Schlegel diyagramı

İn geometrisi , bir Schlegel diyagramıdır a, çıkıntı a politop gelen d boyutlu içine alan D-1- boyutlu uzayda yüzlerinden biri vasıtası ile verilen bir nokta tarafından oluşturulur. Bu, orijinal politopun kombinasyonel olarak eşdeğer olduğu bir bölünmesiyle sonuçlanır . Rd{\ displaystyle R ^ {d}}Rd-1{\ displaystyle R ^ {d-1}}Rd-1{\ displaystyle R ^ {d-1}}

Başında XX inci  yüzyıl, Schlegel diyagramlar topolojik özellikleri ve kombinasyon Politopunun çalışma için şaşırtıcı yararlı araçlar olduğunu kanıtladı. Boyut 3'te, bir Schlegel diyagram çıkıntısının oluşur polyhedron (orijinal çokyüzlünün yüzleri temsil eder) içindeki bölgeye bölünmüş bir düzlemsel şekil üzerine ve boyut 4'te, bir bir çıkıntısı oluşur polychorus bir çok yüzlü bölünmüş iç tarafında bölmelere ( orijinal polychorusun hücrelerini temsil eder ). Bu nedenle Schlegel diyagramları, dört boyutlu nesneleri görselleştirmek amacıyla yaygın olarak kullanılır .

Fikir , Alman matematikçi Victor Schlegel'di (1843–1905).

İnşaat

Bir Schlegel diyagramı, orijinal politopun uzunluklarına saygı göstermez, ancak genel mimarisini korur: aynı tepe noktasında birleşen kenarların sayısı, aynı tepe noktasında birleşen yüzlerin sayısı, yüzlerin kenarlarının sayısı.

Bir Schlegel diyagramı iki şekilde oluşturulabilir:

• Yüzlerinden birinin merkezinin yukarısında, politopun harici bir noktasından perspektif bir görünüm olarak. Politopun tüm köşeleri ve tüm kenarları daha sonra bu yüzün hiper düzlemine yansıtılır .
• Politop dışbükey ise, önce aynı merkeze sahip bir hiperküre üzerine projelendirerek, sonra stereografik olarak bir hiperdüzleme yansıtarak (bu, hipersferdeki izdüşümden bir yüzün çıkarılması ve böylece oluşan delikten "uzaklaşılması" anlamına gelir. hiper düzlemde düzleşene kadar küresel projeksiyonun geri kalanı). Bu yöntem her zaman mükemmel bir Schlegel diyagramı verir, yani diyagramdaki kenarların "yanlış" kesişimleri olmayacaktır (bir gölge gibi, iki kenar gölgesinin kesişmesi, kenarlar birbirlerinin tam karşısında, gerçekte kesişmeden kesişmesi mümkündür. orijinal politop).

Schlegel diyagramlarının örnekleri

Bir Schlegel diyagramı, 2'ye eşit veya daha küçük boyutlu politoplar için gerçek bir ilgi göstermez. Bir çokgenin bir doğru üzerindeki izdüşümü bir parça verir ve bir noktadaki bir parçanınki bir nokta verir.

Çokyüzlüler

Bir polihedronun Schlegel diyagramı, çokyüzlünün yerdeki iskeletinin gölgesi olarak düşünülebilir (ancak genellikle tüm yapısını açıkça ayırt etmek için çarpıtılır ve bir kenara itilir).

Platonik katıların Schlegel diyagramları

Polyhedron adı	dörtyüzlü	küp	Oktahedron	Oniki yüzlü	Icosahedron
Resim
İlgili diyagram

Dıştaki sarı alan, stereografik projeksiyon sırasında çıkarılan tarafı temsil eder, ihmal edilmemelidir. Bu alan, temsil ettiği eski yüzle aynı sayıda köşeye ve kenara dokunur.

Yukarıda gösterilen çokyüzlüler için, yüzlerin hepsi aynıdır, her birinin diyagramı her zaman aynı olacaktır. Bununla birlikte, örneğin bir Arşimet katı gibi yüzleri farklı olan bir katı için, diyagramın stereografik projeksiyon sırasında kullanılan yüze bağlı olarak birkaç temsilcisi olabilir . Farklı şekilde sunulmasına rağmen, bu diyagramlar yine de eşdeğerdir. Kesilmiş icosidodecahedron (Arşimet katı) nedeniyle yüzlerin üç türlerinden çok iyi bu gerçeği göstermektedir:

Kesik icosidodecahedron için farklı diyagramlar

Kare bir yüz ile stereografik olarak yansıtılır	Altıgen bir yüzle stereografik olarak yansıtılır	Stereografik olarak ongen bir yüzle yansıtılır

İçin piramitler , karşılık gelen Schlegel diyagramıdır ancak segment tarafından merkeze bağlı köşeler ile, baz çokgendir.

Polikorlar

Bir polychorus'un Schlegel diyagramı, birkaç bölmeye bölünmüş bir çokyüzlüdür.

Düzenli polikorların Schlegel diyagramları

Polychorus'un adı	Pentakor (hipertetrahedron)	Tesseract (hiperküp)	Hexadecachore (hyperoctahedron)	Icositetrachore	Hecatonicosachore (hyperdodecahedron)	Hexacosichore (hipericosahedron)
Resim
Bir	Dörtyüzlü	Küp	Dörtyüzlü	Oktahedron	Oniki yüzlü	Icosahedron
İlgili diyagram

Ekler

İlgili Makaleler

• Stereografik izdüşüm ve Riemann küresi
• Schlegel diyagramları Petrie poligonları ile karıştırılmamalıdır (yansıtılan politop ne olursa olsun her zaman sadece 2 boyuta sahiptir ve gerçekte kesişmeyen kenarların "yanlış kesişimlerini" sunan)
• Polyhedron , polychorus , polytope ...
• Platonik katı , Arşimet katı
• Grafik teorisi

Dış bağlantılar

• Belgesel filmin "boyutları" , normal çokyüzlülerin ve çok şekillerin stereografik projeksiyonlarını ve bunların nasıl elde edildiğini gösterir.