Enerji tüketen parçacıkların dinamiği

Yutucu parçacıkların dinamikleri , genellikle belirtildiği DPD , a, stokastik diferansiyel denklem kullanılan moleküler dinamik genelde model için polimer veya oluşan diğer sistemler karmaşık molekül . Bu model, 1992 yılında Hoogerbrugge ve Koelman tarafından, polimerlerin çok daha küçük parçacıklardan oluşan bir çözücü içindeki hareketini modellemek için geliştirildi . Böyle bir sistemin sorunu, iki fazı çok farklı zaman ve değer ölçekleriyle birleştirmesidir: çözücünün molekülleri, polimerlerinkilerden daha kısa olan birkaç büyüklük derecesine sahip karakteristik sürelere ve uzunluklara sahiptir. Bu nedenle, klasik moleküler dinamik yöntemlerinin kullanılması, çözücüye karşılık gelen zaman adımlarının atılmasını gerektirecektir ve bu nedenle, polimerler üzerindeki herhangi bir olguyu gözlemlemek için son derece uzun simülasyonlar gerektirecektir. Bu tür sistemlerin sayısal simülasyonlarını makul bir sürede gerçekleştirebilmek için, bu nedenle "önemli" olarak kabul edilen bilgileri korurken açıklamanın karmaşıklığını azaltan mevcut sözde "çok ölçekli" modellere sahip olmak gerekir. ”. Enerji tüketen parçacıkların dinamikleri böyle bir modeldir.

Bağlam

Enerji tüketen parçacık dinamiğinin ilk amacı, mezoskopik ölçekte sayısal simülasyonlar yapmaktı , yani atomistik ve hidrodinamik ölçekler arasında yer alan zaman ve büyüklük sıraları için. Nitekim, bu büyüklükteki sistemlerin incelenmesi sırasında, davranışını doğru bir şekilde modellemek için maddenin parçacık yönü ihmal edilemez ve bu nedenle sıvı dinamiğinden kaynaklanan denklemler (hidrodinamik olarak da adlandırılır) kullanılamaz. Bununla birlikte, bu sistemler çok büyüktür ve Newton'un hareket yasalarını kullanarak moleküler dinamikleri kullanabilmek için çok fazla atom içerir . Bunun nedeni, bu sistemlerin genellikle on milyonlarca atoma sahip olması ve günümüz bilgisayarlarının bu karmaşıklığın sorunlarını makul bir sürede çözecek kadar hızlı olmamasıdır.

Bu nedenle, maddenin hem parçacık yönünü kullanan hem de Newton'un tanımına kıyasla sistemleri basitleştiren mezoskopik yöntemler, maddenin bu büyüklük sıralarında incelenmesi için gereklidir. DPD bu seçeneklerden biridir, ancak yöntem kafes gazı otomatı , Langevin denklemi veya termostat Andersen (in) gibi başka yöntemler de mevcuttur .

DPD'nin arkasındaki fikir, sistemdeki her bir molekülü veya molekül grubunu, yalnızca kütle merkezinin konumu ve momenti ile tanımlanan tek bir mezopartikül halinde gruplamaktır. Bu mezopartiküller, konservatif bir potansiyelden kaynaklanan etkileşimler yoluyla ( potansiyel enerjiye bakınız ), aynı zamanda dalgalanma / yayılma etkileşimleri yoluyla, yani enerjiyi ve stokastik dalgalanma kuvvetlerini dağıtan mezopartiküllerin kütle merkezlerinin hızıyla orantılı sürtünme kuvvetleri yoluyla birbirleriyle etkileşime girer, sisteme enerji geri besleyen. Sistemin olası çözücü molekülleri gösterilmemiştir ve bunların etkileri, mezopartiküller üzerindeki koruyucu potansiyelde açıklanmalıdır.

Tüketici parçacıkların dinamikleri, Langevin denklemlerinden farklı olarak , Galilean değişmezliğine saygı duyar ve kafes gazı otomata yönteminin hücresel yönüyle ilgili sayısal yapılara sahip değildir . Dahası, Langevin denklemlerinden farklı olarak, DPD Galilean değişmezliğine saygı duyar, yani sistemin tekdüze doğrusal dönüşümde veya hareketsiz olmasına bakılmaksızın dinamikler değişmez: DPD'nin denklemlerini izleyen ve sabit sıfır olmayan bir parçacık kümesi. ortalama hız, bu aynı sistemle aynı şekilde, ancak sıfır ortalama hızda davranacaktır. DPD oluşturulurken ve öncelikle karmaşık akışkanları modellemek için kullanılırken, Langevin'in denklemleri gibi çok daha küçük sistemleri modellemek için de kolaylıkla kullanılabilir .

Tarihi

Hoogerbrugge ve Koelman ilk olarak 1992'de DPD denklemlerini oluşturdular ve bu modelle gerçekleştirilen bir simülasyon örneği sundular. Bununla birlikte, makale dinamiklerin teorik temelleri konusunda belirsizliğini korudu. Bunlar 1995 yılında P. Español ve P. Warren tarafından kuruldu. Bu teorik temeller, sayısal tahminlerin modellenen sistemlerin gerçek değerlerine yakınsamasını elde etmek için bazı garantiler verdi.

DPD modeli, modellenen sistemin ortalama sıcaklığını koruyan izotermal bir modeldir. İkincisi bu nedenle a priori sabitlenmelidir . Böyle bir model, dengede fiziksel sistemleri modellemek için uygunsa, sıcaklığı önceden bilinemeyen denge dışı sistemler için artık uygun değildir . 1997 yılında, Español ve Mackie ve Avalos bağımsız olarak, enerjiyi koruyabilen ve bu nedenle potansiyel olarak denge dışı sistemleri modelleyebilen bir DPD varyantı sundular. Bu varyant, DPD-E , eDPD veya DPDE olarak adlandırılır .

Denklemler

Uzayda bir parçacık sistemi düşünün . Basit olması için, tüm bu parçacıkların aynı kütleye sahip olduğunu varsayacağız . Izin vermek bu parçacıkların konumlarının kümesi ve momentleri olsun. Bir parçacığın momenti, kütlesinin ve hızının çarpımı olarak tanımlanır: burada parçacığın hızıdır . Parçacığa uygulanan koruyucu kuvvetlerin , yani potansiyel bir enerjiden kaynaklanan kuvvetlerin toplamı olsun . $DEĞİL$ $m$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {3N}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = mv_ {i}}$ $v_ {i}$ $ben$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$ $ben$

Enerji tüketen parçacıkların dinamiklerinin denklemleri iki kısma ayrılabilir. İlki Newton'un denklemlerinden gelir ve yazılır (indeks , parçacığın boyutuna baktığımız anlamına gelir ): $ben$ $ben$

{\ displaystyle q_ {i} = {\ frac {p_ {i}} {m}} dt,}

{\ displaystyle p_ {i} = F_ {i} ^ {C} dt.}

Böylece, momentlerin evrimi, her bir parçacığa uygulanan kuvvetler tarafından tanımlanır ve konumun türevi hıza eşittir.

İkinci bölüm, dalgalanma / dağılma bölümü olarak adlandırılır. Yalnızca anlarla ilgilidir ve sırasıyla tüketen kuvvetler ve rastgele kuvvetler olarak adlandırılan iki kuvveti içerir . Bu kuvvetler, aksine muhafazakar değildir , yani bir potansiyelden gelmezler. Bu bölüm yazılmıştır: ${\ displaystyle F_ {i} ^ {D}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {R}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$

{\ displaystyle p_ {i} = \ sol (F_ {i} ^ {D} + F_ {i} ^ {R} \ sağ) dt.}

Önceki iki denklemin toplamı, enerji tüketen parçacıkların dinamiklerinin denklemlerini yazmayı mümkün kılar:

{\ displaystyle q_ {i} = {\ frac {p_ {i}} {m}} dt,}

{\ displaystyle p_ {i} = \ sol (F_ {i} ^ {C} + F_ {i} ^ {D} + F_ {i} ^ {R} \ sağ) dt.}

Şekli, kullanılan potansiyelin seçimine bağlıdır ve bu seçim, parçacıkların doğasına göre değişir. Genel bir kural olarak, DPD'yi kullanırken, formun bir potansiyelini kullanmayı seçiyoruz: ${\ displaystyle F ^ {C}}$

{\ displaystyle U (q) = \ toplamı _ {i} \ toplamı _ {j \ neq i} w (r_ {ij}),}

burada mesafe parçacıkları ayıran ve ve fonksiyon olduğu zaman: ${\ displaystyle r_ {ij} = || q_ {i} -q_ {j} ||}$ $ben$ $j$ ${\ displaystyle w (r)}$

{\ displaystyle w (r) = a \ sol (1 - {\ frac {r} {r_ {c}}} \ sağ) ^ {2}}

, eğer ,

{\ displaystyle r <r_ {c}}

{\ displaystyle w (r) = 0}

değilse.

Burada, kesme yarıçapı , yani konservatif kuvvetlerin etkileşim aralığını sınırlayan yarıçap denir . Kuvvet türevi olan bir göre , bu verir ${\ displaystyle r_ {c}}$ ${\ displaystyle F_ {i} ^ {C}}$ $U (q)$ $q_ {i}$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {C} (q) = \ toplamı _ {j \ neq i} {\ frac {q_ {j} -q_ {i}} {r_ {ij} ^ {2}}} w ^ {'} (r_ {ij})}

Yitirici kuvvetler sürtünme kuvvetleridir, yani parçacıkların hızıyla orantılıdır. Bununla birlikte, Langevin denklemi için sürtünme, Galile değişmezliğine saygı duymak için DPD'de parçacığın mutlak hızıyla orantılıysa , bu sürtünme kuvvetleri aralarındaki parçacıkların göreceli hızlarıyla orantılıdır . Ek olarak, dağıtım etkileşimlerinin kapsamını sınırlamak için yukarıda sunulan sınırlayıcı işlev eklenir. ve son olarak, bu kuvvetleri parçacıktan parçacığa olan yönü tanımlayan eksen boyunca yansıtırız . Böylece şunları yazabiliriz: ${\ displaystyle F ^ {D}}$ $v_ {i}$ ${\ displaystyle v_ {ij} = v_ {i} -v_ {j}}$ ${\ displaystyle w (r_ {ij})}$ ${\ displaystyle e_ {ij} = {\ frac {q_ {j} -q_ {i}} {r_ {ij}}}}$ $ben$ $j$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {D} = \ toplamı _ {j \ neq i} - \ gama w (r_ {ij}) \ sol (v_ {ij} \ cdot e_ {ij} \ sağ) e_ {ij }.}

Bu nedenle, DPD yasalarını izleyen parçacıklar, Langevin'in denklemlerine uyan parçacıkların aksine, toplam hızları sıfırsa veya sıfırsa, daha fazla enerji yaymayacaktır.

Brown hareketi kullanılarak rastgele kuvvetler elde edilir . Menzilleri de fonksiyonla sınırlıdır , eksen boyunca da yansıtılırlar ve yazılırlar: $w$ ${\ displaystyle e_ {ij}}$

{\ displaystyle F_ {i} ^ {R} dt = \ sum _ {j \ neq i} \ sigma {\ sqrt {w (r_ {ij}) dt}} dW_ {ij, t} e_ {ij}.}

Her bir parçacık çiftine özgü bir Brown hareketi kullanıldığına dikkat edilmelidir . ${\ displaystyle W_ {ij, t}}$ $(i, j)$

DPD denklemlerinin özellikleri

DPD denklemleri, moleküler fizikte, polimerler veya simülasyonu kolay olmayan diğer makro moleküller gibi karmaşık parçacıkları modellemek için kullanılır. DPD denklemleriyle açıklanan sistemler, kanonik kümeye ait olan sistemlerdir , yani sıcaklığın , hacmin ve atom sayısının sabit olduğu sistemlerdir. Bununla birlikte, yukarıdaki iddia hala matematiksel olarak gerekçelendirilmemiştir. Aslında, yukarıdaki denklemlere göre, bir parçacıklar sistemi, parçacıklarının konumlarının ve momentlerinin, zaman içinde gelişen konumlarının ve momentlerinin verileriyle ve yukarıdaki diferansiyel denklemin çözümleri ile tamamen tanımlanır . Bununla birlikte, uygun istatistik fizik , böyle bir sistem, ait standart grubu olan yapılandırmaları eğer standart seti, belirtilmelidir bir önlem tekabül eden ölçü göre dağıtılır ve verilen edilir: $T$ $V$ $DEĞİL$ ${\ displaystyle (q_ {t}, p_ {t})}$ ${\ displaystyle (q_ {t}, p_ {t})}$ $\ mu$

{\ displaystyle \ mu (\ mathrm {d} q, \ mathrm {d} p) = e ^ {- \ beta (U (q) + K (p))},}

nerede olduğu potansiyel enerji sisteminin ve onun olduğu mikroskopik kinetik enerjisi . $U (q)$ ${\ displaystyle K (p) = \ toplam _ {i} {\ frac {1} {2m}} p_ {i} ^ {2}}$

Dijital entegrasyon

DPD için çeşitli entegrasyon planları geliştirilmiştir. Bugüne kadar iki şema öne çıkıyor:

Velocity-Verlet : 2000 yılında Vattulainen ve diğerleri tarafından geliştirilmiştir . . Bu müracaat, aynı adı taşıyan düzeni esinlenerek Newton'un denklemleri gelen Hamilton mekaniği . Klasik mekaniğin aksine, DPD'ye uygulanan Hız-Verlet ikinci dereceden değil, birinci dereceden ve dahası semplektik özelliğini kaybeder.
Shardlow diyagramı : Şimdiye kadar, sabit zaman adımında en küçük sayısal önyargıları veren diyagram. Denklemin muhafazakar bir parçaya 'bölünmesini' ve her bir DPD parçacık çiftinin dalgalanma / yayılma etkileşimlerine karşılık gelen bir temel denklemler toplamını gerçekleştirir. Temel rastgele etkileşimler gerçekte bir Ornstein-Uhlenbeck sürecinin analitik olarak çözülen denklemleridir .

Mevcut yazılım

DPD simülasyonlarını (diğerlerinin yanı sıra) gerçekleştirebilen bazı simülasyon yazılımları:

CULGI : Chemistry Unified Language Interface, Culgi BV, Hollanda
DL_MESO : Açık kaynaklı mezoskopik simülasyon yazılımı .
GNU GPL lisansı altında yayınlanan DPDmacs Ücretsiz yazılımı
ESPResSo : Yumuşak Madde Sistemleri Araştırması için Genişletilebilir Simülasyon Paketi - Açık kaynak
Fluidix : OneZero Software tarafından sunulan Fluidix simülasyon paketi.
GPIUTMD : Çok Parçacık Dinamiği için grafik işlemciler
Gromacs-DPD : DPD simülasyonu dahil Gromacs'ın değiştirilmiş sürümü.
HOOMD-blue : Yüksek Düzeyde Optimize Edilmiş Nesne Yönelimli Çok Parçacık Dinamiği - Blue Edition
LAMMPS Büyük Ölçekli Atomik / Moleküler Kütlesel Paralel Simülatör, açık kaynak, GNU GPL altında lisanslanmıştır
Materials Studio : Kimyasalları ve malzemeleri incelemek için modelleme ve simülasyon, Accelrys Software Inc.
SYMPLER : Fribourg Üniversitesi'nden ücretsiz bir SEMBOLİK PARÇACIK simülasyonu.
SunlightDPD : Açık kaynaklı yazılım (GPL) DPD.

Notlar ve referanslar

(en) PJ Hoogerbrugge ve JMVA Koelman , " Mikroskobik Hidrodinamik Olguları Dağıtıcı Parçacık Dinamikleri ile Simüle Etmek " , EPL (Europhysics Letters) , cilt. 19,1 st Ocak 1992, s. 155 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / 0295-5075 / 19/3/001 , çevrimiçi okuma , erişim tarihi 2 Ağustos 2016 )
(inç) P. Español ve P. Warren , " Yitirimli Parçacık Dinamiklerinin İstatistiksel Mekaniği " , EPL (Europhysics Letters) , cilt. 30,1 st Ocak 1995, s. 191 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / 0295-5075 / 30/4/001 , çevrimiçi okuma , erişim tarihi 2 Ağustos 2016 )
(in) P. Español , " Enerji korumalı dağıtıcı parçacık dinamikleri " , EPL (Europhysics Letters) , cilt. 40,15 Aralık 1997( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / epl / i1997-00515-8 / meta , çevrimiçi oku , 4 Ağustos 2016'da erişildi )
(in) J. Bonet Avalos ve A. D Mackie , " Enerji korumalı dağıtıcı parçacık dinamikleri " , Europhysics Letters (EPL) , cilt. 40,15 Ekim 1997, s. 141–146 ( ISSN 0295-5075 , DOI 10.1209 / epl / i1997-00436-6 , çevrimiçi okuma , 4 Ağustos 2016'da erişildi )