Euler-Mascheroni sabiti
Gelen matematik , sabit Euler - Mascheroni veya Euler sabit a, sabit ağırlıklı olarak kullanılan matematik, sayı teorisi olarak tanımlanan, sınır arasındaki farkın harmonik seri ve doğal logaritma . Genellikle gösterilir (küçük harf gama).
γ{\ displaystyle \ gamma}
Sayıların listesi γ - ζ (3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
|
İkili
|
0.100 100111100 010001 1…
|
Ondalık
|
0.577 215664901532860 6 ...
|
Onaltılık
|
0.93C 467 E37 DB0 C7A 4D1 B…
|
Sürekli kesir
|
0+11+11+12+11+1 ⋱ {\ displaystyle 0 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {\ \ noktalar \ {}}}}}}}}}}} (Bu devam eden kısmın bitip bitmediği henüz bilinmemektedir).
|
Tanım
Euler-Mascheroni sabiti γ aşağıdaki gibi tanımlanır:
γ=limdeğil→∞(1+12+13+14+⋯+1değil-ln(değil)){\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} { 4}} + \ noktalar + {\ frac {1} {n}} - \ ln (n) \ sağ)}.
Kısaltılmış bir şekilde şunları elde ederiz:
γ=limdeğil→∞(∑k=1değil1k-ln(değil)){\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ ila \ infty} \ sol (\ toplamı _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n) \ sağ) }.
Sabit, açık bir dizi biçiminde de tanımlanabilir (Euler tarafından tanıtıldığı gibi):
γ=∑k=1∞[1k-ln(1+1k)]{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ sol [{\ frac {1} {k}} - \ ln \ sol (1 + {\ frac {1} {k}} \ doğru doğru]}.
Harmonik serisi ıraksamaktadır olarak yapar genel bir terim sekansı ln ( n ) ; bu sabitin varlığı, iki ifadenin asimptotik olarak ilişkili olduğunu gösterir.
Yaklaşık değer ve özellikler
Euler-Mascheroni sabitinin ilk 10 ondalık basamağı ( OEIS'de devam eden A001620 ): γ ≈ 0,5772156649 .
Sırayı kullanarak hesaplama son derece yavaş ve kesin değildir. Bununla birlikte, yuvarlama hatalarının yayılması sorunlarına ilişkin farkındalık yaratmak için eğitim açısından ilgi çekicidir. Tek hassasiyet, 100.000 kelime, doğal sırayla toplayarak, üzerinde bir hata var 4'e inci toplamı (en küçükten en büyüğe kadar) ters sırada yapılır eğer ondalık hata çok düşük, ya da biz Kahan algoritmasını kullanırsanız (bkz toplamı (algoritmik) ). Bir milyon açısından, hata ulaşır 2 nci doğal yönde ondalık ve 4 inci ters yönde ondalık; Öte yandan Kahan'ın yöntemiyle 6 tam ondalık basamağa ulaşıldı.
∑k=1değil1k-ln(değil){\ displaystyle \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n)}
Yeterli hassasiyete ulaşmak için daha verimli yöntemler uygulanmalıdır. Örneğin, Euler-Maclaurin formülünün kullanılması , aşağıdaki gibi asimptotik gelişmelerin elde edilmesini mümkün kılar:
γ=∑k=1değil1k-ln(değil)-12değil+112değil2-1120değil4+...{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n) - {\ frac {1} {2n}} + {\ frac { 1} {12n ^ {2}}} - {\ frac {1} {120n ^ {4}}} + \ noktalar}.
Bu Euler 16 ondalık basamağı elde etmek izin y . Ve Lorenzo Mascheroni 32'de önerilen 1790 , ama bir hata ile 20 th hata giderilmiştir 1809 tarafından Johann Georg von Soldner . Donald Knuth 1962'de 1.271 ondalık basamak verdi , Thomas Papanikolaou 1997'de bir milyon ondalık basamak verdi , P. Dechimel ve X. Gourdon iki yıl sonra yüz milyon ondalık verdi. Gelen 2017 , doğrulanmış kayıt tarafından düzenlenmiş gibi görünür Ron Watkins kullanılarak milyar 400 ondalık basamağa (477 511 832 674 kesin olarak) ile y-cruncher .
Euler-Mascheroni sabitinin rasyonel bir sayı olup olmadığı hala bilinmemektedir . Bununla birlikte, sürekli fraksiyon analizi sabitinin rasyonel ise belirtir payda barındırmayan indirgenemez fraksiyonu fazla 242.080 basamak ( Havil 2003 , s. 97).
Çeşitli formüller
İntegral formüller
Euler-Mascheroni sabiti birkaç integralde oluşur :
γ=∫1∞(1E(x)-1x)dx{\ displaystyle \ gamma = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ sol ({1 \ üzerinde E (x)} - {1 \ x} üzerinde \ sağ) \, {\ rm {d}} x}(burada
E ,
tamsayı işlevidir )
=1-∫1∞ x-E(x)x2dx{\ displaystyle = 1- \ int _ {1} ^ {\ infty} \ {\ frac {xE (x)} {x ^ {2}}} \, {\ rm {d}} x}
=-∫01lnln(1x)dx{\ displaystyle = - \ int _ {0} ^ {1} {\ ln \ ln \ sol ({\ frac {1} {x}} \ sağ)} \, {\ rm {d}} x}
=∫01(1ln(x)+11-x)dx{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {\ ln (x)}} + {\ frac {1} {1-x}} \ sağ) \, { \ rm {d}} x}
=∫0∞(11-e-x-1x)e-xdx{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ left ({\ frac {1} {1- \ mathrm {e} ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x} } \ sağ) \ mathrm {e} ^ {- x}} \, {\ rm {d}} x}
=∫0∞1x(11+x-e-x)dx{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} {{\ frac {1} {x}} \ left ({\ frac {1} {1 + x}} - \ mathrm {e} ^ {- x} \ sağ)} \, {\ rm {d}} x}.
O (mümkün Sondow 2003 , 2005 Sondow ifade etmek) γ bir şekilde çifte integrali (burada eşdeğer serisi ile):
γ=∫01∫01x-1(1-xy)ln(xy)dxdy=∑değil=1∞(1değil-ln(değil+1değil)){\ displaystyle \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-x \, y) \ ln (x \, y )}} \, {\ rm {d}} x \, {\ rm {d}} y = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln \ left ({\ frac {n + 1} {n}} \ sağ) \ sağ)}.
Başka bir sabit benzer şekilde ifade edilir ( Sondow 2005 ):
ln(4π)=∫01∫01x-1(1+xy)ln(xy)dxdy=∑değil=1∞(-1)değil-1(1değil-ln(değil+1değil)){\ displaystyle \ ln \ sol ({\ frac {4} {\ pi}} \ sağ) = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1 } {(1 + x \, y) \ ln (x \, y)}} \, {\ rm {d}} x \, {\ rm {d}} y = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln \ left ({\ frac {n + 1} {n}} \ sağ) \ sağ )}.
Bu iki sabit aynı zamanda iki seri ile de bağlantılıdır ( Sondow 2010 ):
γ=∑değil=1∞DEĞİL1(değil)+DEĞİL0(değil)2değil(2değil+1){\ displaystyle \ gamma = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n + 1)}}}
ln(4π)=∑değil=1∞DEĞİL1(değil)-DEĞİL0(değil)2değil(2değil+1){\ displaystyle \ ln \ sol ({\ frac {4} {\ pi}} \ sağ) = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) -N_ { 0} (n)} {2n (2n + 1)}}}
burada N 1 ( n ) ve N 0 ( n ) , 2 tabanındaki n'nin yazılmasında 1'ler ve 0'ların sayısıdır .
Euler sabitinin diğer klasik olmayan ifadeleri " İkincil ölçü " makalesinde bulunabilir .
Belirli analitik işlevlerle ilgili formüller
Euler-Mascheroni sabiti diğer belirli analitik işlevlerle bağlantılara sahiptir :
-
Gama işlevi :
-
Γ(z)=∫0∞e-ttz-1dt=e-γzz∏değil=1∞değilez/değildeğil+z{\ displaystyle \ Gama (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- t} t ^ {z-1} \, {\ rm {d}} t = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n \ mathrm {e} ^ {z / n}} { n + z}}},
-
Γ(x)=1x-γ+Ö(1){\ displaystyle \ Gama (x) = {\ frac {1} {x}} - \ gama + o (1)}zaman X yaklaşımlar 0,
-
Γ′(1)=∫0∞e-xlnxdx=-γ{\ displaystyle \ Gama '(1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x} \ ln x} \, {\ rm {d}} x = - \ gamma },
-
Γ″(1)=∫0∞e-x(ln(x))2dx=γ2+π26{\ displaystyle \ Gama '' (1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x} (\ ln (x)) ^ {2}} \, {\ rm {d}} x = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}},
-
Γ′(1/2)=4∫0∞e-x2ln(x)dx=-(γ+2ln2)π{\ displaystyle \ Gama '(1/2) = 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}} \ ln (x)} \, {\ rm {d}} x = - (\ gamma +2 \ ln 2) {\ sqrt {\ pi}}} ;
-
İntegral üstel fonksiyon :
-
E1(z)=∫z∞e-ttdt=∫1∞e-zttdt=e-z∫0∞e-zt1+tdt{\ displaystyle E_ {1} (z) = \ int _ {z} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- t} \ t} \ üzerinden, {\ rm {d}} t = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- zt} \ over t} \, {\ rm {d}} t = \ mathrm {e} ^ {- z} \ int _ {0 } ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- zt} \ over {1 + t}} \, {\ rm {d}} t}
=e-zz∫0∞e-t1+t/zdt=-lnz-γ+∑değil=1∞(-1)değil-1zdeğildeğil⋅değil!{\ displaystyle = {\ mathrm {e} ^ {- z} \ over z} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ mathrm {e} ^ {- t} \ over {1 + t / z} } \, {\ rm {d}} t = - \ ln z- \ gamma + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} z ^ {n} \ n \ cdot n!}} üzerinde;
-
İntegral logaritma işlevi :
-
pÖsenrx>1, lben(x)=γ+ln(ln(x))+∑değil=1∞ln(x)değildeğil⋅değil!{\ displaystyle {\ rm {için}} \; x> 1, \ \ mathrm {li} (x) = \ gamma + \ ln (\ ln (x)) + \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln (x) ^ {n}} {n \ cdot n!}}} ;
-
İntegral kosinüs işlevi :
-
∀x>0, VSben(x)=γ+ln(x)+∑değil=1+∞(-1)değilx2değil(2değil)!(2değil){\ displaystyle \ forall x> 0, \ \ mathrm {Ci} (x) = \ gamma + \ ln (x) + \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)! (2n)}}} ;
-
Psi işlevi :
-
ψ(z)=Γ′(z)Γ(z)=-γ-1z+∑değil=1∞1değil-1değil+z{\ displaystyle \ psi (z) = {\ Gama '(z) \ üzerinde \ Gama (z)} = - \ gama - {1 \ z üzerinde} + \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} { 1 \ over n} - {1 \ over n + z}},
özellikle ve ;ψ(1)=Γ′(1)=-γ{\ displaystyle \ psi (1) = \ Gama '(1) = - \ gama}∑k=1değil1k=ψ(değil+1)+γ{\ displaystyle \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} {1 \ k üzerinden} = \ psi (n + 1) + \ gama}
-
Riemann zeta işlevi :
-
ζ(1+x)=1x+γ+Ö(1){\ displaystyle \ zeta (1 + x) = {\ frac {1} {x}} + \ gama + o (1)}zaman X yaklaşımlar 0,
-
∑değil=2∞1değil(ζ(değil)-1)=1-γ{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} (\ zeta (n) -1) = 1- \ gama},
-
∑değil=1∞1(2değil+1)22değil(ζ(2değil+1)-1)=1-γ-ln32{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) 2 ^ {2n}}} (\ zeta (2n + 1) -1) = 1- \ gama - \ ln {\ frac {3} {2}}},
-
∑değil=2∞(-1)değildeğilζ(değil)=γ{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} \ zeta (n) = \ gamma}.
Belirli aritmetik işlevlerle ilgili formüller
Bu paragrafta, p bir asal sayıyı belirtir .
-
limdeğil→∞1ln(değil)∏p≤değil(1-1p)-1=eγ{\ displaystyle \ lim _ {n \ ile \ infty} {\ frac {1} {\ ln (n)}} \ prod _ {p \ leq n} \ sol (1 - {\ frac {1} {p} } \ sağ) ^ {- 1} = \ mathrm {e} ^ {\ gamma}}( Mertens teoremi ).
-
limdeğil→∞1ln(değil)∏p≤değil(1+1p)=6eγπ2{\ displaystyle \ lim _ {n \ ile \ infty} {\ frac {1} {\ ln (n)}} \ prod _ {p \ leq n} \ sol (1 + {\ frac {1} {p} } \ right) = {\ frac {6 \ mathrm {e} ^ {\ gamma}} {\ pi ^ {2}}}}.
- Izin von Mangoldt fonksiyonu ile tamsayılar üzerinde tanımlı, eğer n asal sayı bir güçtür p ve aksi. Yani .Λ{\ displaystyle \ Lambda}Λ(değil)=ln(p){\ displaystyle \ Lambda (n) = \ ln (p)}Λ(değil)=0{\ displaystyle \ Lambda (n) = 0}∑değil=2∞Λ(değil)-1değil=-2γ{\ displaystyle \ toplamı _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) -1} {n}} = - 2 \ gama}
- Izin bölenler sayısı ve n (1 de dahil olmak üzere ve n, kendisi) bulunur. Yani n sonsuza meyilli olduğunda .d(değil){\ displaystyle d (n)}1değil∑k=1değild(k)=ln(değil)+2γ-1+Ö(1değil){\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} d (k) = \ ln (n) +2 \ gama -1 + O \ sol ({\ frac { 1} {\ sqrt {n}}} \ sağ)}
- Olsun bölenler toplamı tamsayıdır ve n . Daha sonra lim sup , dizinin üst sınırını belirtir .σ(değil){\ displaystyle \ sigma (n)}lim supσ(değil)değilln(ln(değil))=eγ{\ displaystyle \ limsup {\ frac {\ sigma (n)} {n \ ln (\ ln (n))}} = \ mathrm {e} ^ {\ gamma}}
- Euler'in gösterge işlevi olsun . Daha sonra , lim inf , dizinin alt sınırını belirtir .φ{\ displaystyle \ varphi}lim infφ(değil)ln(ln(değil))değil=e-γ{\ displaystyle \ liminf {\ frac {\ varphi (n) \ ln (\ ln (n))} {n}} = \ mathrm {e} ^ {- \ gamma}}
Genelleme
Stieltjes sabitleri olarak adlandırılan aşağıdaki sabitleri tanımlayarak konuyu genellemek mümkündür :
γ(m)=limdeğil→∞(∑k=1değil(lnk)mk-(lndeğil)m+1m+1){\ displaystyle \ gamma (m) = \ lim _ {n \ ila \ infty} \ sol (\ toplamı _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(\ ln k) ^ {m}} {k }} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m + 1}} {m + 1}} \ sağ)}.
Bunu Euler sabiti olarak görüyoruz .
γ(0)=γ{\ displaystyle \ gama (0) = \ gama}
Notlar ve referanslar
-
" y-cruncher Kayıt Seti " , http://www.numberworld.org ,13 Mart 2020(erişim tarihi 20 Nisan 2020 )
-
G. H. Hardy ve EM Wright ( İngilizceden François Sauvageot tarafından çevrilmiştir , tercihi Catherine Goldstein ), Sayılar teorisine giriş [" Sayılar Teorisine Giriş "] [ baskının detayı ]Bölüm 18 (“Aritmetik fonksiyonların büyüklük sırası”), bölüm 18.2 - 18.4.
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
-
(tr) GH Hardy ve EM Wright , Sayıların teorisine Giriş ( 1 st ed. 1938) [ Perakende Editions ], aritmetik işlevlerle ilgili formüller için.
- (tr) Julian Havil (de) , Gama: Euler'in Sabitini Keşfetmek , Princeton, PUP ,2003, 266 s. ( ISBN 0-691-09983-9 )
-
(tr) Jeffrey Lagarias , Euler sabiti: Euler'in çalışmaları ve modern gelişmeler, 98 sayfa, 258 referans. (2013) [ çevrimiçi okuyun ]
- Matyáš Lerch , " Euler'in Sabitinin Yeni İfadeleri ", Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften , cilt. 42,1897
- ( fr ) Jonathan Sondow , " Euler sabitinin mantıksızlık kriterleri " , Proc. Acı. Matematik. Soc. , cilt. 131,2003, s. 3335-3344 ( arXiv matematik.NT / 0209070 )
- (tr) Jonathan Sondow , " Euler sabiti ve ln 4 / için çift katlı integraller ve Hadjicostas formülünün bir benzeri " , Amer. Matematik. Ay. , cilt. 112,2005, s. 61-65 ( arXiv math.CA/0211148 )
- (en) Jonathan Sondow , " Euler sabiti için yeni Vacca-tipi rasyonel seriler ve onun" alternatif "analog ln 4 / π " , Toplamsal Sayı Teorisi ,2010, s. 331-340 ( arXiv matematik.NT / 0508042 )
- (tr) HM Srivastava ve Junesang Choi, Zeta ve q-Zeta Fonksiyonları ve İlişkili Seriler ve İntegraller , Amsterdam / Boston, Elsevier,2012( ISBN 978-0-12-385218-2 , çevrimiçi okuyun ) , s. 13-22
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">