsayılarını hesaplamak için bir web sitesi, katsayıların açık tablolarını sağlar.
Ayrıca görün
Notlar ve referanslar
-
(inç) A. Alex , " SU (N) ve SL (N, C) Clebsch-Gordan katsayılarının açık hesaplanması için sayısal bir algoritma " , J. Math. Phys. , cilt. 82,Şubat 2011, s. 023507 ( DOI 10.1063 / 1.3521562 , çevrimiçi olarak okundu , 13 Nisan 2011'de başvuruldu )
Dış bağlantılar
Kaynakça
- C. Cohen-Tannoudji , B. Diu ve F. Laloë , Kuantum mekaniği [ baskının detayı ]
- Albert Messiah , Quantum Mechanics [ baskıların ayrıntıları ]
-
(tr) Edmonds, AR: " Kuantum Mekaniğinde Açısal Momentum ", Princeton University Press (1957). ( ISBN 0-691-07912-9 ) .
-
(tr) Condon, Edward U., Shortley, GH: " Atomik Tayfın Teorisi ", Cambridge University Press (1970). ( ISBN 0-521-09209-4 ) .
-
(in) Brink, DM Satchler, GR: Açısal Momentum , 3 th edition, Clarendon Press (1993), Oxford. ( ISBN 0-19-851759-9 ) .
-
(tr) Zare, Richard N.: Açısal Momentum , John Wiley & Sons (1988), New York. ( ISBN 0-471-85892-7 ) .
-
(en) Biedenharn, LC, Louck, JD, Kuantum Fiziğinde Açısal Momentum , Addison-Wesley (1981), Reading, Massachusetts. ( ISBN 0-201-13507-8 ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">