Olağanüstü kimlik
In matematik , dediğimiz dikkat çekici kimlikler ve hatta olağanüstü Eşitlikler için geçerli bazı eşitlikler sayılar genellikle, ya da daha fazla polinom değişkenler . Genellikle hesaplamaları hızlandırmak, belirli yazıları basitleştirmek, ifadeleri çarpanlara ayırmak veya geliştirmek için kullanılırlar. İkinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılırlar ve daha genel olarak denklemlerin çözümlerini bulmak için kullanışlıdırlar .
Bu olağanüstü kimliklerin çoğu önce geometrik akıl yürütme kullanılarak gösterildi , ardından cebirsel hesaplamalarla daha yüksek güçlere genelleştirildi .
İkinci dereceden dikkat çekici kimlikler
Aşağıda, a ve b tam sayılar , rasyonel ve gerçekler veya hatta kompleksler olabilen sayıları belirtir . Bu kimlikler daha genel olarak değişmeli bir halkada veya hatta a ve b'nin gidip geldiği herhangi bir halkada doğrudur .
İfadeler
İkinci derecenin dikkat çekici üç kimliği :
Bu kimliklerden ikincisi , birinci eşitlikte b , –b yerine ilkinin özel bir durumu olarak görülebilir . Bu eşitlikler belirli bir kelime dağarcığının konusudur:
Dikkat çekici bir ürünün tanımı - Aşağıdaki üç terime dikkat çekici ürün denir :
(-de+b)2,(-de-b)2ve(-de+b)(-de-b).{\ displaystyle (a + b) ^ {2}, \ quad (ab) ^ {2} \ quad {\ text {ve}} \ quad (a + b) (ab).}
Aynı şekilde tanımlıyoruz:
Dikkat çekici bir toplamın tanımı - Aşağıdaki üç ifadeye dikkate değer bir toplam denir :
-de2+2-deb+b2,-de2-2-deb+b2ve-de2-b2.{\ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}, \ quad a ^ {2} -2ab + b ^ {2} \ quad {\ text {ve}} \ quad a ^ {2} -b ^ {2}.}
Örnekler
Geliştirme ve azaltma
Dikkat çekici kimlikler, aşağıdaki örnekte olduğu gibi, belirli cebirsel ifadelerin yazımını dönüştürmeyi mümkün kılar:
AT=(2x-3)2+(x+5)(3-x).{\ displaystyle A = (2x-3) ^ {2} + (x + 5) (3-x).}
A ifadesi iki terimin toplamıdır. İlk terim, bir toplama dönüştürülebilen dikkate değer bir üründür:
(2x-3)2=(2x)2-2×2x×3+32=4x2-12x+9veAT=4x2-12x+9+(x+5)(3-x).{\ displaystyle (2x-3) ^ {2} = (2x) ^ {2} -2 \ times 2x \ times 3 + 3 ^ {2} = 4x ^ {2} -12x + 9 \ quad {\ text { ve}} \ quad A = 4x ^ {2} -12x + 9 + (x + 5) (3-x).}
İkinci terim, toplamaya göre çarpma dağılımı kullanılarak işlenir :
(x+5)(3-x)=x(3-x)+5(3-x)=3x-x2+15-5x=-x2-2x+15.{\ displaystyle (x + 5) (3-x) = x (3-x) +5 (3-x) = 3x-x ^ {2} + 15-5x = -x ^ {2} -2x + 15 .}
Terimlere terim ekleyerek şunları elde ederiz:
AT=4x2-12x+9-x2-2x+15=3x2-14x+24.{\ displaystyle A = 4x ^ {2} -12x + 9-x ^ {2} -2x + 15 = 3x ^ {2} -14x + 24.}
|
İkinci dereceden denklem
Olağanüstü kimlikler ikinci dereceden bir denklemi çözmemizi sağlar. Yöntemi aşağıdaki örnekte gösterelim:
x2+2x-5=0.{\ displaystyle x ^ {2} + 2x-5 = 0.}
Yöntem , ilk iki dikkat çekici kimlikten birini kullanmak ve x'e bağlı olan kısmı çarpanlarına ayırmak için ifadenin x'e bağlı olmayan kısmının çalışmasından oluşur :
x2+2x-5=x2+2x+1-6.{\ displaystyle x ^ {2} + 2x-5 = x ^ {2} + 2x + 1-6.}
İlk üç terim artık dikkate değer bir toplamdır, dikkate değer bir özdeşlik uygulamak mümkündür ve denklem şöyle olur:
x2+2x-5=(x+1)2-6=(x+1)2-(6)2=0.{\ displaystyle x ^ {2} + 2x-5 = (x + 1) ^ {2} -6 = (x + 1) ^ {2} - ({\ sqrt {6}}) ^ {2} = 0 .}
Dikkate değer yeni bir toplamın farkındayız, denklem tekrar yazılır:
x2+2x-5=(x+1+6)(x+1-6)=0.{\ displaystyle x ^ {2} + 2x-5 = (x + 1 + {\ sqrt {6}}) (x + 1 - {\ sqrt {6}}) = 0.}
Bir ürün a . b iki sayının bir ve b sıfır ise ve sadece, bir ya da b , sıfırdır. Denklemi çözmek, iki birinci derece denklemi çözmek anlamına gelir :
(1)x+1+6=0ve(2)x+1-6=0.{\ displaystyle (1) \; x + 1 + {\ sqrt {6}} = 0 \ quad {\ text {ve}} \ quad (2) \; x + 1 - {\ sqrt {6}} = 0 .}
Denklemin polinomun kökleri olarak da adlandırılan iki çözümünü buluyoruz :
x1=-1-6vex2=-1+6.{\ displaystyle x_ {1} = - 1 - {\ sqrt {6}} \ quad {\ text {ve}} \ quad x_ {2} = - 1 + {\ sqrt {6}}.}
|
Aynı yöntem katsayılarına uygulanan , ve ( ), katsayılar yerine 1, 2 ve -5 önceki örnekte rolünü ortaya koymaktadır diskriminant ve iki çözeltinin.
-de{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs{\ displaystyle c}-dex2+bx+vs=0{\ displaystyle balta ^ {2} + bx + c = 0}
Kare polinomlar
Bir polinomu herhangi bir sayıda terimle karelemek için, her terimin karelerini ayrı ayrı toplayın, ardından olası her terim çiftinin çarpımlarının toplamını iki katına çıkarın.
(-de+b+vs)2=-de2+b2+vs2+2(-deb+-devs+bvs),{\ displaystyle (a + b + c) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} +2 (ab + ac + bc),}
(-de+b+vs+d)2=-de2+b2+vs2+d2+2(-deb+-devs+-ded+bvs+bd+vsd).{\ displaystyle (a + b + c + d) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} +2 (ab + ac + reklam + bc + bd + cd).}
Olağanüstü kimlik ve geometri
Bu olağanüstü kimlikler Babillilerden beri bilinmektedir . Bu eşitlikleri geometrik akıl yürütme yardımı ile gerçekleştirmeleri mümkündür. Aşağıdaki formülü bulmanın basit bir yöntemi vardır:
(-de+b)2=-de2+2-deb+b2.{\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}.}
Sağdaki şekil bir kareyi temsil etmektedir. Pembe kare kenar uzunluğu eşit olduğunu varsayalım bir mavi karenin edilene b . Büyük karenin alanı ( a + b ) 2'ye eşittir .
Bu alanı ifade etmenin başka bir yolu daha vardır: pembe, mavi ve iki sarı alanın alanlarının toplamıdır. Pembe alan eşit olan bir 2 yan bir kare için a , mavi alan eşittir b 2 , ve sarı alanlarının her biri eşittir ab bu kenarları olan bir dikdörtgen olduğu için bir ve b . Formülü duyurduk.
Cebirle kanıtlama
Cebir, bu formüllerin gösterilmesine hala izin veriyor. ( A - b ) 2'yi hesaplayalım . Dağıtıcı gösterileri olun:
(-de-b)2=(-de-b)(-de-b)=-de(-de-b)-b(-de-b)=-de2--deb-b-de+b2=-de2-2-deb+b2.{\ displaystyle (ab) ^ {2} = (ab) (ab) = a (ab) -b (ab) = a ^ {2} -ab-ba + b ^ {2} = a ^ {2} - 2ab + b ^ {2}.}
Ayrıca üçüncü dikkat çekici kimliği de gösteriyoruz:
(-de+b)(-de-b)=-de(-de-b)+b(-de-b)=-de2--deb+b-de-b2=-de2-b2.{\ displaystyle (a + b) (ab) = a (ab) + b (ab) = a ^ {2} -ab + ba-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2}. }
Çeşitli dikkat çekici kimlikler
Brahmagupta'nın kimliği
Brahmagupta , bir Hintli matematikçi ait VI inci yüzyılın dördüncü derece dikkate değer bir kimlik keşfetti:
(-de2-değilb2)(vs2-değild2)=(-devs+değilbd)2-değil(-ded+bvs)2.{\ displaystyle (a ^ {2} -nb ^ {2}) (c ^ {2} -nd ^ {2}) = (ac + nbd) ^ {2} -n (reklam + bc) ^ {2} .}
Bunu a , b , c , d ve n'nin tam sayı olduğu durumda kullanır . İyi bir karekök yaklaşık hesaplamasına izin verir .
√ 3 hesaplamasına uygulama
Brahmagupta 2 2 - 3.1 2 = 1 olduğunu fark eder . Kimliğini her zaman n = 3 ile birkaç kez uygular . İlk seferde a = c = 2, b = d = 1 belirler:
(22-3⋅1)(22-3⋅1)=(2⋅2+3⋅1)2-3(2⋅1+1⋅2)2=72-3⋅42=1.{\ displaystyle (2 ^ {2} -3 \ cdot 1) (2 ^ {2} -3 \ cdot 1) = (2 \ cdot 2 + 3 \ cdot 1) ^ {2} -3 (2 \ cdot 1 +1 \ cdot 2) ^ {2} = 7 ^ {2} -3 \ cdot 4 ^ {2} = 1.}
Bu sefer yeniden başlar: a = c = 7, b = d = 4. Yeni bir yazma yöntemi elde eder 1:
972-3⋅562=1.{\ displaystyle 97 ^ {2} -3 \ cdot 56 ^ {2} = 1.}
Aynı mantığı yeniden uygular, 1 yazmanın başka bir yolunu bulur:
188172-3⋅108642=1.{\ displaystyle 18 \, 817 ^ {2} -3 \ cdot 10 \, 864 ^ {2} = 1.}
Bu eşitlik hala yazılıyor:
188172=3⋅108642+1ve(1881710864)2=3+1108642.{\ displaystyle 18 \, 817 ^ {2} = 3 \ cdot 10 \, 864 ^ {2} +1 \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {18 \, 817} {10 \, 864}} \ sağ) ^ {2} = 3 + {\ frac {1} {10 \, 864 ^ {2}}}.}
O 18 817/10 864 olan “hemen hemen” e eşit demek anlamına gelir karesini “hemen hemen” 3'e kadar eşit olan bir kısmını elde eder √ 3 . Kesri hesaplarsak, ilk dokuz anlamlı basamağı mümkün olan en iyi yaklaşımı sağlayan (aynı sayıda ondalık basamakla), yani 1.73205081 olan bir sonuç buluruz.
O da çözüm bulmak için onun formülü kullanır böylece - denilen Pell-Fermat Diofant denklemi .
Dört Euler karesinin kimliği
Euler'in dört karesinin kimliği, aralarında sekiz sayıyı birbirine bağlar. Aşağıdaki formu alır:
(-de12+-de22+-de32+-de42)(b12+b22+b32+b42){\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2})}
=(-de1b1--de2b2--de3b3--de4b4)2+(-de1b2+-de2b1+-de3b4--de4b3)2{\ displaystyle = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + (a_ {1 } b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2}}
+(-de1b3--de2b4+-de3b1+-de4b2)2+(-de1b4+-de2b3--de3b2+-de4b1)2.{\ displaystyle + \, (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}.}
Diğer şeylerin yanı sıra, herhangi bir tamsayının dört karenin toplamı olduğunu belirten Dört Kareler Teoremini göstermek için kullanılır .
Sekiz Degen karesinin kimliği
Sekiz kareler kimlik Degen onaltı sayı bağlanır ve gösterildi XIX inci yüzyılın :
(-de12+-de22+-de32+-de42+-de52+-de62+-de72+-de82)(b12+b22+b32+b42+b52+b62+b72+b82)={\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = \,}(-de1b1--de2b2--de3b3--de4b4--de5b5--de6b6--de7b7--de8b8)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} + \,}
(-de1b2+-de2b1+-de3b4--de4b3+-de5b6--de6b5--de7b8+-de8b7)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} + \,}
(-de1b3--de2b4+-de3b1+-de4b2+-de5b7+-de6b8--de7b5--de8b6)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} + \,}
(-de1b4+-de2b3--de3b2+-de4b1+-de5b8--de6b7+-de7b6--de8b5)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} + \,}
(-de1b5--de2b6--de3b7--de4b8+-de5b1+-de6b2+-de7b3+-de8b4)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}
(-de1b6+-de2b5--de3b8+-de4b7--de5b2+-de6b1--de7b4+-de8b3)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}
(-de1b7+-de2b8+-de3b5--de4b6--de5b3+-de6b4+-de7b1--de8b2)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}
(-de1b8--de2b7+-de3b6+-de4b5--de5b4--de6b3+-de7b2+-de8b1)2{\ displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}
Sophie Germain'in kimliği
Sophie Germain'in kimliği , tüm x ve y sayıları için elimizde:
x4+4y4=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2-2xy)(x2+2y2+2xy)=((x+y)2+y2)((x-y)2+y2).{\ displaystyle x ^ {4} + 4y ^ {4} = (x ^ {2} + 2y ^ {2}) ^ {2} -4x ^ {2} y ^ {2} = (x ^ {2} + 2y ^ {2} -2xy) (x ^ {2} + 2y ^ {2} + 2xy) = ((x + y) ^ {2} + y ^ {2}) ((xy) ^ {2} + y ^ {2}).}
(x2+x+1)(x2-x+1)=x4+x2+1.{\ displaystyle (x ^ {2} + x + 1) (x ^ {2} -x + 1) = x ^ {4} + x ^ {2} +1.}
-de3+b3+vs3-3-debvs=(-de+b+vs)(-de2+b2+vs2--deb--devs-bvs)=12(-de+b+vs)[(-de-b)2+(b-vs)2+(-de-vs)2].{\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} -3abc = (a + b + c) (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} -ab -ac-bc) = {\ frac {1} {2}} (a + b + c) [(ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ac) ^ {2}].}
(-de+b)2+(-de-b)2=2(-de2+b2),{\ displaystyle (a + b) ^ {2} + (ab) ^ {2} = 2 (bir ^ {2} + b ^ {2}),}
(-de+b)2-(-de-b)2=4-deb,{\ displaystyle (a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2} = 4ab,}
(-de+b)4-(-de-b)4=8-deb(-de2+b2).{\ displaystyle (a + b) ^ {4} - (ab) ^ {4} = 8ab (a ^ {2} + b ^ {2}).}
(-de2+b2)(x2+y2)=(-dex+by)2+(-dey-bx)2,{\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2}) = (ax +) ^ {2} + (ay-bx) ^ {2}, }
(-de2+b2+vs2)(x2+y2+z2)=(-dex+by+vsz)2+(-dey-bx)2+(-dez-vsx)2+(bz-vsy)2.{\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) = (balta + ile + cz) ^ {2} + (ay-bx) ^ {2} + (az-cx) ^ {2} + (bz-cy) ^ {2}.}
Burada listelenen ilk Lagrange kimliği, Brahmagupta kimliğinin özel bir durumudur.
N derece dikkate değer kimlikler
Newton'un iki terimli formülü
Derece 2'nin formülleri için kullanılanla aynı ispat tekniği, a ve b'nin her zaman iki sayıyı gösterdiğini gösterir:
(-de+b)3=-de3+3-de2b+3-deb2+b3,{\ displaystyle (a + b) ^ {3} = a ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} + b ^ {3},}
(-de-b)3=-de3-3-de2b+3-deb2-b3.{\ displaystyle (ab) ^ {3} = a ^ {3} -3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} -b ^ {3}.}
Tekrar uygulandığında şunu elde ederiz:
(-de+b)4=-de4+4-de3b+6-de2b2+4-deb3+b4,{\ displaystyle (a + b) ^ {4} = a ^ {4} + 4a ^ {3} b + 6a ^ {2} b ^ {2} + 4ab ^ {3} + b ^ {4},}
(-de-b)4=-de4-4-de3b+6-de2b2-4-deb3+b4.{\ displaystyle (ab) ^ {4} = a ^ {4} -4a ^ {3} b + 6a ^ {2} b ^ {2} -4ab ^ {3} + b ^ {4}.}
Aynı şekilde,
(-de+b)5=-de5+5-de4b+10-de3b2+10-de2b3+5-deb4+b5,{\ displaystyle (a + b) ^ {5} = a ^ {5} + 5a ^ {4} b + 10a ^ {3} b ^ {2} + 10a ^ {2} b ^ {3} + 5ab ^ {4} + b ^ {5},}
(-de-b)5=-de5-5-de4b+10-de3b2-10-de2b3+5-deb4-b5.{\ displaystyle (ab) ^ {5} = a ^ {5} -5a ^ {4} b + 10a ^ {3} b ^ {2} -10a ^ {2} b ^ {3} + 5ab ^ {4 } -b ^ {5}.}
Binom formülünü kullanarak herhangi bir n derecesine kadar genelleştirebiliriz :
(-de+b)değil=∑k=0değil(değilk)-dedeğil-kbk.{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {n \ k} a ^ {nk} b ^ {k} 'yi seçin.}
Bir kabul ifade katsayıları, polinom olarak bir ve b olarak adlandırılan binom katsayıları . As b negatif bir değer alabilir, iki önceki formlarını olsun.
Formül, a ve b sayı olmasa bile geçerlidir . Bu harfler, aralarında geçiş yapan iki matrisi belirleyebilir . Genel olarak, formül bir halkada doğrudur (üniter olduğu varsayılır, yani tüm a için bir birim eleman ile sağlanır ), eğer a ve b gidip gelirse (özellikle a veya b 1'e eşitse durum budur).
1=-de0{\ displaystyle 1 = a ^ {0}}
Güçlerin farkı veya toplamı
İkinci derecenin üçüncü dikkat çekici kimliğini genellemek de mümkündür . Eğer bir ve b iki sayıyı belirtmek:
-de3-b3=(-de-b)(-de2+-deb+b2).{\ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (ab) (a ^ {2} + ab + b ^ {2}).}
-de3+b3=(-de+b)(-de2--deb+b2),{\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2}),}
Aşağıdaki formül, yaklaşımı genelleştirmeyi mümkün kılar. İlk olarak, herhangi bir n ≥ 2 tamsayısı için ,
-dedeğil-bdeğil=(-de-b)(-dedeğil-1+-dedeğil-2b+⋯+-debdeğil-2+bdeğil-1)=(-de-b)∑k=0değil-1-dedeğil-1-kbk.{\ displaystyle a ^ {n} -b ^ {n} = (ab) (a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + \ cdots + ab ^ {n-2} + b ^ { n -1}) = (ab) \ toplam _ {k = 0} ^ {n-1} a ^ {n-1-k} b ^ {k}.}
Bu formül, güç fonksiyonunun sürekli olduğunun kanıtı veya bir kökten bir polinomun çarpanlara ayrılması gibi birkaç önemli uygulamaya sahiptir . Ayrıca n tuhafsa ,
-dedeğil+bdeğil=(-de+b)(-dedeğil-1--dedeğil-2b+⋯--debdeğil-2+bdeğil-1)=(-de+b)∑k=0değil-1(-1)k-dedeğil-1-kbk.{\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = (a + b) (a ^ {n-1} -a ^ {n-2} b + \ cdots -ab ^ {n-2} + b ^ {n-1}) = (a + b) \ toplam _ {k = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} a ^ {n-1-k} b ^ {k}. }
Ayrıca buna sahibiz:
-de4+b4=(-de2+-deb2+b2)(-de2--deb2+b2).{\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} + ab {\ sqrt {2}} + b ^ {2}) (a ^ {2} -ab {\ sqrt {2 }} + b ^ {2}).}
Sayılardan oluşan son formülü geçerli ise olduğu olmayan bir dizi çalışıyorsanız √ 2 var, yani bir değer olup olmadığını c şekilde C 2 , her şeyden önce, bu 1 + 1'e eşit olduğu, nötr element çarpma 1 olması gerekir.
Ekler
İlgili makale
Dış bağlantılar
Kaynakça
-
R. Brault , Matematik 3 rd : program 2008 , Paris, Hachette eğitimi,2008, 319 s. ( ISBN 978-2-01-125539-6 ) - Makalenin ilk bölümü büyük ölçüde bu referanstan ilham almıştır.
-
(en) Leonard Eugene Dickson , History of the Theory of Numbers (en) [ basımların ayrıntıları ], cilt. II, Diophantine analizi - İki dikkate değer kimlik ve bunların aritmetikteki kullanımları bu referansta, öncekinden çok daha teknik olarak mevcuttur.
Notlar
-
Bu bilgiler ve makaledeki bilgiler esas olarak Brault 2008'den alınmıştır .
-
Bu konuda “ Ürün-sıfır denklemi ” makalesine bakın .
-
Diğer formüller ayrıntılı makalede önerilmiştir.
Referanslar
-
Wouf sitesi tarafından edebi yazı ve dikkate değer kimlikler .
-
m @ ths et tiques sitesinde Yvan Monka Developments sayfasından alınmıştır , s. 2 .
-
A. Dahan-Dalmedico ve J. Peiffer , A History of Mathematics: Roads and Labes ,1986[ basımların ayrıntıları ], s. 74 .
-
(in) John J. O'Connor ve Edmund F. Robertson , "Pell's equation" in MacTutor History of Mathematics arşivi , University of St Andrews ( çevrimiçi okuyun ).
-
Pascal Boyer, Küçük sayı arkadaşı ve uygulamaları , Paris, Calvage ve Mounet,2019, 648 s. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. ℤ'nin aritmetiği, böl. 4.3. ("Hurwitz teoremi (1, 2, 4, 8)"), s. 67-70.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">