Levi-Civita'nın sembolü

Gelen matematik , sembolü Levi-Civita belirtildiği £ değerinin ( Yunan harfi epsilon ) bir amacı eğri ifade edilebilir için 3 Kronecker'in sembolü :

\ varepsilon _ {{ijk}} = {\ begin {vmatrix} \ delta _ {{i1}} & \ delta _ {{i2}} & \ delta _ {{i3}} \\\ delta _ {{j1} } & \ delta _ {{j2}} & \ delta _ {{j3}} \\\ delta _ {{k1}} & \ delta _ {{k2}} & \ delta _ {{k3}} \ end { vmatrix}}

Bu nedenle, yalnızca üç değer alabilir: -1, 0 veya 1. $\ varepsilon _ {{ijk}}$

Boyut 3

3. boyutta Levi-Civita'nın sembolünü şu şekilde temsil edebiliriz:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk} = {\ begin {case} +1 & {\ mbox {si}} (i, j, k) {\ mbox {est}} (1,2,3), (2 , 3,1) {\ mbox {veya}} (3,1,2), \\ - 1 & {\ mbox {si}} (i, j, k) {\ mbox {est}} (3,2 , 1), (1,3,2) {\ mbox {veya}} (2,1,3), \\ 0 & {\ mbox {si}} i = j {\ mbox {veya}} j = k {\ mbox {veya}} k = i. \ end {vakalar}}}

Levi-Civita sembolünün Kronecker sembolüyle ilişkisi şu şekildedir:

\ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{lmn}} = \ delta _ {{il}} \ delta _ {{jm}} \ delta _ {{kn}} + \ delta _ {{im}} \ delta _ {{jn}} \ delta _ {{kl}} + \ delta _ {{in}} \ delta _ {{jl}} \ delta _ {{km}} - \ delta _ {{il}} \ delta _ {{jn}} \ delta _ {{km}} - \ delta _ {{in}} \ delta _ {{jm}} \ delta _ {{kl}} - \ delta _ {{im}} \ delta _ {{jl}} \ delta _ {{kn}}

\ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{imn}} = \ delta _ {{jm}} \ delta _ {{kn}} - \ delta _ {{jn}} \ delta _ {{km}}

\ toplam _ {{i, j = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ {{ijk}} \ varepsilon _ {{ijn}} = 2 \ delta _ {{kn}}

Boyut 2

2. boyutta, Levi-Civita sembolü şu şekilde tanımlanır:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ begin {case} +1 & {\ text {si}} (i, j) = (1,2) \\ - 1 & {\ text {si}} ( i, j) = (2,1) \\\; \; \, 0 & {\ text {si}} i = j \ end {vakalar}}}

Bu değerler, aşağıdaki gibi 2 × 2 kare matriste düzenlenebilir :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ varepsilon _ {11} & \ varepsilon _ {12} \\\ varepsilon _ {21} & \ varepsilon _ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 ve 1 \\ - 1 ve 0 \ end {pmatrix}}}

determinantı 1 olan benzer şekilde, Kronecker sembolünün değerleri kimlik matrisinin öğeleri olarak görülebilir.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ delta _ {11} & \ delta _ {12} \\\ delta _ {21} & \ delta _ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 ve 0 \\ 0 ve 1 \ end {pmatrix}}}

Boyut n

N boyutunda bunu gösterebiliriz

{\ displaystyle \ sum _ {i_ {1}, \ noktalar, i_ {n} = 1} ^ {n} \ left (\ varepsilon _ {i_ {1} \ noktalar i_ {n}} \ sağ) ^ {2 } = n!}

Gösteri

İki eşit endeks varsa, yani eğer böyle bir indis varsa , o zaman elde ederiz (determinant sıfırdır çünkü j ve k doğruları eşittir). ${\ displaystyle j, k \ in \ {1, \ noktalar, n \}}$ ${\ displaystyle i_ {j} = i_ {k}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i_ {1} \ noktalar i_ {n}} = 0}$

Yani ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i_ {1} \ noktalar i_ {n}} \ neq 0 \ iff (i_ {1}, \ noktalar, i_ {n}) \ {\ mathfrak {S}} _ {n} içinde }$

Nihayet . ${\ displaystyle \ sum _ {i_ {1}, \ noktalar, i_ {n} = 1} ^ {n} \ left (\ varepsilon _ {i_ {1} \ noktalar i_ {n}} \ sağ) ^ {2 } = \ sum _ {\ sigma \ içinde {\ mathfrak {S}} _ {n}} 1 = | {{\ mathfrak {S}} _ {n}} | = n!}$

Yorumlama

Bir de doğrudan ortonormal olarak , temsil yönlendirilmiş ses arasında bir paralel vektörleri inşa . $({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})$ $\ varepsilon _ {{ijk}}$ ${\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}}, {\ vec {e_ {j}}}, {\ vec {e_ {k}}}}$

Dolayısıyla, eğer i = j veya j = k veya k = i ise 0'a eşit bir değer .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Yazar kredisi

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Levi-Civita sembolü " ( yazarların listesini görmek ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">