Ayrımcı

Farkına varmak

In matematik , not diskriminant veya kaydetti Realizer , bir olan cebirsel kavram . İkinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılır . Herhangi bir derece> 0 olan ve katsayıları bir toplama ve çarpma ile sağlanan kümelerden seçilen polinomlar için genelleştirilmiştir . Bu bağlamda, ayrımcı, çoklu kökün varlığı veya yokluğu hakkında bilgi sağlar . ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ rho$

Ayırıcı, polinom çalışmaları dışındaki alanlarda kullanılır. Kullanımı genel olarak konikleri ve kuadrikleri daha iyi anlamamızı sağlar . Galois teorisi veya cebirsel sayılar çerçevesinde kuadratik formların veya sayı alanlarının çalışmasında bulunur . Tanımı, bir determinantın hesaplanmasına dayanmaktadır .

Tarihi

Ayrımcının tarihi ve keşfi, daha genel cebir tarihinin ve özellikle ikinci dereceden denklemlerin çözümünün bir unsurudur . Özellikle bu denklemler dikkate değer kimlikler kullanılarak çözüldüğünde ortaya çıkar .

İkinci dereceden polinom

Denklemi gerçek katsayılarla çözme

Bir kuadratik denklemi, burada düşünün bir , b ve c üçü gerçek katsayıları öyle ki bir farklıdır sıfır :

ax ^ {2} + bx + c = 0.

İkinci derece denklem ayırt edici - Önceki denklemin ayırt edici özelliği, aşağıdakiler tarafından tanımlanan number sayısıdır:

\ Delta = b ^ {2} -4ac.

Ayrımcıyı bilmek denklemi çözmeyi mümkün kılar:

Denklemi çözme - Ayırıcı pozitifse, denklem aşağıdaki formüllerle verilen iki çözümü x 1 ve x 2 kabul eder :

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {ve}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {et}} \ quad ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) (x-x_ {2 }).}

Ayırıcı sıfır ise, elde edilen iki çözüm eşittir, denklemin bir çift kökü kabul ettiğini söylüyoruz :

ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x + {\ frac b {2a}} \ right) ^ {2} \ quad {\ text {ve}} \ quad x_ {1} = x_ {2 } = - {\ frac b {2a}}.

Ayrımcı kesinlikle negatifse, gerçek karekökü yoktur ve bu nedenle denklem gerçek bir çözümü kabul etmez.

Ancak ikinci durumda, ayrımcının karmaşık bir kökü ve dolayısıyla karmaşık bir çözümü vardır:

Denklemi çözümlerle veya karmaşık katsayılarla çözme

Denklemin karmaşık sayı çözümlerine izin veriliyorsa veya a , b ve c katsayıları karmaşıksa, durum biraz farklıdır. D'Alembert-Gauss teoremi hep denkleme en az bir çözüm olduğunu belirtir. Kompleksler kümesinde, bir sayı her zaman iki kare kökü kabul eder, square 2 karesi δ'ye eşit olacak şekilde bir δ değeri vardır:

Karmaşık kökler - Denklem , aşağıdaki formüllerle verilen iki çözümü x 1 ve x 2 kabul eder :

x_ {1} = {\ frac {-b + \ delta} {2a}} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b- \ delta} {2a}}.

Ayırıcı sıfır ise, aynı çözüm iki kez görünür: denklem şuna eşit bir çift kök kabul eder:

\ quad x_ {1} = x_ {2} = - {\ frac b {2a}}.

Azaltılmış ayırt edici

İndirgenmiş diskriminant biz formda kuadratik denklemi görünür

ax ^ {2} + 2b'x + c = 0,

Değişken değişikliği ile Bu durumda çözümlerin ve ayırt edicinin ifadesinde görünen "2" ve "4" basitleştirilir ve şu elde edilir: ${\ displaystyle b '= {\ frac {b} {2}}}$

Azaltılmış ayırt edici - Önceki denklemin azaltılmış ayırıcısı, aşağıdakiler tarafından tanımlanan Δ 'sayısıdır:

\ Delta '= b' ^ {2} -ac.

Varsa köklerin ifadesi şöyle olur:

x_ {1} = {\ frac {-b '+ \ delta'} {a}} \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = {\ frac {-b '- \ delta'} { a}} \ quad {\ text {with}} \ quad \ delta '^ {2} = \ Delta' = b '^ {2} -ac.

Örnekler

Aşağıdaki denklemi çözmeye çalışalım:

5x ^ {2} -5x + 1 = 0.

Ayırıcı Δ ve x 1 ve x 2 köklerinin hesaplanması şunu verir:

\ Delta = (- 5) ^ {2} -4 \ times 5 \ times 1 = 5 \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {1} = {\ frac {5 + {\ sqrt 5}} { 10}}, \ quad x_ {2} = {\ frac {5 - {\ sqrt 5}} {10}}.

Aşağıdaki denklem durumunda, indirgenmiş ayırıcı sıfırdır ve –3'e eşit yalnızca bir kök vardır.

x ^ {2} + 6x + 9 = 0 \ quad {\ text {:}} \ quad \ Delta '= 3 ^ {2} -1 \ times 9 = 0 \ quad {\ text {; }} \ quad x ^ {2} + 6x + 9 = (x + 3) ^ {2} \; {\ text {gibi,}} \ quad x_ {1} = x_ {2} = - 3 var.

Son örnek, ayrımcının kesinlikle olumsuz olduğu, burada –3'e eşit olduğu bir durumu tanımlar. O Not $i$ √ 3 ise, diskriminant bir kare köküdür $i$ gösterir hayali birimi . Bu, çözümlerin belirlenmesini mümkün kılar:

{\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ Delta = 1 ^ {2} -4 \ times 1 \ times 1 = -3 \ quad {\ text {ve}} \ quad x_ {1} = - {\ frac {1} {2}} + {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}, \ quad x_ {2} = - {\ frac {1} {2}} - {\ rm {i}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}.}

Bu iki kökün birliğin kökleri olduğunu fark edebiliriz : küp için (üçüncü kuvvet için) 1 sayısına sahiptirler. Seçilen polinom, özel bir siklotomik polinom durumudur .

Altın oran denkleminin tek pozitif çözüm $x 2 = x + 1 '$ : burada , bu nedenle . ${\ displaystyle \ Delta = 5}$ $\ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt 5}} 2}$

Geometrik yorumlama

Denklem bir parabolü tanımlar ( sıfır olmayanlar için ) ve y = 0 çözümünü bulmak, bu parabolün x ekseni ile kesişimini bulmak anlamına gelir. Ayırımcı, makalenin üst kısmındaki görselde gösterilen üç olasılığa göre bu kesişimin var olup olmadığını bilmeyi mümkün kılar: ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = y.}$ $-de$

mavi eğri (pozitif ayırıcı): parabol, x eksenini iki kez geçer; için , iki ilaç arasında, ters işareti vardır ve aynı işaret dış; $x$ $y$ $-de$ $-de$
kırmızı eğri (boş ayırıcı): tek bir noktada x eksenine teğet olan parabol (çift çözüm);
sarı eğri (negatif ayırt edici): parabol x eksenini geçmez, her zaman ile aynı işarete sahiptir . $y$ $-de$

2. boyuttaki ikinci dereceden form

Gerçek sayılar kümesinde, 2. boyuttaki ikinci dereceden bir φ formu , aşağıdaki formülü kullanarak iki değişken x ve y bir sayıyı ilişkilendirir :

\ varphi (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} \ quad {\ text {with}} \ quad a, b, c \ in \ mathbb {R}.

İkinci dereceden bir form ayrıca bir matris ifadesine sahiptir :

\ varphi (x, y) = {\ begin {pmatrix} x & y \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & {\ frac b2} \\ {\ frac b2} & c \ end {pmatrix} } {\ başlangıç ​​{pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.

Belirleyicisi (- Matris ifade eşittir b 2 - 4 AC ) / 4; öncekine yakın bir ifade buluyoruz. Bir geçiş matrisi P kullanılarak bir baz değişikliği determinantın değerini değiştirir. Daha doğrusu, yeni temeldeki değer, eski temeldeki değerin P'nin determinantının karesiyle çarpımına eşittir, determinantın işareti değişmez kalır. Bu özellik ayrıntılı makalede incelenmiştir.

Bu nedenle, ikinci boyuttaki ikinci dereceden bir formun ayırt edicisinin üç farklı tanımı vardır. Bir baz olarak ikinci dereceden bir formda diskriminant B baz olarak ikinci dereceden şekliyle ilişkili matrisin belirleyicisidir B . Önceki durumla benzerlik, ikinci dereceden biçimin ayırt edicisini b 2 - 4 ac'ye eşit olarak tanımlamaya izin verir . Son olarak, ikinci dereceden formun determinantı ile ilişkili tek değişmez olarak, ayırıcı aynı zamanda +1, 0 veya -1 değerlerini alabilen determinantın işareti olarak da tanımlanır.

Ayrımcı, ikinci dereceden formları üç aileye ayırır. Belirleyici değerini ayırt tanımı ile iki boyutlu olarak standart olarak ayırma değeri pozitif bir işaret ise, olan tüm verilen e sahip noktalar ( x , y ) karşılayan cp ( x , y ) = a tekabül bir elips veya boş kümeye. Ayırt edici seti daha sonra sıfır ise, e bir bir karşılık gelir parabol . Ayırıcı negatifse, E a bir hiperbol . İkinci dereceden şekiller böylece üç farklı konik şekli elde etmeyi mümkün kılar .

Herhangi bir dereceden polinom

Ayırıcı kullanılarak bir polinomun kök ekstraksiyonu ikiden büyük derecelere genellemez . Bir polinomun ayırt edici özelliği yine de kullanışlılığını korur.

İkinci dereceden denklemler söz konusu olduğunda, ayırıcı, ancak ve ancak polinomun çoklu köke sahip olması durumunda sıfırdır. Birden fazla kökün varlığı önemli sonuçlar doğurabilir. Olarak lineer cebir , içinde birden çok kök varlığı bir Endomorfizma minimal polinom doğası modifiye eder. Bu mevcudiyet, köşegenleştirmeyi yasaklar . Açık uzantıları rasyonel sayılar, indirgenemez polinomların, bu factorized edilemez polinomları, çoklu kök asla demek ki (makalesine bakın Ayrılabilir uzantısı ) , bu durum tüm vücut için doğru değildir. Galois teorisi bağlamında , bu ayrım önemlidir, sonuçlar konfigürasyona bağlı olarak farklılık gösterir.

Tanımı ve özellikleri

Herhangi bir derecedeki bir polinomun ayırt edicisinin genelleştirilmesi, köklerinin basit mi yoksa çoklu mu olduğunu belirlemeye izin veren bir araç sunar. Bu paragrafta A , bir integral halkayı ve P , katsayıları A'ya ait olan ve aşağıdaki gibi not edilen n dereceli bir polinomu belirtir :

P = a_ {n} X ^ {n} + a _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} \; {\ text { ve}} \ quad a_ {n} \ neq 0.

Resmi türevi ve P ile gösterilmektedir P ' , hatta eğer var bir gerçek veya karmaşık sayılar alan farklıdır. Son olarak R , sonucu gösterir ; iki polinomu bir A elemanını birleştiren özel bir uygulamadır .

Genel olarak Δ ( P ) ile gösterilen P ayırımı, deg ( P ' ) = n - 1 ( karakteristik 0'da her zaman durum budur ) olduğunda aşağıdaki formülle tanımlanan değerdir :

\ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {{\ frac {n (n-1)} 2}}} {a_ {n}}} R (P, P ').

Normalleştirme katsayısı önemlidir; böylelikle bir ayırt edici, yönlendirilmiş bir hacim olarak da yorumlanabilir. Böyle bir yaklaşımın kullanımı, ikinci dereceden bir formun veya bir Dedekind halkasının ayırt edicisini cebirsel sayı teorisi çerçevesinde analiz ederken ortaya çıkar .

Galois teorisinin belirli sonuçları ayırıcı için geçerlidir, daha sonra katsayıların A halkasını genişletmek gerekir . Olarak bir yekpare entegre eder değişmeli, bu bir yer alır fraksiyonlar alanı F değişmeli ve p de katsayılı bir polinom olarak kabul edilebilir F . İşte K belirtir ayrışma alanını ait P en küçük demek ki, alanı içeren F ve tüm kökleri P , bir eşbiçimlilik için hariç. Ayrımcı aşağıdaki özelliğe sahiptir:

Polinom P'nin ayırt edici özelliği, ancak ve ancak P ayrılabilirse (yani herhangi bir çoklu kökü kabul etmez) sıfırdan farklıdır .

Bu sonuç, iki polinomun sonucunun genel bir özelliğinin bir sonucudur: eğer ve ancak iki polinom eş asal ise sıfır değildir. Aşağıdaki formülden de çıkarılabilir:

1'den n'ye kadar değişen i için α i , P polinomunun kökleri, ayırt edici aşağıdaki eşitliği sağlar:

{\ displaystyle \ Delta (P) = a_ {n} ^ {2n-2} \ prod _ {i <j} {(\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}}}

. Gösteri

Sonucun özelliklerine göre , ayırıcı şuna eşittir:

{\ displaystyle R (P, P ') = (- 1) ^ {n (n-1)} a_ {n} ^ {n-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} P' (\ alfa _ {i}) = a_ {n} ^ {n-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} P '(\ alpha _ {i})}

Polinom P , türetme yoluyla aşağıdaki eşitliği sağlar:

P = a_ {n} \ prod _ {{j = 1}} ^ {n} (X- \ alpha _ {j}) \ quad {\ text {et}} \ quad P '= a_ {n} \ toplam _ {{k = 1}} ^ {n} \ prod _ {{j = 1 \ atop j \ neq k}} ^ {n} (X- \ alpha _ {j}).

P ' (α j ) ifadesini çıkardık :

P '(\ alpha _ {i}) = a_ {n} \ toplam _ {{k = 1}} ^ {n} \ prod _ {{j = 1 \ atop j \ neq k}} ^ {n} ( \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) = a_ {n} \ prod _ {{j = 1 \ atop j \ neq i}} ^ {n} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}),

ayrımcı için aşağıdaki ifadeyi sağlar:

R (P, P ') = a_ {n} ^ {{2n-1}} \ prod _ {{i \ neq j}} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) = a_ {n } ^ {{2n-1}} \ prod _ {{i <j}} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {i}).

İ kesinlikle j'den küçük olacak şekilde tam olarak n ( n - 1) / 2 çift ( i , j ) olduğundan , şunu çıkarırız:

R (P, P ') = (- 1) ^ {{{\ frac {n (n-1)} 2}}} a_ {n} ^ {{2n-1}} \ prod _ {{i <j }} (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}.

Ayrımcının tanımı bir sonuca varmamızı sağlar.

Örnekler

1. dereceden bir polinomun ayırt edici özelliği her zaman 1'e eşittir.
İkinci dereceden polinomlar için ve ilk paragrafın gösterimleriyle şunu elde ederiz: $\ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {{\ frac {2 (2-1)} 2}}} a} {\ begin {vmatrix} & a & 2a & 0 & \\ & b & b & 2a & \\ & c & 0 & b & \\\ end {vmatrix}} = - {\ begin {vmatrix} & 1 & 2 & 0 & \\ & b & b & 2a & \\ & c & 0 & b & \\\ end {vmatrix}} = - {\ begin {vmatrix} b & 2a & \\ 0 & b & \\\ end {vmatrix}} + 2 {\ begin {vmatrix} b & 2a & \\ c & b & \\\ end {vmatrix}} = b ^ {2} -4ac$ 2'den farklı karakteristikte.
Üçüncü derece polinomlar için, genel olarak normalleştirilmiş polinomu, yani baskın tek terimli 1'e eşit olanı ve aşağıdaki notasyonları dikkate alırız: $P = X ^ {3} + aX ^ {2} + bX + c.$ Biz alırız : $A = {\ mathbb Q}$ $\ Delta (P) = (- 1) ^ {{\ frac {3 (3-1)} 2}} {\ begin {vmatrix} & 1 & a & b & c & 0 \\ & 0 & 1 & a & b & c & \\ & 3 & 2a & b & 0 & 0 & \\ & 0 & 3 & 2a & b & 0 & \\ & 0 & 0 & 3 & 2a & {vmatrix}} = a ^ { 2} b ^ {2} + 18abc-4b ^ {3} -4a ^ {3} c-27c ^ {2}.$ İfade biraz karmaşıktır; bu nedenle gelenek, ikame yapmaktır.
Aşağıdaki genel sonucu elde ederiz: A'nın 2 ve 3'ten farklı bir özelliğe sahip bir değişmeli alan olduğunu varsayalım . Daha sonra birim polinomunu forma koyabiliriz. $A [X] içinde P (X) \$ $P = X ^ {3} + pX + q \ quad {\ text {ve}} \ quad \ Delta (P) = - 2 ^ {2} p ^ {3} -3 ^ {3} q ^ {2} .$
Gerçek katsayılarla 3. derece polinom denklemi durumunda, bu ayırıcı kesinlikle pozitifse, denklem üç farklı gerçek çözümü kabul eder, eğer bu ayırıcı sıfırsa, bir kök çokludur ve hepsi gerçektir, eğer bu ayırıcı kesinlikle negatifse denklem sadece gerçek bir çözümü kabul ediyor, diğer ikisi karmaşık eşleniklerdir . (Örneğin, binom denklemi x 3 - Bir = 0, bu ayırt edici -27 bir 2 <0 ise , bir ., Sıfır olmayan bir gerçek)

Gösteri

Bize en az bir kök gerçek (olduğunu her şeyden önce dikkat edelim polinom fonksiyonu içinde yer pozitif ve negatif değerler alarak ve sürekli olmak üzere) ve denklemin en üstün süresinin katsayısı varsayalım düşünün 1'e eşit olduğunu denklemin üç kökü (mutlaka farklı değildir). Ayrımcı daha sonra verilir $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$ $\ alpha _ {j}$ $\ left (1 \ leq j \ leq 3 \ sağ)$

$\ Delta = \ prod \ limits _ {{j <k \ leq 3}} \ left (\ alpha _ {j} - \ alpha _ {k} \ sağ) ^ {2}.$

Bu nedenle, üç kök gerçek ve farklıysa, mutlaka sahibizdir . Bir kök çift veya üçlü ise (duruma karşılık gelir ), karmaşık olamaz çünkü eşleniği de kök olacaktır. Üç farklı kökleri, iki bileşenli kompleksleri durumda kalıyor ve ve bir gerçek . Daha sonra sorabiliriz: $\ Delta> 0$ $\ Delta = 0$ $\ alpha _ {1}$ $\ alpha _ {2}$ $\ alpha _ {3}$

${\ {case} \ alpha _ {1} = r + eşittir \\\ alpha _ {2} = r-is \\\ alpha _ {3} = t \ end {case}}$

r , s , t gerçek sayılardır. O zaman bizde

{\ başlar {hizalı} \ Delta & = (r + eşittir-r + eşittir) ^ {2} (r + eşittir) ^ {2} (r-t) ^ {2} \\ & = ( 2is) ^ {2} [(rt + eşittir) (rt-eşit)] ^ {2} \\ & = - 4s ^ {2} [(rt) ^ {2} - (eşittir) ^ {2}] ^ {2} \\ & = - 4 \ left (s [(rt) ^ {2} + s ^ {2}] \ sağ) ^ {2} <0. \\\ uç {hizalı}}

Olası tüm vakaları tükettiğimiz için, sonuç gösterildi.

Denklemin çözümleri bir ile değişmeli alan K arasında karakteristik 2 ve 3 farklı “tarafından verilen Kardan formül , bir in olabilir” cebirsel kapağın arasında K , form koymak $X ^ {3} + pX + q = 0$ ${{\ rm {j}}} ^ {k} {\ sqrt [{3}] {{\ frac 12} \ left (-q + {\ sqrt {{\ frac {- \ Delta} {3 ^ {3 }}}}} \ sağ)}} + {{\ rm {j}}} ^ {{- k}} {\ sqrt [{3}] {{\ frac 12} \ left (-q - {\ sqrt {{\ frac {- \ Delta} {3 ^ {3}}}}} \ sağ)}}$ $\ left (0 \ leq k \ leq 2 \ sağ)$ burada yukarıdaki ayırma not edilir ve burada $j,$ a, ilkel küp kök birlik. İki terim ve bu toplam ilişki ile ilişkilidir . Sonlu bir özellikte üçüncü derece bir denklemi çözmenin bir örneği, Cardan'ın yönteminde bulunabilir . $\Delta$ $\ Delta (P)$ $u_ {k}$ $v_ {k}$ $3u_ {k} v_ {k} = - p$
Eliptik eğriler iki değişken üçüncü dereceden polinom özel bir durumdur. Katsayıların gerçek sayılar olduğu formun eliptik eğrisinin basit durumu için , ayırıcı yine ile tanımlanır . $y ^ {2} = x ^ {3} + piksel + q$ $q, p$ $\ Delta = -4p ^ {3} -27q ^ {2}$

Genel ifade

Polinom P'nin ayırt edicisinin genel ifadesi :

P = a_ {n} X ^ {n} + a _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} \;

takip ediliyor :

{\ displaystyle \ Delta (P) = {\ frac {(-1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}}} {a_ {n}}} \ overbrace {\ begin {dizi} { | cccc} a_ {n} & 0 & \ cdots & 0 \\ a_ {n-1} & a_ {n} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & a_ {n-1} & \ ddots & 0 \ \ a_ {2} & \ vdots & \ ddots & a_ {n} \\ a_ {1} & a_ {2} & \ ddots & a_ {n-1} \\ a_ {0} & a_ {1} & \ ddots & \ vdots \\ 0 & a_ {0} & \ ddots & a_ {2} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & a_ {1} \\ 0 & \ cdots & 0 & a_ {0} \\ \ end {dizi}} ^ {n-1 {\ text {column}}} \ overbrace {\ begin {array} {ccccc |} na_ {n} & 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\ (n- 1) a_ {n-1} & na_ {n} & \ ddots && \ vdots \\\ vdots & (n-1) a_ {n-1} & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 2a_ {2} & \ vdots & \ ddots & na_ {n} & 0 \\ a_ {1} & 2a_ {2} & \ ddots & (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} \\ 0 & a_ { 1} & \ ddots & \ vdots & (n-1) a_ {n-1} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 2a_ {2} & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & a_ {1} & 2a_ {2} \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & a_ {1} \\\ end {dizi}} ^ {n {\ text {column}}}}

ve herhangi bir değişmeli halkada geçerli bir tanım elde etmek için determinantın ilk satırındaki katsayıyı basitleştirdikten sonra : $yıl$

{\ displaystyle \ Delta (P) = (- 1) ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} \ overbrace {\ begin {dizi} {| cccc} 1 & 0 & \ cdots & 0 \ \ a_ {n -1} & a_ {n} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & a_ {n-1} & \ ddots & 0 \\ a_ {2} & \ vdots & \ ddots & a_ {n } \\ a_ {1} & a_ {2} & \ ddots & a_ {n-1} \\ a_ {0} & a_ {1} & \ ddots & \ vdots \\ 0 & a_ {0} & \ ddots & a_ {2} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & a_ {1} \\ 0 & \ cdots & 0 & a_ {0} \\\ end {array}} ^ {n-1 {\ text { sütunlar}}} \ overbrace {\ begin {array} {ccccc |} n & 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\ (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} & \ ddots && \ vdots \\\ vdots & (n-1) a_ {n-1} & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 2a_ {2} & \ vdots & \ ddots & na_ {n} & 0 \\ a_ {1 } & 2a_ {2} & \ ddots & (n-1) a_ {n-1} & na_ {n} \\ 0 & a_ {1} & \ ddots & \ vdots & (n-1) a_ {n- 1} \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 2a_ {2} & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & a_ {1} & 2a_ {2} \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & a_ {1} \\\ end {dizi}} ^ {n {\ text {sütun}}}}

Ayrımcının kullanımı

Ayrımcının kullanımına dönelim.

İkinci veya üçüncü dereceden denklemleri durumunda, ayırt edici mümkün kökleri hesaplamak için yapar ve onun işareti mümkün (bkz onları karakterize kolaylaştırır yukarıda ).
Gerçek derece katsayıları olan bir polinomu daha genel olarak ele alalım . Bu polinomun köklerinin tümü gerçek ve farklıysa, ayırt edici kontrolleri yapılır . Kökleri farklıysa ve en az ikisi karmaşık eşleniklerdir. Daha genel olarak, k bir değişmeli alan ve bir derece polinomu olsun . Kökleri ise bir cebirsel kapatılmasında k aittir k , ayırt edici bir karedir k . $f \ sol (X \ sağ)$ $n> 0$ $\Delta$ $\ Delta> 0$ $\ Delta <0$ $f \ sol (X \ sağ)$ $f \ left (X \ sağ) \ in k \ left [X \ right]$ $\ geq 2$ $f \ sol (X \ sağ)$

Gösteri

Sadece ifadeyi düşün

\ Delta = a_ {n} ^ {{2n-2}} \ prod \ nolimits _ {{i <j \ leq n}} \ left (\ alpha _ {{i}} - \ alpha _ {{j}} \ sağ) ^ {{2}}

en yüksek dereceli terimin katsayısı nerede ve kökleridir . $yıl$ $\ alpha _ {{i}}$ $f \ sol (X \ sağ)$

Let k olmak değişmeli alan ve derece bir polinom . Bu polinom eğer ayrılabilir, ve onun ayırt edici yalnızca olduğunu (bkz yukarıdaki ). $f \ left (X \ sağ) \ in k \ left [X \ right]$ $\ geq 2$ $\Delta$ $\ neq 0$
Let k alan karakteristik , derece ayrılabilir bir polinom , kopma gövdesi ve kökleri f içinde E . Aşağıdaki koşullar denktir: $\ neq 2$ $f \ left (X \ sağ) \ in k \ left [X \ right]$ $n \ geq 2$ $E \ supseteq k$ $\ alpha _ {{1}}, ..., \ alpha _ {{n}}$

(a) Galois grubu , bir permütasyon grubu olarak , alternatif gruba dahil edilir .

G \ sol (E / k \ sağ)

\ alpha _ {{1}}, ..., \ alpha _ {{n}}

Yıl}}

(b) k'ye aittir .

\ delta = \ prod \ nolimits _ {{i <j}} \ left (\ alpha _ {{i}} - \ alpha _ {{j}} \ sağ)

\Delta

Gösteri

Bir permütasyon bile (sırasıyla. Tek) ise, değiştirir için (resp. ). Bu nedenle, eğer permütasyonlarla bile hareketin tüm unsurları , o zaman bu grup tarafından değişmezdir ve . Yani . Bunun tersi olduğu gibi açıktır . $\delta$ $\delta$ $-\delta$ $G \ sol (E / k \ sağ)$ $\ alpha _ {{1}}, ..., \ alpha _ {{n}}$ $\delta$ $\ delta \ k$ $(a) \ Sağa (b)$ $(b) \ Leftrightarrow (c)$

Cebirsel tamsayılardan oluşan bir halkanın ayırt edici özelliği

Cebirsel sayı teorisi, oldukça farklı görünen bir tanımdan ayırt edici kavramını kullanır. İkinci dereceden bir formun determinantına karşılık gelir ve değişmeli bir A halkası uygular . İki tanım yine de yakından ilişkilidir. Bir var ise tam sayı cebirsel bir tür halka olduğu bir ℤ [eşittir bir ] - burada ℤ görece tam sayıları temsil eder - daha sonra minimal polinom a sahip ℤ katsayıları. Polinomlar anlamındaki ayırt edici özelliği, cebirsel sayı teorisi anlamında halkanın ayırt edicisine eşittir.

Notlar ve referanslar

"ikinci dereceden denklem" üzerine UCLouvain web .
Bu durum, örneğin elektrik devreleri çalışmasında karşılaşılır: empedans karmaşık bir sayıdır.
Bu tanım yaygındır. Örneğin, (en) Eric W. Weisstein , " Polinomial Discriminant " , MathWorld'de ( P ' n - 1 derece olmadığı durumda daha genel bir formda ) veya bibmath üzerinde Resultant ve diskriminant'ta buluyoruz. .net sitesi. Ancak Sonuç olarak. Les-mathematiques.net sitesinde ayırt edici olarak, standardizasyon katsayısı yoktur.
(in) Granino A. Korn ve Theresa M. Korn, Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematiksel El Kitabı: Referans ve Gözden Geçirme için Tanımlar, Teoremler ve Formüller , Dover ,1968( Repr. 2000) 2 e ed. ( 1 st ed. 1961), 1152 , s. ( ISBN 978-0-486-32023-6 , çevrimiçi okuyun ) , s. 16.
neşir (in) RWD Nickalls RH Boya , " bir polinomun diskriminant geometrisi " , Matematik Gazetesi , Cilt. 80,Temmuz 1996, s. 279-285 ( çevrimiçi okuyun ).
Bu formül örneğin Discriminant the Encyclopaedia Britannica makalesinde (in) yer almaktadır .
Gerçekten saha bir cebirsel mahfaza içinde iki küp kökleri tarafından iki doğru ilişkilendirmek tavsiye edilir K : bakınız H. Weber , “ Kardan formülü Cayley tarafından değiştirilen ”, Yeni matematik, ait annals 3 rd serisi , vol. 14,1895, s. 347-349 ( çevrimiçi okuyun ). K'nin karakteristiğine ilişkin kısıtlama, 2'ye ve 3'e bölünmelerden gelir: bkz. Mac Lane ve Birkhoff 1999 , §XIII.1.
Konvansiyonlar bazen farklıdır ve literatürde bu ifadenin kesinlikle pozitif bir sayı ile çarpıldığı görülebilir.
Cohn 2005 , Thm. 7.10.5.

Kaynakça

Nicolas Bourbaki , Cebir, Bölüm 4-7 , Springer ,2006, 432 s. ( ISBN 3-540-34398-9 )
(tr) Paul Moritz Cohn , Temel Cebir , Springer,2005, 480 p. ( ISBN 81-8128-047-4 )
Serge Lang , Algebra [ sürümlerin detayı ]
(tr) Saunders Mac Lane ve Garrett Birkhoff , Cebir , AMS ,1999, 3 e ed. , 626 s. ( ISBN 0-8218-1646-2 , çevrimiçi okuyun )
Pierre Samuel , Cebirsel sayı teorisi [ baskının detayı ]
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ basımların ayrıntıları ]
(en) Robert J. Walker, Cebirsel eğriler , Springer, 1978 ( ISBN 978-03-879-0361-3 )