Fatou Lemması
Fatou lemması önemli olan sonuç teorisinde Lebesgue entegrasyonu . Fransız matematikçi Pierre Fatou (1878-1929) tarafından gösterilmiştir . Bu lemma , pozitif ölçülebilir fonksiyonların alt sınırının integralini integrallerinin alt sınırıyla karşılaştırır .
Genellikle üç sonuçtan oluşan bir dizi halinde sunulur: ilk önce monoton yakınsama teoremi , daha sonra Fatou'nun lemmasını kanıtlamaya hizmet eder, sonra bu, hakim yakınsama teoremini kanıtlamak için kullanılır .
Bu lemma bazen "Fatou-Lebesgue teoremi" olarak adlandırılır.
Eyaletler
Olalım bir ölçülen boşluk . Herhangi bir dizi için bir ölçülebilir fonksiyonlar üzerindeki değerlerle [0, + ∞] , alt sınır sekansının ölçülebilir ve sahip:
(E,AT,μ){\ displaystyle (E, {\ mathcal {A}}, \ mu)}(fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}E{\ displaystyle E}
∫lim infdeğil→∞fdeğil dμ≤lim infdeğil→∞∫fdeğil dμ{\ displaystyle \ int \ liminf _ {n \ ila \ infty} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ liminf _ {n \ ila \ infty} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d } \ mu}.
Eşitlik genellikle doğrulanmaz.
Gösteri
Tanım olarak, işlev , aşağıdakiler tarafından tanımlanan (pozitif ölçülebilir) işlevlerin artan sırasının basit sınırıdır :
lim infdeğil→∞fdeğil{\ displaystyle \ liminf _ {n \ ila \ infty} f_ {n}}gp{\ displaystyle g_ {p}}
∀x∈E,gp(x)=infdeğil≥pfdeğil(x){\ displaystyle \ forall x \, E içinde, \ quad g_ {p} (x) = \ inf _ {n \ geq p} f_ {n} (x)}.
Bu nedenle, monoton yakınsama teoremi geçerlidir ve verir:
∫lim infdeğil→∞fdeğil dμ=∫limp→∞gp dμ=limp→∞∫gp dμ{\ displaystyle \ int \ liminf _ {n \ ila \ infty} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int \ lim _ {p \ ila \ infty} g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ lim _ {p \ ila \ infty} \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu}.
Şimdi her şey için , integralin tanımı ve büyümesi gereği, elimizde:
p∈DEĞİL{\ displaystyle p \ in \ mathbb {N}}gp{\ displaystyle g_ {p}}
∀değil≥p,∫gp dμ≤∫fdeğil dμ{\ displaystyle \ forall n \ geq p, \ quad \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu},
Diğer bir deyişle :
∫gp dμ≤infdeğil≥p∫fdeğil dμ{\ displaystyle \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ inf _ {n \ geq p} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu},
Böylece
limp→∞∫gp dμ≤limp→∞infdeğil≥p∫fdeğil dμ=lim infdeğil→∞∫fdeğil dμ{\ displaystyle \ lim _ {p \ ila \ infty} \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ lim _ {p \ ila \ infty} \ inf _ {n \ geq p} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ liminf _ {n \ ila \ infty} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}.
Örnekler
Katı eşitsizlik durumu
Aşağıdaki örnek, eşitliğin genel olarak kontrol edilmediğini göstermektedir. Dizisi düşünün ilgili Lebesgue ölçümü, örneğin sahip ve . Yani her şey için , bu nedenle , her şey için .
(fdeğil)değil∈DEĞİL{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}E: =[0,2]{\ displaystyle E: = [0,2]}f2değil=1[0,1]{\ displaystyle f_ {2n} = 1 _ {[0,1]}}f2değil+1=1]1,2]{\ displaystyle f_ {2n + 1} = 1 _ {] 1,2]}}gp=0{\ displaystyle g_ {p} = 0}p{\ displaystyle p}limp∫[0,2]gp dx=0{\ displaystyle \ lim _ {p} \ int _ {[0,2]} g_ {p} ~ \ mathrm {d} x = 0}∫[0,2]fdeğil dx=1{\ displaystyle \ int _ {[0,2]} f_ {n} ~ \ mathrm {d} x = 1}değil{\ displaystyle n}
Göstergeler
Her durumda için Fatou lemma uygulayarak f , n olduğu indikatriks a ölçülebilir kısmı bir N ve E , elde edilir:
μ(lim infdeğilATdeğil)≤lim infdeğilμ(ATdeğil){\ displaystyle \ mu (\ liminf _ {n} A_ {n}) \ leq \ liminf _ {n} \ mu (A_ {n})},
sol alt sınır, ayar sırasının alt sınırıdır .
Bununla birlikte, bu sonucu Fatou'nun lemasına başvurmadan doğrudan elde edebileceğimize dikkat edin. Aslında, diziyi artırarak , elimizde
(∩değil≥DEĞİLATdeğil)DEĞİL{\ displaystyle (\ cap _ {n \ geq N} A_ {n}) _ {N}}
μ(∪DEĞİL∈DEĞİL∩değil≥DEĞİLATdeğil)=limDEĞİLμ(∩değil≥DEĞİLATdeğil)≤limDEĞİLinfdeğil≥DEĞİLμ(ATdeğil){\ displaystyle \ mu \ sol (\ cup _ {N \ in \ mathbb {N}} \ cap _ {n \ geq N} A_ {n} \ sağ) = \ lim _ {N} \ mu \ sol (\ cap _ {n \ geq N} A_ {n} \ right) \ leq \ lim _ {N} \ inf _ {n \ geq N} \ mu (A_ {n})}.
Notlar ve referanslar
-
(in) NL Carothers, Real Analysis , Cambridge University Press ,2000( çevrimiçi okuyun ) , s. 321.
-
Srishti D. Chatterji, Analiz Kursu , cilt. 1: Vektör analizi , PPUR ,1997( çevrimiçi okuyun ) , s. 241-242.
-
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel ve diğerleri. , Lisans 3 için Hepsi Bir Arada Matematik , Dunod ,2015( çevrimiçi okuyun ) , s. 250( tam Kurzweil-Henstock'un bir parçası olarak ).
-
Ya herkes için , tanımı gereği ve integral büyümesi, ve operatör monotonluğundan tarafından , .değil∈DEĞİL{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}gdeğil{\ displaystyle g_ {n}}∫gdeğil dμ≤∫fdeğil dμ{\ displaystyle \ int g_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}lim inf{\ displaystyle \ liminf}limp→∞∫gp dμ=lim infdeğil→∞∫gdeğil dμ≤lim infdeğil→∞∫fdeğil dμ{\ displaystyle \ lim _ {p \ ila \ infty} \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ liminf _ {n \ ila \ infty} \ int g_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ liminf _ {n \ ila \ infty} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">