Boyama bölgeleri

Boyama bölgeler bir temsilidir tekniğidir fonksiyonları kompleksleri . Terim, 1998 yılında Frank Farris tarafından türetilen İngilizce "alan renklendirmesi" nden gelmektedir . Renk genellikle ilişkilendirerek, karmaşık işlevleri görselleştirmek için daha önce kullanılmış olan argüman ile renk . Noktalarını ilişkilendirmek için bir renk sürekli varyasyon kullanımı tekniği kalkış birlikte ile birlikte varış seti veya görüntü düzleminde kullanılan 1999 George Abdo ve Paul Godfrey tarafından. Doug Arnold tarafından 1997'de grafiklerde renkli ızgaralar kullanıldı .

Motivasyonlar

Bir gerçek işlevi (örneğin ) ile temsil edilebilir grafiksel iki kullanılarak kartezyen koordinatları , bir de düzlem . f:R→R{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow {} \ mathbb {R}}f(x)=x2{\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}

Bir grafiği kompleks fonksiyonunun a kompleks bir değişken , iki kompleks boyutları gerektirir. Yana kompleks düzlem kendisi iki-boyutlu, kompleks fonksiyonun grafiği gerçek dört boyutlu bir amacıdır. Bu özellik, karmaşık fonksiyonların üç boyutlu bir uzayda görselleştirilmesini zorlaştırır. Holomorfik bir fonksiyonun gösterimi, bir Riemann yüzeyi kullanılarak yapılabilir . g:VS→VS{\ displaystyle g: \ mathbb {C} \ rightarrow {} \ mathbb {C}}

Karmaşık düzlemin görsel temsili

Karmaşık bir sayı verildiğinde , faz (argüman olarak da bilinir) tonla temsil edilebilir . z=rebenθ{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}θ{\ displaystyle \ theta}

Renk tonlarının düzeni gelişigüzeldir ancak genellikle kromatik dairenin sırasını takip eder . Bazen faz, renk tonundan ziyade bir gradyan ile temsil edilir.

Modül , yoğunluk veya yoğunluktaki değişimlerle temsil edilir. r=|z|{\ displaystyle r = | z |}

Karmaşık düzlemin eklerinin gerçek ve hayali kısımlarının resmini bir ızgara kullanarak eklemek de mümkündür.

Örnekler

Aşağıdaki görüntü göstermektedir sinüs fonksiyonu arasında ve gerçek eksen üzerinde ve gelen için hayali eksen üzerinde. w=günah⁡(z){\ displaystyle w = \ sin (z)}-2π{\ displaystyle -2 \ pi}2π{\ displaystyle 2 \ pi}-1.5{\ displaystyle -1,5}1.5{\ displaystyle 1.5}

Aşağıdaki resim , üç sıfırı (biri çift) ve iki kutbu vurgulayarak işlevi göstermektedir . f(z)=(z2-1)(z-2-ben)2z2+2+2ben{\ displaystyle f (z) = {\ tfrac {(z ^ {2} -1) (z-2-i) ^ {2}} {z ^ {2} + 2 + 2i}}}

Ayrıca görün

• Alanın renk tablosu yerine bir görüntü ile renklendirildiği uyumlu uygulama

Referanslar

1. Georg Glaeser ve Konrad Polthier (  Almanca'dan Janie Molard tarafından çevrilmiştir ), Surprenantes images des mathematiques , Paris, Belin, coll.  "Bilim için",2013, 344  s. ( ISBN  978-2-7011-5695-8 ) , s.  290
2. (in) , Frank A. Farris "  dairede karmaşık değerli fonksiyonları görselleştirme  " üzerine maa.org ,Haziran 2007(erişim tarihi 15 Ağustos 2015 )
3. (in) Hans Lundmark "  Alan renklendirmesi kullanarak karmaşık analitik fonksiyonları görselleştirme  " , (renklendirme bölgelerini kullanarak temsilin karmaşık analitik fonksiyonları) Lundmark, "alan renklendirme" teriminin icadı için Farris'e atıfta bulunur26 Şubat 2012(erişim tarihi 15 Ağustos 2015 )
4. (inç) David A. Rabenhorst, "  Karmaşık İşlevlerin Renk Galerisi  " , pikseller: bilimsel görselleştirme dergisi , Pixel Communications, n kemik  1-4,1990, s.  42 ve sonrası.
5. (inç) George Abdo ve Paul Godfrey, "  Sürekli Renklendirme Kullanan Uygun Eşleştirme Tablosu  " ,1999(erişim tarihi 15 Ağustos 2015 )
6. (in) Douglas N. Arnold, "  Grafik kompleks analiz için  " üzerinde www.ima.umn.edu ,15 Mayıs 2008(erişim tarihi 15 Ağustos 2015 )
7. Fazın dört renkle (mavi, macenta, kırmızı ve siyah) temsiline başka bir örnek: (in) François Labelle, "  Karmaşık İşlevler Galerisi  " , wismuth.com'da ,16 Mart 2002(erişim tarihi 5 Haziran 2017 )

Dış bağlantılar

• Michael J. Gruber Oluşturulan senaryo içinde Python alanı ile boyama oluşturmak için GIMP
• Emilia Petrisor, Matplotlib ve Mayavi ile karmaşık bir işlevin nasıl görselleştirileceğini ayrıntılı olarak açıklıyor .
• Karmaşık Fonksiyonların Renkli Grafikleri
• Düzlemde karmaşık değerli fonksiyonları görselleştirme.
• John Davis yazılımı - Alan Renklendirme için S-Lang komut dosyası
• GPU'da Etki Alanı Renklendirme Yöntemi
• Java alan renklendirme yazılımı (geliştirme aşamasında)