Malta haçı (mekanizma)

Malta haçı a, mekanik cihaz bir sarsıntılı dönme içine sürekli dönme hareketi dönüştürür. Adı, Malta haçına benzerliğinden (✠, Kudüs Aziz John Düzeninin veya Malta Egemen Düzeninin sembolü ), ancak dairesel kenarlardan kaynaklanmaktadır. İngilizce ve İspanyolca'da, bu mekanizma adını Cenevre şehrinden ( Cenevre yolu , Rueda de Ginebra ) alır - ancak İngilizce'de Malta haçı terimi de kullanılır.

Mekanik cihaz, indekslemeye izin veren bir "takipçi" tarafından tahrik edilen bir kam içerir .

Tarihi

Lumière kardeşlerle çalışan Fransa'daki mucit Jules Carpentier ve Alman sinemasının öncülerinden Oskar Messter , 1896 gibi erken bir tarihte Malta çapraz cihazlarının patentini aldı. Ancak bu, Pierre-Victor Continsouza'nın dört şubesi için Malta haçıdır . o zamanlar sinematografik projeksiyon cihazlarında en yaygın kullanılanıydı.

Kullanımlar

Özellikle film filmi (dijital olmayan) için projektörlerde ve nadiren kameralarda filmin ilerlemesi için kullanılır: film, deklanşörün (çekim) veya kameranın önünde her görüntüde durmalıdır. lamba (projeksiyon).

Bu mekanizma, her gözaltında figürlerin hizalanmasını ve eğilmesini garanti ettiği mekanik sayaçlarda (otomobil kilometre, su veya gaz tüketimi vb.) Bulunur. Ayrıca, tanıtıldığında bekleme süresine ihtiyaç duyan (biyel kolu-krank sisteminin izin vermediği) bir ürün transferi gerçekleştiren makinelerde kullanılır. Örneğin, paketleme makinelerinde kullanılan hareketlerin temelinde bulunur: ürünler önceden tanımlanmış bir miktara göre (durdurma aşaması) bir gıda deposuna verilir, ardından transfer hareketi sırasında sarılır (hareket aşaması).

Operasyon

Malta çapraz mekanizmasının çalışması şu şekildedir: krank veya tahrik tekerleği olarak adlandırılan bir silindir, düzenli bir hızda sürekli döner ve bir parmak taşır. Parmak, Malta haçında (tahrik edilen tekerlek) bir oyuğa girerek 1 / n tur dönmesine neden olur , burada n , çaprazdaki olukların sayısıdır ( karşıt şekilde n = 4, yukarıdaki animasyonda 6 inç).

Daha sonra parmak oluktan çıkar, Malta haçı hareketsiz kalırken motor silindiri yoluna devam eder. Kısmen oyuk olan merkezi silindir, Malta haçının yuvarlatılmasını tamamlayıcı niteliktedir; bu, parmak bir oyuğa geçmediğinde cihazın konumunu stabilize etmeye hizmet eder.

Olukların sayısı çift veya tek değerler alabilir, genellikle 4 ile 10 arasındadır.

Varyantlar

İç Malta Haçı.
İç Malta haçı operasyonu.
Küresel Malta Haçı.

İki varyant vardır: iç Malta haçı ve küresel Malta haçı, "lale içinde" (eşzamanlı eksenli sistem).

İç Malta haçı durumunda, motor şaftı (tahrik tekerleğini taşıyan) bir konsol şaftı üzerine monte edilmiştir ( dirsekli , sadece bir tarafta tutulur). Mil bu nedenle bükülmeye karşı daha hassastır ve yük ağırsa sorun olabilir.

Ek olarak, sürüş süresi yarım süreden fazladır: Tahrik tekerleğinin bir kademe kadar dönmesi tahrik tekerleğinin yarım turundan daha fazlasını alır. Bu nedenle eğitim süresi (motor süresi), dış Malta haçından farklı olarak dinlenme süresinden daha uzundur. Sonuç olarak, maksimum hızlanma daha düşüktür, ancak yine de hareketin başlangıcında ve sonunda süreksizlikler gösterir.

Küresel Malta haçı durumunda, ağacın da dirsekli olması gerekir. Eğitim süresi yarım dönemdir; eğitim süresi dinlenme süresine eşittir.

Haraç

Bazı film yapımcıları, film üzerine çekim ve projeksiyon için temel teşkil eden bu mekanizmaya övgüde bulundular:

Wim Wenders de, Amerikan Arkadaşlar (1977): Bir çocuk, Jonathan ve Marianne Zimmermann oğlu ahşap bir Malta haçı ile oynuyor; ve Au fil du temps (1976) 'da ana karakter, projektör tamircisi Bruno Winter'e göre “sinema bu buluş olmadan var olamazdı”.
Martin Scorsese , Hugo Cabret (2011): Georges Méliès otomatını bitirdiğinde, yerine koyduğu son parça Malta haçıdır.

Malta Haçı, Cinemeccanica (it) projektör markasının logosuydu . Mevcut logosu ve CineCloud markasının logosu stilize edilmiş bir Malta haçıdır ( resmi sayfadaki logoya bakın ).

Mekanik çalışma

Geometrik kısıtlamalar

Operasyondaki kritik nokta, parmağın oluğa girmesidir. Bu, krankın yarıçapı, yani parmağın merkezi ile onu destekleyen tahrik tekerleğinin merkezi arasındaki mesafe ile merkez mesafesi E, yani merkez arasındaki mesafe arasında bir ilişki oluşturur. Tahrik tekerleğinin ve Malta haçının merkezi. Şok olmaması için hız vektörü oluğun ekseninde olmalıdır.

Tahrik tekerleğinin dönüşü başına tahrik edilen tekerleğin dönüş açısının yarısına α diyoruz

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

radyan cinsinden

izin $α = π / = 45 ° 4$ , dört oluk için ve $α = π / 6 = 30 °$ altı olukları. Daha sonra, merkez mesafesi E, tahrik tekerleğinin yarıçapı R 1 ve tahrik edilen tekerleğin yarıçapı R 2 arasında aşağıdaki ilişkilere sahibiz :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha}

0 ile $π / 4$ (0 ile 90 °) arasında, sinüs fonksiyonu artmakta ve kosinüs fonksiyonu α'da azalmaktadır. Verilen bir merkez mesafesi için, ne kadar çok oluğumuz olursa ( n ne kadar büyükse ), α'nın o kadar küçük olduğunu, dolayısıyla daha küçük R 1 ve daha büyük R 2 olduğunu anlıyoruz .

Gösteri

Parmak oluğa girerken sistemi temsil edelim. Tekerleklerin merkezlerini yataya bağlayan çizgiyi yerleştiriyoruz. Bu nedenle oluk, yatayla bir a açısı yapar Hız vektörü yörüngeye diktir; parmak bir daireyi tanımladığından, hız vektörünü taşıyan çizgi bu nedenle daireye teğet, yani bu noktada yarıçapa diktir. Bu nedenle, bir olması dik üçgen bir hipotenüs E, olan açıları arasında bir $π / n$ kenar ters açıdan uzunluk Ar ve 1 . Böylece sahibiz :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

Malta haçı ile sınırlanan dairenin yarıçapı, aynı zamanda dik üçgenin bitişik kenarının uzunluğudur, yani.

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha.}

Ek olarak, oluğun nominal genişliği , parmağın nominal çapı 2 r'ye eşit olmalıdır : daha küçük, parmak giremez, çok büyük, bir şok olur. Pratikte bir oynama vardır: Oluk, harekete izin vermek için parmaktan biraz daha geniş olmalıdır. Şokları sınırlandırmak için "boşluksuz kayma" ayarı veya daha kesin olarak H7 / g6 olarak adlandırılan "hassas kılavuzluk" kullanmak mümkündür, ancak bunu başarmak pahalıdır.

Dalların sonu sıfır olmayan bir genişliğe sahip olmalıdır. Genişlik, en az empoze aslında gerekli olan e 1 , istenen direncine bağlıdır. Bu, immobilizer silindiri için maksimum bir yarıçap uygular. Ek olarak, temas etkili olmalıdır, bu nedenle minimum bir yarıçap vardır, yani:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ sol ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ sağ) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

boyut e 1 yeterli mukavemete sahip amacıyla dalın ucunda tutmak için arzu edilir olduğu kalınlık,.

Gösteri

Nominal oranlarımız var (sıfır boşluk varsayılarak):

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

dır-dir

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

Gerekli açıklık nedeniyle, aslında gerekli

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

fark (R 1 - r - e 1 ) - R 3 oyundur.

Temas etkili olmalı, bu nedenle bizde mutlaka var:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

dır-dir

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha }} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

Oluk L'nin minimum uzunluğu, parmağın en çok takıldığı konum dikkate alınarak elde edilir. Daha sonra, uzunlukları sola doğru yönlendirerek:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ sol (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ sağ) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

Maksimum uzunluk, Malta haçının strese dayanması için yeterli malzeme bırakmasıdır. Biz çağrı ise r bir Malta haçı ve şaftının yarıçapı e 2 istediğimiz bu malzemenin minimum kalınlığı, o zaman vardır:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Kinematik çalışma

Tahrik tekerleğinin (krank) sabit bir açısal hız ω (düzgün dönme hareketi) ile döndüğü varsayılır. Karşıdaki şekil, işleyen mekanizmayı temsil etmektedir. Daha önce olduğu gibi not alırsak

n, Malta haçı (tahrik çarkı) olukların sayısı;
α = 2π / n iki oluk arasındaki açı

ve raporu tanıtıyoruz

{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}}}

sonra şunu not ediyoruz:

tahrik edilen tekerleğin maksimum açısal hızı ;
${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}$
oluk sayısına bağlı olarak maksimum açısal ivme değerlidir:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 ≃ 0.268 × ω 2 ;
ilk ve son açısal ivme sıfır değildir, bu da, tahrik edilen tekerleğin, sistemin esnekliği ve sürtünmesi ile sınırlı olarak pratikte sonsuz açısal sarsıntılara ( diracs ) maruz kaldığı anlamına gelir .

Bu sarsıntı zirveleri, kişi düşük hızlarda ve ataletlerde kaldığı sürece bir sorun teşkil etmez. Öte yandan, yüksek hız ve yüksek yük sistemleri için engelleyici hale gelirler.

Gösteri

Giriş açısı diyoruz ve x ekseni ile parmaktan geçen ışının yaptığı ve tahrik tekerleğinin yönünü karakterize eden açıyı θ e ile ifade ediyoruz . Çıkış açısı diyoruz ve x eksenine göre bir oluğun ekseni tarafından yapılan ve tahrik edilen tekerleğin yönünü karakterize eden açıyı θ s ile ifade ediyoruz .

Aralıklılık çalışması

Giriş açısı θ e eşit şekilde değişir

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

açısal hız ω çizimde negatiftir. Giriş açısının saatlik denklemi bu nedenle yazılır

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

burada $φ$ keyfi olarak seçilen t = $0'daki$ açıdır . Grafiksel gösterim için, parmak oluğa t = 0'da $girecek$ şekilde $φ$ seçiyoruz , yani.

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

Eğitim süresi $τ$ , tahrik tekerleğinin bir $φ$ açısından simetrik açıya - $φ$ , yani, bir dönüşüne karşılık gelir.

{\ displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alpha - \ pi.}

dır-dir

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

Toplam dönem eşit için $T = -2π / ω$ , eğitim fazı toplam süresi değerinde bir kesir yani

{\ displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Daha sonra, basitlik uğruna, θ s'yi t yerine θ e'nin bir fonksiyonu olarak belirleriz .

Açısal ilişkilerin incelenmesi

Giriş açısı, iki dik üçgenin aynı zıt tarafa h sahip olması gerçeğiyle çıkış açısı ile ilgilidir :

{\ displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Böylece sahibiz

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ times {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

dır-dir

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operatöradı {arktan} \ sol ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ sağ)}

Hareket kanunları

Ön hazırlık olarak aşağıdaki türevleri hesaplayalım:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

ve aynı şekilde

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

Tahrik edilen tekerleğin açısal hızı türetme ile elde edilir. Bize yine tan θ ifadesini alalım s . Sol bacağı türetirsek,

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ sağ)}

dır-dir

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ sağ)}

ve sağ tarafı türeterek:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

İki üyenin eşitliğini yazarak,

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Türetilerek açısal ivme belirlenir:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Bu ivmenin θ e = 0 için kaybolduğunu , dolayısıyla bu noktada hızın maksimum olduğunu ve

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}

Başlangıçta θ e = φ var ve bu nedenle

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

bu nedenle başlangıç noktasında sonsuz bir sarsıntı vardır. Simetri ile hareketin sonunda sonsuz bir sarsıntı olur.

İvmeyi türeterek, hareket sırasında sarsıntıyı elde ederiz :

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ left (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ right) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {hizalı}}}

Sarsıntı iptal edildiğinde ivme maksimumdur, bu da çözme anlamına gelir:

{\ displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

yani, x = cos θ e ayarlayarak

{\ displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ text {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

Bir hangi bir ikinci dereceden denklem kesinlikle olumlu Diskriminant

{\ displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

Denklem bu nedenle iki gerçek çözümü kabul eder

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Bazı n değerleri için elde ederiz :

değil	k	x 1	x 2	θ e	Acc. maks.
4	√2	0.980	1.33	-0.200 rad (-11.5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0.921	1.17	-0.400 rad (-22.9 °)	0,675 × ω 2
8	2.61	0.851	1.04	-0,552 rad (-31,6 °)	0,268 × ω 2

Dijital Uygulama

Dört oluklu Malta haçı olan bir sinema projektörü düşünün. Böylece sahibiz :

dönme frekansı N = 24 Hz (saniyede 24 kare) veya ω = 2π N ≃ 151 rad / s olan bir tahrik çarkı ;
$k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1.41$ oranı ;

ve bu yüzden

ω 0 ≃ 364 rad / sn ; N ° = 57.9 rpm ;
α 0 ≃ 8.69 × 10 4 rad / s 2 .

Notlar ve referanslar

" Maltese Cross " , projektör.mip.free.fr'de ( 30 Haziran 2016'da erişildi )

Ayrıca görün

Kaynakça

(en) John H. Bickford , Aralıklı hareket mekanizmaları , New York, Industrial Press inc.,1972, 264 s. ( ISBN 0-8311-1091-0 , çevrimiçi okuyun ) , bölüm. 9 ("Cenevre Mekanizmaları") , s. 127-138

İlgili Makaleler

Dış bağlantılar

Nantes Üniversitesi sitesinde Malta haçı ( Java çocuk animasyonu )
Malta Haçı : dönem kitaplarında görülen sinema tarihinin başlangıcına ilişkin site