Rastgele değişkenlerin yakınsaması
In olasılık teorisi , farklı görüşler vardır yakınsaması rastgele değişkenler . Rastgele değişken dizilerinin yakınsaması (aşağıda açıklanan duyulardan birinde), özellikle istatistiklerde ve stokastik süreçlerin incelenmesinde kullanılan önemli bir olasılık teorisi kavramıdır . Örneğin, n bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış rasgele değişkenlerin ortalaması neredeyse kesinlikle bu rasgele değişkenlerin ortak beklentisine yakınlaşır (eğer varsa). Bu sonuç, büyük sayıların güçlü yasası olarak bilinir .
Bu makalede, ( X n ) ' nin bir gerçek rastgele değişken dizisi olduğunu, X'in gerçek bir rastgele değişken olduğunu ve tüm bu değişkenlerin aynı olasılık uzayında tanımlandığını varsayıyoruz .
(Ω,F,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}
Hukukta yakınsama
Let F 1 , F 2 , ... sonuç ait dağıtım fonksiyonları
rastgele değişkenler ile ilişkili X 1 , X 2 , ... , ve F gerçek rasgele değişken dağılımı fonksiyonu X . Diğer bir deyişle, F , n ile tanımlanır F , n ( x ) = P ( x , n ≤ x ) ve F ile F ( x ) = P ( x ≤ x ) .
Dizisi X , n için yakınsak X hukuk veya dağıtım , eğer
limdeğil→∞Fdeğil(-de)=F(-de),{\ displaystyle \ lim _ {n \ sağ \ infty} F_ {n} (a) = F (a),}tüm gerçek için
a F olduğunu
sürekli .
Yana F ( bir ) = P ( x ≤ a ) , olasılığı, bu araçlar X belirli bir aralık ait çok yakın olasılık olmasıdır X , n bu aralıkta için n, yeterince büyük. Hukukta yakınsama genellikle not edilir
Xdeğil→LX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X}
veya
Xdeğil→dX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {d}} X}
Hukukta yakınsama, genel olarak aşağıda tanımlanan diğer yakınsama biçimlerini ima etmediği ve bu diğer yakınsama biçimleri hukukta yakınsamayı ima ettiği anlamında en zayıf biçimdir. Merkezi Limit Teoreminde kullanılan bu tür yakınsamadır .
Aynı şekilde, dizi ( X , n ) için hukuk yakınsak X , ancak ve ancak için varsa sınırlı sürekli fonksiyon
limdeğil→∞E[f(Xdeğil)]=E[f(X)].{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {E} [f (X_ {n})] = \ mathbb {E} [f (X)].}
Teoremi süreklilik Levy - Let φ n ( t ) karakteristik fonksiyonu arasında X , n ve φ ( t ) o , X . Yani
{∀t∈R:φdeğil(t)→φ(t)}⇔{Xdeğil→LX}{\ displaystyle \ sol \ {\ forall t \ in \ mathbb {R}: \ varphi _ {n} (t) \ için \ varphi (t) \ sağ \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ sol \ {X_ { n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X \ sağ \}}.
Diğer bir deyişle, ( X, n ) dağılımda yakınsak X , ancak ve ancak, eğer karakteristik fonksiyonu gerçek rasgele değişkeni X , n , sadece yakınsak gerçek rasgele değişken karakteristik fonksiyonu X .
Örnek: merkezi limit teoremi:
Bağımsız ve aynı kanunun merkezli ve integrallenebilirdir kare rasgele değişkenlerin, bir dizi ortalama bir kez tarafından yeniden normalize edilmiş √ n doğru hukuk yakınsak , normal hukuk
değilX¯değil→LDEĞİL(0,σ2).{\ displaystyle {\ sqrt {n}} {\ bar {X}} _ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2}). }
Örnek: Öğrenci yasasının yakınsaması:
Öğrenci dağıtım parametresi k yakınsak, ne zaman k eğilimi ∞ + e Gauss hukuku :
t(k)→LDEĞİL(0,1).{\ displaystyle \ mathrm {t} (k) {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} {\ mathcal {N}} (0,1).}Bu durumda, bir dizi rastgele yoğunluk değişkeninin bir yoğunluk rastgele değişkenine yakınsama kriteri olan Scheffé lemmasını da kullanabiliriz .
Örnek: yozlaşmış hukuk:
Dizi kanunen dejenere olarak adlandırılan ve 1 olasılıkla tek bir değer (0) alan rastgele bir X 0 değişkenine yakınsar (bazen 0'da Dirac kütlesinden bahsediyoruz, δ 0 olarak kaydedildi )
DEĞİL(0,1değil){\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ sol (0, {\ frac {1} {n}} \ sağ)}
P(X0≤x)=δ0(]-∞,x])={0 Eğer x<0,1 Eğer x≥0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {0} \ leq x) = \ delta _ {0} \ sol (] - \ infty, x] \ sağ) = {\ başlar {vakalar} 0 & {\ text { si}} x <0, \\ 1 & {\ text {si}} x \ geq 0. \ end {vakalar}}}
Olasılıkta yakınsama
Tanım -
Let ( X , n ) burada n , aynı olasılık uzayında tanımlanan gerçek rasgele değişken dizisidir . X n'nin olasılıkla X'e yakınsadığını söylüyoruz, eğer
(Ω,AT,P){\ displaystyle \ sol (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ sağ)}
∀ε>0,limdeğil→∞P(|Xdeğil-X|≥ε)=0.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {P} \ sol (\ sol | X_ {n} -X \ sağ | \ geq \ varepsilon \ sağ) = 0.}
Bazen not ederiz
Xdeğil→pX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {p}} X}
veya
Xdeğil→PX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {P}}} X}
Lemma -
Sırasıyla ( E , d ) veR{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Xdeğil→(d)Xved(Xdeğil,Ydeğil)→(d)0{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow [{}] {(d)}} X \ qquad {\ text {et}} \ qquad d (X_ {n}, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{} ] {(d)}} 0}
Böylece sahibiz
(Xdeğil,Ydeğil)→(d)(X,X){\ displaystyle (X_ {n}, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{}] {(d)}} (X, X)}
sonsuz mesafe ile sağlanan E × E uzayında .
Gösteri
Let F kapalı E × D . Tüm ε > 0 için
Fε: ={(x,y)∈E×E:d∞((x,y),F)≤ε}{\ displaystyle F _ {\ varepsilon}: = \ {(x, y) \ in E \ times E: d _ {\ infty} ((x, y), F) \ leq \ varepsilon \}}
Yani
P((Xdeğil,Ydeğil)∈F)≤P((Xdeğil,Xdeğil)∈Fϵ)+P(d(Xdeğil,Ydeğil)≥ϵ)F _ {\ epsilon içinde {\ displaystyle \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \) \ leq \ mathbb {P} ((X_ {n}, X_ {n}) \ }) + \ mathbb {P} (d (X_ {n}, Y_ {n}) \ geq \ epsilon)}
Geçme limsup , iki varsayım ve 3 e nokta teoremi portmanto kullanılarak elde edilir.
lim supdeğilP((Xdeğil,Ydeğil)∈F)≤P((X,X)∈Fϵ)F _ {\ epsilon içinde {\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \) \ leq \ mathbb {P} ((X, X) \ })}
sonra F kapalı olduğu için ε 'yi 0'a doğru yönelterek
lim supdeğilP((Xdeğil,Ydeğil)∈F)≤P((X,X)∈FF'de {\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \) \ leq \ mathbb {P} ((X, X) \ F}
Tekrar kullanarak sonuçlandırmak 3 rd portmanto teoremi noktasını.
Mülkiyet -
Eğer X n için yakınsak X olasılık sonra X n için yakınsak X hukuk .
Gösteri
X n = X alarak ve yasadaki yakınsamayı not ederek
önceki lemmanın bir sonucudur.
d(X,Ydeğil)→(d)0{\ displaystyle d (X, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{}] {(d)}} 0}
olduğu olasılık yakınlaşma eşdeğer
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Ydeğil→PX{\ displaystyle Y_ {n} {\ xrightarrow [{}] {\ mathbb {P}}} X}
içerisinde ( E , d ) .
Aksi takdirde aşağıdaki işlemleri yapabilirsiniz. Bir lemma belirterek başlayalım.
Lemma -
Let X , Y, olduğu gerçek rasgele değişkenler, c bir gerçek ve ε > 0 . Yani
P(Y≤vs)≤P(X≤vs+ε)+P(X-Y>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ leq c) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq c + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (XY> \ varepsilon)}
Aslında, şunu fark etmek yeterlidir:
{Y≤vs}⊂{X≤vs+ε}∪{X>vs+ε,Y≤vs}{\ displaystyle \ {Y \ leq c \} \ alt küme \ {X \ leq c + \ varepsilon \} \ cup \ {X> c + \ varepsilon, Y \ leq c \}}
Eşitsizlik doğal olarak takip eder.
Tüm ε > 0 için , bu lemma nedeniyle, elimizde:
P(Xdeğil≤-de)≤P(X≤-de+ε)+P(|Xdeğil-X|>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} \ leq a) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq a + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (\ sol | X_ {n} -X \ sağ |> \ varepsilon)}
P(X≤-de-ε)≤P(Xdeğil≤-de)+P(|Xdeğil-X|>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq a- \ varepsilon) \ leq \ mathbb {P} (X_ {n} \ leq a) + \ mathbb {P} (\ sol | X_ {n} -X \ sağ |> \ varepsilon)}
Böylece sahibiz
P(X≤-de-ε)-P(|Xdeğil-X|>ε)≤P(Xdeğil≤-de)≤P(X≤-de+ε)+P(|Xdeğil-X|>ε).{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq a- \ varepsilon) - \ mathbb {P} (\ sol | X_ {n} -X \ sağ |> \ varepsilon) \ leq \ mathbb {P} (X_ { n} \ leq a) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq a + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ sağ |> \ varepsilon).}Ya bir süreklilik noktası F X . Gerçek bir ε ' > 0 düzeltiriz . Sürekliliği ile F X de bir gerçek vardır £ değenni > 0 öyle
|P(X⩽-de+ε)-P(X⩽-de)|<ε′et|P(X⩽-de-ε)-P(X⩽-de)|<ε′{\ displaystyle | \ mathbb {P} (X \ leqslant a + \ varepsilon) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <\ varepsilon '\ mathrm {ve} | \ mathbb {P} (X \ leqslant a - \ varepsilon) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <\ varepsilon '}.
Yakınsama ( X , n ) , n için olasılık X , bir tamsayı varlığını çıkarılabilir K : öyle ki , eğer , n ≥ N .
P(|Xdeğil-X|>ε)<ε′{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ sol | X_ {n} -X \ sağ |> \ varepsilon) <\ varepsilon '}
Nerede: .
∀değil∈DEĞİL,değil⩾DEĞİL⇒|P(Xdeğil⩽-de)-P(X⩽-de)|<2ε′{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, n \ geqslant N \ Rightarrow | \ mathbb {P} (X_ {n} \ leqslant a) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <2 \ varepsilon '}
Slutsky teoremi - Eğer X , n hukuk yakınsak için X ve eğer Y , n , bir sabite olasılıkta yakınsak c , daha sonra çift ( X , n , Y, n ) çiftine hukuk yakınsak ( X , C ) .
Neredeyse kesin yakınsama
Tanımı -
Biz söylemek X n neredeyse kesinlikle yakınsar için X ise
P(limdeğil→∞Xdeğil=X)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} X_ {n} = X \ sağ) = 1}
veya eşdeğer bir şekilde, eğer bir vardır - göz ardı edilebilir bir alt kümesi , N ⊂ Ω şekildedir
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
∀ω∈Ω∖DEĞİL,Xdeğil(ω)→değil→∞X(ω){\ displaystyle \ forall \ omega \ in \ Omega \ setminus N, \ qquad X_ {n} (\ omega) {\ xrightarrow [{n \ ila \ infty}] {}} X (\ omega)}
Ayrıca hemen hemen her yerde veya 1 veya yüksek olasılıkla yakınsamadan bahsediyoruz ve yazıyoruz
Xdeğil→p.s.X{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {ps}} X}
veya İngilizce ( neredeyse kesin olarak )
Xdeğil→-de.s.X{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {as}} X}
Neredeyse güvenli yakınsama şu şekilde yeniden yazılmıştır:
∀ε>0,P(lim infdeğil{|Xdeğil-X|<ε})=1{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ sol (\ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \} \ sağ) = 1}
veya
∀ε>0,P(lim supdeğil{|Xdeğil-X|>ε})=0{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ sol (\ limsup _ {n} \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \} \ sağ) = 0}
veya
lim infdeğil{|Xdeğil-X|<ε}: =⋃DEĞİL∈DEĞİL⋂değil≥DEĞİL{|Xdeğil-X|<ε}={|Xdeğil-X|<ε -de Git bir belirli rütbe}{\ displaystyle \ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \}: = \ bigcup _ {N \ in \ mathbb {N}} \ bigcap _ {n \ geq N} \ { | X_ {n} -X | <\ varepsilon \} = \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \ {\ textrm {a}} \ {\ textrm {start}} \ {\ textrm {d ' a}} \ {\ textrm {belirli}} \ {\ textrm {rang}} \}}
lim supdeğil{|Xdeğil-X|>ε}: =⋂DEĞİL∈DEĞİL⋃değil≥DEĞİL{|Xdeğil-X|>ε}={|Xdeğil-X|>ε sonsuza kadar sıklıkla.}{\ displaystyle \ limsup _ {n} \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \}: = \ bigcap _ {N \ in \ mathbb {N}} \ bigcup _ {n \ geq N} \ { | X_ {n} -X |> \ varepsilon \} = \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \ {\ textrm {sonsuz}} \ {\ textrm {sıklıkla}}. \}}
Teorem - Eğer X n için yakınsak X neredeyse kesinlikle sonra X n için yakınsak X olasılık .
Gösteri
By Fatou Lemma , hepimiz için var £ değerinin > 0 :
lim infdeğilP(|Xdeğil-X|<ε)≥P(lim infdeğil{|Xdeğil-X|<ε})=1{\ displaystyle \ liminf _ {n} \ mathbb {P} (| X_ {n} -X | <\ varepsilon) \ geq \ mathbb {P} \ sol (\ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \} \ sağ) = 1}
Büyük sayıların güçlü yasasında neredeyse kesin yakınsama kullanılır .
R düzeninin ortalama yakınsaması
Tanım -
Let r > 0 ve ( X, n ) burada n , aynı olasılık uzayında tanımlanan gerçek rasgele değişken dizisidir . Biz söylüyorlar X n için yakınsak olarak X bir sipariş ortalama r ya bir norm olarak L r eğer herkes için n ve eğer
(Ω,AT,P){\ displaystyle \ sol (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P \ sağ)} E(|Xdeğil|r)<+∞{\ displaystyle E (| X_ {n} | ^ {r}) <+ \ infty}
limdeğil→∞E(|Xdeğil-X|r)=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ sağ ok \ infty} E \ sol (\ sol | X_ {n} -X \ sağ | ^ {r} \ sağ) = 0}
Bazen fark ederiz .
Xdeğil→LrX{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {L} ^ {r}}} X}
For r = 1, biz sadece söz ortalama yakınlaşma ve için r içinde = 2 kök ortalama kare yakınlaşma .
Mülkiyet -
For r > s ≥ 1, norm yakınsama ima norm yakınsaması .
Lr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}Ls{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {s}}
Gösteri
Jensen'in dışbükey fonksiyonu ile eşitsizliğinin basit bir uygulamasıdır .x↦xr/s{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {r / s}}
For r = 2, aşağıdaki sonucu vardır:
Mülkiyet -
Let olmak c gerçek sabiti. O zaman bizde
Xdeğil→L2vs{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {L} ^ {2}}} c}
ancak ve ancak
limdeğil→∞E[Xdeğil]=vsvelimdeğil→∞Var[Xdeğil]=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ - \ infty} \ mathbb {E} [X_ {n}] = c \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ lim _ {n \ - \ infty} \ operatöradı { Var} [X_ {n}] = 0}
Gösteri
Bu, aşağıdaki kimliği izler:
E[(Xdeğil-vs)2]=Var(Xdeğil)+(E[Xdeğil]-vs)2{\ displaystyle \ mathbb {E} \ sol [(X_ {n} -c) ^ {2} \ sağ] = \ operatöradı {Var} (X_ {n}) + \ sol (\ mathbb {E} [X_ { n}] - c \ sağ) ^ {2}}
Mülkiyet -
Eğer X n için yakınsak X L r norm ardından X n için yakınsak X olasılık .
Gösteri
Markov eşitsizliğinin gerçek rastgele değişkenler için doğrudan bir uygulamasıdır ve r sırasını kabul eder :
P(|Xdeğil-X|≥ε)≤E[|Xdeğil-X|r]εr{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ sol | X_ {n} -X \ sağ | \ geq \ varepsilon \ sağ) \ leq {\ frac {\ operatöradı {E} [\ sol | X_ {n} - X \ sağ | ^ {r}]} {\ varepsilon ^ {r}}}}
Misal:
Büyük sayılar zayıf kanunu bu son iki özellik doğrudan bir sonucudur
Rastgele bir değişkenin bir fonksiyonunun yakınsaması
Genel olarak İngilizce'de haritalama teoremi (en) olarak anılan çok pratik bir teorem, X'e yakınsayan bir değişkene uygulanan sürekli bir g fonksiyonunun tüm yakınsama modları için g ( X ) 'e yakınlaşacağını belirtir :
Teorem - ( Haritalama teoremi ) Izin vermek bir C kümesinin herhangi bir noktasında sürekli bir fonksiyon olabilir, öyle ki :
g:Rk→Rm{\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {k} \ - \ mathbb {R} ^ {m}}P(X∈VS)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ C) = 1}
- Eğer ;Xdeğil→LX yani g(Xdeğil)→Lg(X){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X {\ text {sonra}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} g (X)}
- Eğer ;Xdeğil→pX yani g(Xdeğil)→pg(X){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {p}} X {\ text {sonra}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {p}} g (X)}
- Evet .Xdeğil→p.sX yani g(Xdeğil)→p.s.g(X){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {ps}} X {\ text {sonra}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {ps}} g (X)}
Misal:
Olarak istatistik , bir yakınsak tahmin arasında varyans σ 2 ile verilir:
sdeğil-12≡1değil-1∑ben=1değil(yben-y¯)2{\ displaystyle s_ {n-1} ^ {2} \ equiv {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (y_ {i} - {\ overline {y}} \ sağ) ^ {2}}.
Daha sonra tanıdığımız Sürekli eşleme teoremi tahmincisi olduğu bir standart sapma σ = √ σ 2 çünkü yakınsak olan kök fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.sdeğil-12{\ displaystyle {\ sqrt {s_ {n-1} ^ {2}}}}
Karşılıklı çıkarımlar
Özetlemek gerekirse, rastgele değişkenlerin farklı yakınsama kavramları arasında bir ima zincirine sahibiz:
→Ls⇒s>r≥1→Lr⇓→p.s.⇒→ p ⇒→ d {\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ xrightarrow {L ^ {s}}} & {\ underet {s> r \ geq 1} {\ Rightarrow}} ve {\ xrightarrow {L ^ {r}}} && \\ && \ Downarrow && \\ {\ xrightarrow {ps}} & \ Rightarrow & {\ xrightarrow {\ p \}} & \ Rightarrow & {\ xrightarrow {\ d \}} \ end {matris}}}
Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, olasılıkta yakınsama, yakınsama veya neredeyse kesin yakınsama anlamına gelmez :
Lr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}
Misal:
Let r > 0 . Biz düşünün ( X n ) n, ≥ 1 , öyle ki, bağımsız rastgele değişken bir sekans
P(Xdeğil=değil1/r)=1değilveP(Xdeğil=0)=1-1değil{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = {\ frac {1} {n}} \ qquad {\ text {ve}} \ qquad \ mathbb {P} ( X_ {n} = 0) = 1 - {\ frac {1} {n}}}
( X n ) n dizisi olasılıkta 0'a yakınsar çünkü
∀ε>0,∀değil≥ε,P(|Xdeğil|≥ε)=P(Xdeğil=değil1/r)=1değil→0{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ forall n \ geq \ varepsilon, \ qquad \ mathbb {P} (| X_ {n} | \ geq \ varepsilon) = \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = {\ frac {1} {n}} \ to 0}
Öte yandan, birleşmiyor çünküLr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}E[Xdeğilr]=1↛0{\ displaystyle \ mathbb {E} [X_ {n} ^ {r}] = 1 \ nrightarrow 0}
Hemen hemen kesin bir şekilde birleşmediğini de gösterelim. Eğer böyle bir durum olsaydı, neredeyse kesin olan sınırı, olasılıktaki sınırı, yani 0 olurdu. Şimdi, rastgele değişkenler X n bağımsız olduğundan ve Borel'in sıfır-bir yasasına göre :
∑değilP(Xdeğil=değil1/r)=+∞{\ displaystyle \ toplamı _ {n} \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = + \ infty}
P(lim supdeğil{Xdeğil=değil1/r})=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ limsup _ {n} \ {X_ {n} = n ^ {1 / r} \} \ sağ) = 1}
yani, neredeyse kesin olarak X n = n 1 / r , sonsuzluk için n'dir . Yani, neredeyse kesin olarak, A fortiori X n neredeyse kesin olarak 0'a yakınlaşmaz.
lim supdeğilXdeğil=+∞.{\ displaystyle \ limsup _ {n} X_ {n} = + \ infty.}
Misal:
Yukarıdaki örnekte, Borel sıfır tek bir yasa başvurmadan vermemek için, açık bir şekilde dizisi tanımlayabilir X , n , aşağıdaki gibi. Biz seçim Q'dan = [0; 1] Borelian kabilesi ve Lebesgue ölçüsü ile sağlanmıştır . Biz poz , için , sonra
-de1: =0{\ displaystyle a_ {1}: = 0}-dedeğil: =12+⋯+1değil(mod1){\ displaystyle a_ {n}: = {\ frac {1} {2}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} {\ pmod {1}}}değil≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
bendeğil: ={[-dedeğil-1,-dedeğil]Eğer -dedeğil-1<-dedeğil[0,-dedeğil]∪[-dedeğil-1,1]Eğer -dedeğil-1>-dedeğil{\ displaystyle I_ {n}: = \ sol \ {{\ başla {matris} \ sol [a_ {n-1}, a_ {n} \ sağ] ve {\ text {si}} a_ {n-1} <a_ {n} \\\ sol [0, a_ {n} \ sağ] \ cup \ sol [a_ {n-1}, 1 \ sağ] & {\ text {si}} a_ {n-1}> a_ {n} \ end {matris}} \ sağ.}
Sonunda tanımlıyoruz
Xdeğil(ω): ={değil1/rEğer ω∈bendeğil0Eğer ω∉bendeğil{\ displaystyle X_ {n} (\ omega): = \ sol \ {{\ başla {matris} n ^ {1 / r} & {\ text {si}} \ omega \ I_ {n} \\ 0 & {\ text {si}} \ omega \ notin I_ {n} \ end {matrix}} \ right.}
X, n, bu şekilde tanımlanmış olan, bağımsız değildir, ancak bir önceki örnekte olduğu gibi doğrulamak
P(lim supdeğil{Xdeğil=değil1/r})=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ limsup _ {n} \ {X_ {n} = n ^ {1 / r} \} \ sağ) = 1}
Birkaç istisna dışında, bu çıkarımların kesinlikle karşılıklı bir anlamı yoktur. Bununla birlikte, "karşılıklı benzerlik" olarak adlandırılabilecek bazı yararlı özellikler şunlardır:
- Eğer X n yasada gerçek bir sabit c'ye yakınsarsa , o zaman X n olasılıkta c'ye doğru yakınsar .
- Eğer X n için olasılık yakınsak X , daha sonra bir alt sıra bulunur neredeyse kesinlikle yakınsar X .Xσ(değil){\ displaystyle X _ {\ sigma (n)}}
- Eğer X, n, olasılık olarak yakınsak X ve eğer tüm n ve bazı b , o zaman X, n, sipariş ortalamada yakınsak r için X tüm r ≥ 1 . Daha genel olarak, eğer X n için olasılık yakınsak X ve eğer aile ( XP(|Xdeğil|≤b)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (| X_ {n} | \ leq b) = 1}p
n) Daha sonra, homojen bir integrallenebilirdir X , n sırası ortalama olarak yakınsak p için X .
- Hepsi için ε > 0 ise ,
∑değilP(|Xdeğil-X|>ε)<∞,{\ displaystyle \ toplamı _ {n} \ mathbb {P} \ sol (| X_ {n} -X |> \ varepsilon \ sağ) <\ infty,}
sonra X n neredeyse kesin olarak X'e yakınsar . Diğer bir deyişle, eğer X, n, olasılık olarak yakınsak X yeterince hızlı bir şekilde ( i . E ., Tüm yukarıdaki dizi yakınsak £ değerinin > 0 ) daha sonra X , n hemen hemen kesin olarak yakınsak X . Bu , Borel-Cantelli teoreminin doğrudan uygulanmasından kaynaklanmaktadır .
- Let ( X , n ) , n ≥ 1 olmak bağımsız gerçek rasgele değişken bir sekans içerir. Tüm n'ler için şunları belirledik:
Sdeğil=X1+⋯+Xdeğil{\ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + \ cdots + X_ {n}}.
O halde ( S n ) n ≥ 1 dizisinin neredeyse kesin yakınsaması, olasılıktaki yakınsamasına eşdeğerdir; başka bir deyişle, genel bir terim dizisinin neredeyse emin yakınsama X n olan olasılık onun yakınlaşma eşdeğer.
Notlar ve referanslar
-
Bu örnek hakkında daha fazla bilgi için bkz. Davidson ve McKinnon 1993 , bölüm. 4.
-
Vaart 1998 , s. 7.
Kaynakça
- (en) Russell Davidson ve James McKinnon ( Almanca'dan çevrildi ), Estimation and Inference in Econometrics , New York, Oxford University Press ,1993, 874 s. ( ISBN 978-0-19-506011-9 , LCCN 92012048 ) , s. 874
- (en) GR Grimmett ve DR Stirzaker , Olasılık ve Rastgele Süreçler , Oxford, Clarendon Press,1992, 2 nci baskı. ( ISBN 0-19-853665-8 ) , s. 271-285
- (en) Adrianus Willem van der Vaart ( Almanca'dan çeviri ), Asymptotic Statistics , Cambridge, Cambridge University Press ,1998, 1 st ed. , 443 s. , ciltli ( ISBN 978-0-521-49603-2 , LCCN 98015176 ) , s. 443
Dış bağlantılar
-
[1] : Rastgele değişkenlerin yakınsaması üzerine merkezi Paris okulunda 1. yıl kursu