Olarak matematiksel analiz , nosyonu sınırının bir değerlerinin yaklaşımı tarif dizisi göstergesi sonsuza eğilimi, ya da bir zaman fonksiyonu olduğunda , değişken bir noktaya (muhtemelen yaklaşımlar sonsuz alan tanımı kenarında). Varış kümesinde böyle bir limit varsa , dizinin veya fonksiyonun yakınsak olduğunu söyleriz (incelenen noktada). Bu durum söz konusu değilse, bu durumda olduğu gibi, farklı olan olmayan sabit periyodik dizileri ve işlevleri (örneğin sinüs fonksiyonu olarak ∞ + ).
Varlık koşulu altında , limitlerin hesaplanması, temel aritmetik işlemlere uygunluğu ile basitleştirilmiştir , ancak birkaç belirsiz form bu hesaplama tekniğine engeldir. Büyümenin karşılaştırılması genellikle mümkün bu belirsizlikleri ortadan kaldırmak mümkün kılar.
Bir limitin belirlenmesi, sınırlı veya asimptotik gelişme bile olsa, bir eşdeğerin (özellikle sıfır veya sonsuz limit durumunda), eğik asimptotların veya parabolik dalların ifadesiyle rafine edilebilir .
Bir fonksiyonun tanım alanına ait bir noktada limiti , sürekliliğinin karakterizasyonu ile bağlantılıdır . Bu gözlem , komşuluk kavramını kullanarak limiti daha genel olarak topolojik bir çerçevede ifade etmeyi mümkün kılar . Hatta filtre kavramıyla bu çerçevenin dışına da çıkabilir .
Vektör değerleri ile bir değişkenin bir fonksiyonu olarak ve özellikle bir in tamamlayıcı eğri a vektörlerin alanı ile birleşmiştir (örneğin, faz alan bir için sıradan bir diferansiyel denklem ikinci dereceden), limit yokluğu bazen telafi edilir. Tarafından bir limit döngüsünün varlığı .
Zaman n, çok büyük (bir tam sayı) sayısı ise, kendi ters 0 olarak bu fenomen eşitlik ile ifade edilir çok yakındır .
Benzer şekilde yazabiliriz , çünkü n tamsayısını yeterince büyük alarak karekök keyfi olarak büyütülebilir (örneğin, elde etmek için n > 1.000.000 olması yeterlidir ).
Tersine, dönüşümlü olarak 1 ve -1 değerlerini alan , ancak 1'e , -1'e veya ] -1, 1 [ veya dışarıdaki herhangi bir şeye doğru eğilim göstermeyen periyodik dizi için bir sınır yoktur . Sınırlı bir dizi olarak, + ∞ veya -∞ yönünde de eğilim gösteremez .
Weierstrass tarafından gerçek bir dizinin sonlu bir sınıra yakınsaklığının tanımı şu formülle ifade edilir:
veya yine, gerçek diziler durumunda eşdeğer bir formülasyonla, ancak karmaşık değerlere sahip diziler durumuna uyum sağlayan ,
.Bu tanım, içinde dizilere doğru uzanır normlu vektör uzayı değiştirerek mutlak değeri ile norm bir sekanslara daha genel olarak, ve metrik alan formülasyon
.Bu durumların her birinde, aynı dizi için iki farklı limit olamaz, bu da limiti bir eşitlikle ifade etmeyi mümkün kılar . Bazen notasyonu da buluruz .
sonsuz limitAşağıdaki durumda gerçek bir dizinin + ∞ yönüne saptığını söylüyoruz :
.Benzetme yoluyla, bu durumda −∞ yönüne doğru sapar.
.Üç limit durum (sonlu, pozitif sonsuz veya negatif sonsuzluk) birbirini dışlar ve bazılarının hiç limiti olmadığı için gerçek diziler setini kapsamaz. O zaman sınırsız ayrıştıklarını söylüyoruz.
Bir dizi için bir topolojik uzay değerlerin E , biz bir eleman doğru sekansı yakınsak söylemek L ∈ E bir açık ise U içeren L , bir sıra vardır , n 0 , herkes için bu n > n, 0 Elimizdeki x n ∈ U . Ancak limitin benzersizliği uzayın ayrı olduğu varsayımına dayanır .
Bu tanım, gerçek, karmaşık değerlere sahip veya metrik uzaylardaki dizilerin limitlerini kapsar, ancak standartlaştırılmamış fonksiyonel uzaylar gibi diğer metrikleştirilemeyen uzaylar için de geçerlidir. Aynı işlev dizisi için, sınırlamaların varlığına veya olmamasına yol açan farklı standartlar veya topolojiler düşünülebilir ( basit yakınsama , tek biçimli yakınsaklık , yakınsama normu p veya dağılımlar anlamında …)
Her gerçek artan dizinin bir limiti vardır ve bu limit ancak ve ancak dizi arttırılırsa sonludur. Bu durumda dizinin limiti , değerlerinin üst limitine eşittir .
Benzer şekilde, herhangi bir azalan gerçek dizinin, ancak ve ancak dizinin eksik tahmin edilmesi durumunda sonlu olan bir limiti vardır ve bu durumda dizinin limiti , değerlerinin alt limitine eşittir .
Bu özellikler sonucu üst sınırı özelliği kümesinde gerçek sayılar ve aynı zamanda mümkün tanımlamak mantıklı alt limiti , alçaltılmış bir sekansı ve üst sınır yükseltilmiş bir sekansın:
, .Özellikle, sınırlı bir dizi ancak ve ancak alt sınırı üst sınırına eşitse yakınsar ve bu durumda dizinin sınırı bu ortak değerdir. Bu özellik, kompakt bir uzayda bir dizi değerin yapışma değerlerinin incelenmesiyle genelleştirilir .
Diğer durumlarHerhangi bir yakınsak dizi sınırlıdır, ancak sınırlı bir dizi mutlaka yakınsak değildir.
İki bitişik dizinin her ikisi de aynı gerçek sınıra doğru yakınsar.
Gerçek veya karmaşık değerlere sahip bir dizi veya herhangi bir tam uzayda yakınsama, Cauchy kriterine eşdeğerdir :
.Bir için tekrarlayıcı sekansı ( x , n ) bir indüksiyon fonksiyonu f , bir elemanın sekans yakınsak eğer L fonksiyonu olan f olan , sürekli , ardından L a, sabit nokta arasında f .
Bir dizi için, (karmaşık veya vektör gerçek değerleri ile), ilgili seri da tam sayılar için tanımlanan bir dizi, bir N ≥ 0 ile ve yakınsar sınırına belirtildiği serisi toplamıdır .
Serinin yakınsaması ancak ilk dizi 0'a doğru gidiyorsa mümkündür. Aksi takdirde, serinin kabaca ıraksadığını söyleriz .
Pozitif bir reel dizi durumunda, seri zorunlu olarak artıyor ve her zaman sonlu veya sonsuz bir limiti kabul ediyor.
Herhangi bir n ≥ 0 tamsayı için alternatif bir dizi yazması durumunda, dizi sıfır limitiyle azalan (pozitif) ise , çift kademeli terimlerin dizisi ve tek kademeli terimlerin dizisi bitişik diziler oluşturur, dolayısıyla seri yakınsar, ve kalan mutlak değer olarak ilk ihmal edilen terimden daima daha düşüktür .
Fonksiyonu limiti andırıyor kavramı bir dizinin limit olduğu, fonksiyon değişkeni herhangi bir değeri doğru eğilimi olduğunu hariç tanımının etki ya da sınır bu bir. Böylece, bir ] a , b [⊂ R aralığında tanımlanan bir fonksiyon için, aralığın tamamıyla gerçek olan c fonksiyonunun olası sınırlarını inceleyebiliriz , ama aynı zamanda bu sınırların sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğu a ve b sınırlarında da çalışabiliriz .
Gerçek veya karmaşık bir değişkenin gerçek veya karmaşık bir işlevi için, sonlu bir limiti sonlu bir değere formüle etmek, bir dizinin limitine benzer:
ama bu modern tanımı, genel topolojik tanım ile tutarlı ( bkz aşağıda ) ve şimdi Fransa'da yürürlükte olan, Weierstrass tarihsel tanımını yerine alır da adlandırılan “farklı değerlerle sınırı” “künt sınırı” veya hala bazen Fransız üniversitelerde öğretilen ve, başka ülkelerde:
.Fonksiyonu zaman f bir reel sayı tanımlanan a bunun içinde bir sınır kabul ederse, bir daha sonra bu sınır mutlaka eşittir f ( a ) . Daha kesin olarak, fonksiyon tanım alanının bir a noktasında sonlu bir limiti ancak ve ancak a noktasında sürekli ise kabul eder . Bu koşul, künt limit ile eşitlik ile de ifade edilebilir:
.UygulamaBu sınırın belirlenmesi, özellikle türetilen sayının artış hızında bir sınır olarak belirlenmesi için yararlıdır .
Bir işlev için f gerçek değişken bölgesinin x , x gerçek yaklaşımlar a , değerler f (x) , çok bağlı tezat edilebilir olup değişken X daha az ya da daha fazla olan bir ters fonksiyonu özel durumunda olduğu gibi 0'da, burada tutarlı bir limit tanımlanamaz. Bu durumda, solda bir limit ve sağda farklı olabilecek bir limit tanımlamak mümkündür .
Bir fonksiyonu limiti f gerçek a soldaki bir yazılı veya hatta f ( a - ) ya da f gr ( a ) . Sağ limiti a olarak yazılır veya hatta f ( a + ) veya f d ( a ) şeklinde yazılır .
Sola mahalle ve gerçek bir sağındaki tanımlanan bir fonksiyon için , a , varlığı ve sol ve sağ sınırları eşitliği (aynı değerde) kör bir limitin varlığı eşdeğerdir.
Farklı limit formülasyonlarını birleştirmek için , herhangi bir gerçek (muhtemelen sağa veya sola) ve sonsuzluğa ( + ∞ veya −∞ içinde ) uygulanan komşuluk kavramına başvuruyoruz . Ayrıca gösterim kullanmak R = R ' ∪ {-∞ + ∞} bölgesinin tamamlanmış gerçek hattı .
Let f arasında (isteğe bağlı olarak sola veya sağa doğru) çevresinde tanımlanan bir fonksiyonu olabilir , bir ∈ R ve ya L ∈ R . Fonksiyon söylenir f sınırı kabul L içinde olan her bir mahalle için eğer V bölgesinin L , orada bir mahalle var U (sol veya sağ) olduğu şekilde f ( U ) ⊂ V .
Tanımın gerçek L' sinin var olduğu zaman benzersiz olduğunu kanıtlıyoruz ve ona p noktasında f'nin limiti diyoruz . Bunu not ediyoruz:
Fonksiyon limitinin sıralı kriteri Fonksiyon f sınır kabul L içinde bir tek bütün sonuç için ve eğer varsa olarak sınır olan aşağıdaki f ( x N ) ile sınırlıdır L .(Son özellik, L 2'nin sıfır olmadığını varsayar .)
Bu özellikler aynı zamanda sağdaki ve soldaki limitler için, p = ± ∞ durumu için ve ayrıca aşağıdaki kurallar kullanılarak sonsuz limitler için de geçerlidir:
(" Gerçek hak tamamlandı " makalesine bakın .)
q / 0 durumu için genel bir kural olmadığını unutmayın : bu, 0'a nasıl yaklaştığımıza bağlıdır. 0/0, 0 × ∞ , ∞ - ∞ veya ∞ / ∞ gibi bazı durumlar da bu kuralların kapsamında değildir.
Limitler üzerindeki işlemleri kullanarak doğrudan sonuca varmanın mümkün olmadığı belirli limit biçimleri vardır , bunlar "belirsiz" biçimler olarak adlandırılır:
Gerçek sayılar , mutlak değerle tanımlanan uzaklık fonksiyonu için bir metrik uzay oluşturur: d ( x ; y ) = | x - y |. Modül ile karmaşık sayılar için aynıdır . Ayrıca, Öklid uzayı ℝ n Öklid mesafesi ile bir metrik uzay oluşturur. Burada daha önce verilen limit tanımlarının genelleştirilmesini haklı çıkaran bazı örnekler verilmiştir.
Eğer ( x n ) bir metrik uzayda ( M ; d ) bir dizi ise, o zaman dizinin herhangi bir gerçel ε> 0 için L limitine sahip olduğunu söyleriz, öyle ki herhangi bir n > tamsayı için bir n 0 doğal sayısı vardır. n 0 elimizde d ( x n ; L ) <ε var.
Metrik alan (durumunda E , d ) olan tam (gerçek veya karmaşık sayılar kümesinin ve Öklit alanı ve diğer herhangi bir durum olan Banach alanı ), daha sonra herhangi bir Cauchy dizisi arasında M yakınsak. Bu, limiti bilmeden dizinin yakınsak olduğunu göstermeyi mümkün kılar.
Eğer M a, ya da kompleks normlu vektör uzayı , o zaman sınırına geçen çalışma gerçek sayı dizisinin durumunda olduğu gibi, doğrusaldır.
Şimdi varsayalım M ve K , iki metrik boşluk vardır bir parçası M , p bir eleman E yapıştırılması için A , L bir üyesi , N ve f için bir uygulama , A bölgesindeki N . x p'ye yaklaştığında f ( x ) limitinin L'ye eşit olduğu söylenir ve şöyle yazılır:
Eğer :
gerçek bir £ değerinin> 0 için gerçek Í vardır> 0 öyle ki herhangi biri için , x in A , örneğin D (yani X , p ) <δ, elimizdeki d ( f ( x ); L ) 'ε,bu, bir metrik uzayda bir fonksiyonun limitinin sıralı karakterizasyonuna eşdeğerdir ( aşağıya bakınız ).
Eğer varış uzayı tam ise, bir dizinin özel durumunda olduğu gibi, bu limiti bilmeden f için p için bir limitin varlığını gösterebiliriz :
Bir işlev için Cauchy ölçütü - Let M bir metrik alanı olması , N bir ölçüm alanı tam , bir parçası , M ve P bir noktaya M yapışık A .
Bir harita f : A → K bir sınır kabul p gerçek £ değerinin için (ve sadece)> 0 gerçek d> 0 için tüm var öyle ki x , y olarak bir ∩ B ( s , δ), elimizdeki d ( f ( x ); f ( y )) <ε.
(Bu teoremi genelleştirilmiş durumda M sadece topolojik uzay değiştirilmesiyle, toplar B ( s ; ve çevreye göre δ) p .)
Bir uygulama f arasında M de N olduğu sürekli p ancak ve ancak sınır f ( x ) x yaklaşımlar s mevcuttur (bu eşittir f ( s )). Eşdeğer olarak, f , p'ye yakınlaşan herhangi bir M dizisini, f'ye ( p ) yakınlaşan bir N dizisine dönüştürür .
Yine, N- normlu uzay vektörü, o zaman sınırına geçiş işlemi aşağıdaki anlamda doğrusal: sınırı ise f ( x olduğunda) x yaklaşımlar p eşittir L ve sınırının g ( x ) x p yaklaşımı P'ye eşittir , o zaman x p'ye yaklaştığında f ( x )+ g ( x ) ' nin limiti L + P'ye eşittir . Eğer bir sınırı ise, temel gövdenin bir skaler olan af ( x ) olduğunda X yaklaşımlar p eşittir al .
Eğer N ℝ eşittir, o zaman sonsuz sınırlarını tanımlamak; Eğer M ℝ eşittir, o zaman sağ ve daha önceki tanımlamaların bir yolu benzer sol sınırlar tanımlayabilir.
Herhangi bir alt-dizi yakınsak bir dizinin aynı limit yakınsamaktadır.
Limite geçme işlemi şu yönde doğrusaldır: ( x n ) ve ( y n ) gerçek yakınsak dizilerse ve lim x n = L ve lim y n = P ise , o zaman ( x n + y dizisi) n ) yakınsaktır ve L + P limitine sahiptir . Eğer bir gerçek bir sayıdır, daha sonra dizisi ( bir x , n ) sınırı ile bir noktada toplanacak olan aL . Böylece, tüm yakınsak gerçek dizilerin c kümesi gerçek bir vektör uzayıdır ve limite geçme işlemi, gerçek değerlerle c üzerinde lineer bir formdur .
(Eğer X , n ) ve ( y , n ), ilgili sınırlar gerçek yakınsak dizileridir L ve P , daha sonra dizisi ( X , n , Y , n ) sınırı ile bir noktada toplanacak olan LP . Ne olursa P ne de şartlardan herhangi birine olan n, daha sonra dizisi (sıfır, X , n / y n ) yakınsak sınırdır L / P .
Herhangi bir yakınsak dizi bir Cauchy dizisidir ve bu nedenle sınırlıdır. ( x n ) sınırlı ve artan bir gerçekler dizisiyse ( yani herhangi bir tamsayı için n , x n ≤ x n +1 ), o zaman zorunlu olarak yakınsaktır.
Bir reel sayı dizisi, ancak ve ancak alt ve üst limitleri sonlu ve eşitse yakınsaktır .
Limit tüm kavramları yukarıdaki birleşik olabilir ve daha fazla genel rasgele topolojik boşluklar M ve N :, eğer bir bir parçası olan M , p bir unsur M yapıştırılması için A , L bir öğesi N ve f bir uygulamada A içinde N , diyoruz ki
( L'nin (veya p'nin ) komşuluklar kümesini bu noktanın komşulukları bazıyla, örneğin bu noktayı içeren açıklıklar kümesiyle değiştirerek bu karakterizasyonu değiştirmeyiz .)
Bir boşluk , N olduğu ayrılır ve eğer herhangi bir harita sadece f : A → N- (herhangi bir yer için E ve herhangi bir parçada A ve M ) sahip olan, yapışan herhangi bir noktada , A en fazla bir sınır olarak.
Bir dizinin limit tanımı , önceki tanımın özel bir halidir:
Eğer M bir metriklenebilir (ya da daha genel olarak: kalıtımsal olarak sıralı ), elimizdeki ile limit sıralı karakterizasyonu :
Ayrıca, eğer , N , T 1 (ya da hatta sadece tek sıralı limitli ), bir sınır kabul herhangi bir dizisi için (ve sadece) ise de sınır , sıra bir sınır kabul eder.
Bu kavramın, örneğin herhangi bir metrik uzay için “sonsuzdaki” limitlerden bahsetmeye veya bir integralin Riemann toplamlarının bir limiti olduğunu söylemeye izin veren diğer genellemeleri tanımlanmıştır; en güçlüsü filtre kavramını kullanır . Yakınsama ile ilgili çeşitli makalelere örnekler veriyoruz : basit yakınsama , düzgün yakınsama , normal yakınsama , yakınsama neredeyse kesin , ortalama yakınsama , vb.
Christian Houzel, “Limit (notion de)”, Matematik sözlüğü - cebir, analiz, geometri , Encyclopædia Universalis ve Albin Michel, Paris 1997