Entropi (matematik)

In matematik , entropi bazı anlamda karmaşıklığını ölçme gerçek miktardır dinamik sisteme .

Metrik entropi

Varyasyon prensibi teoremi

Varyasyon ilkesinin teoremi, topolojik entropi ile metrik entropi arasındaki bağlantıyı kurmayı mümkün kılar. Ayrı bir kompakt topolojik uzayın herhangi bir homeomorfizmi f için , en az bir Borel değişmez ölçümü vardır . En basit formunda, varyasyon ilkesi teoremi topolojik entropi iddia f olan üst sınırı metrik entropiler f farklı Borel değişmez önlemleri ile bağlantılı. Kuvvetli haliyle teorem ayrıca bu üstünlüğün bir maksimum olduğunu ileri sürer  :

Teorem  -  Zayıf form  : Herhangi bir kompakt topolojik dinamik sistem ( X , f ) için topolojik entropi h ( f ) şunları sağlar:

h(f)=sup{hμ(f),μ∈M(X,f)}{\ displaystyle h (f) = \ sup \ {h _ {\ mu} (f), \ mu \ içinde M (X, f) \}}

burada metrik entropi olan f ölçüsü ile bağlantılı ve M ( x , f ) ait Borelian önlemler grubu olan X vardır f -invariant. hμ(f){\ displaystyle h _ {\ mu} (f)}μ{\ displaystyle \ mu}

Güçlü bir şekilde  : Herhangi bir kompakt topolojik dinamik sistem için ( x , f ), bir Borelian ölçü vardır olan ön metrik entropi olduğu, -invariant örneğin f için tam topolojik entropi olan f  : μ{\ displaystyle \ mu}μ{\ displaystyle \ mu}

h(f)=hμ(f){\ displaystyle h (f) = h _ {\ mu} (f)}

Zayıf biçim, güçlü biçimden ve topolojik entropi ile metrik entropi arasındaki eşitsizliklerden çıkarılır.

Güçlü biçim, ölçünün bir dizi önlemin zayıf yakınsak sınırı olarak seçilmesiyle gösterilir . μ{\ displaystyle \ mu}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">