In matematik , kimya ya da fiziğin bir dinamik sistem bir veri olduğunu sistemine ve bu sistemin evrimini anlatan bir yasa. Bu, kimyasal bir reaksiyonun zaman içindeki evrimi , gezegenlerin güneş sistemindeki hareketi ( Newton'un evrensel çekim yasası tarafından yönetilen ) veya bir bilgisayar programının eylemi altında bir bilgisayarın belleğinin evrimi olabilir . Resmi olarak, ayrık zamanlı dinamik sistemler (bir bilgisayar programı gibi) ve sürekli zamanlı dinamik sistemler (bir kimyasal reaksiyon gibi) arasında bir ayrım yapılır.
Dinamik bir sistemin iki önemli yönü şudur:
Önemli bir kavram, bir kişinin bugünden ve geleceğinden sistemin geçmiş durumunu da tanımlayabileceği tersine çevrilebilir bir dinamik sistemdir . Başka bir deyişle, zamanın okunu tersine çevirerek, hala dinamik bir sistemimiz var. Matematiksel olarak, tersine çevrilebilir bir dinamik sistem, özel bir grup eylemidir (grup , ayrık durumda göreceli Z tam sayıları ve sürekli durumda R gerçek sayılar kümesidir ).
Devlet kavramının dinamik sistemler teorisi için aldığı özel anlama dikkat etmeliyiz. Paradoks ait Zeno zorluklar ortaya çıkarabilir. Zeno sordu: "Hadi uçuşta bir ok olalım. Bir anda dinleniyor mu yoksa hareket halinde mi? Hareket halinde olduğunu söylersek, "Ama hareket halinde olmak pozisyon değiştirmektir. Bir anda okun bir konumu var, değişmiyor. Bu nedenle hareket halinde değildir. Dinleniyor diye cevaplasaydık, "Ama şu anda dinleniyorsa, diğer tüm anlarda da dinleniyor, yani her zaman dinleniyor" derdi. Asla hareket halinde değil. Peki o zaman bir pozisyondan diğerine nasıl geçebilir? Hareket halinde olan şey hakkında gerçekleri söylemenin mümkün olmadığı sonucuna vardı. Hareket halindeki herhangi bir şey doğası gereği yanlış olacaktır ve madde hakkında hiçbir hakikat yoktur, ancak değişmez olmaları koşuluyla, sadece büyük fikirler vardır. Sağduyu tam tersidir. Gördüklerimizin gerçeğine, metafizik gerçeklerden daha çok inanırız . Dinamik sistemler teorisi bu noktada sağduyu ile uyuşmaktadır.
Dinamik durum kavramı Zeno'nun paradoksuna bir çözüm sağlar: Bir anda ok hareket eder, bir konumu vardır, ancak konum değiştirir, anlık hıza sahiptir. Konumunu ve hızını ölçen sayılar, durum değişkenlerinin değerleridir . Durum değişkenleri, sistemin anlık durumunu belirleyen ve önceden sabit olmayan tüm fiziksel büyüklüklerdir. Ayrıca dinamik değişkenler olarak da adlandırılırlar. Flaşlı bir fotoğraf çekersek, okun hareket ettiğini görmeyiz, ancak başka yollarla, örneğin Doppler etkisiyle , konumdaki bir değişikliği ölçmek zorunda kalmadan onu tespit edebiliriz . Bir sistemin dinamik durumu anlık bir durumdur, ancak bir hareket durumudur. O andaki tüm durum değişkenlerinin değerleri tarafından belirlenir.
Faz alanı olarak sistemin tüm olası durumlarının kümesine karşılık gelen bir yapıdır. Bir vektör uzayı , bir diferansiyel manifold veya bir vektör demeti , ölçülebilir bir uzay olabilir ...
Sahip olan bir sistem için , n serbestlik derecesine , örneğin, bir faz alanı sistemi vardır , n boyutu, tam durumu ve böylece zaman sistemin t , genel olarak bir vektör ile , n bileşenler.
Ayrık bir dinamik sistem genellikle kendi üzerindeki faz uzayının bir önyargılı haritası ile tanımlanır (aynı zamanda, özellikle holomorfik dinamiklerde olmak üzere zorunlu olarak biyolojik olmayan haritaların dinamiklerini de inceliyoruz ). Aşağıdaki gibi çalışır: sistemin durumunun bir başlangıç koşulu verildiğinde , aşağıdaki ilk durum şöyledir:
Birincinin hemen ardından gelen ikinci durum şudur:
ve böylece, bu yüzden , n -inci durumu ile elde edilir:
Zamanda geriye gitmek için, bir eşleştirme için her zaman mümkün olan işlevi tersine çevirmek yeterlidir .
Bir dinamik bir sistem a, üçlü ( t , E , Φ) , T a, monoid toplamalı gösterilen, M bir dizi ve Φ bir işlev
ile
, her şey için .Φ ( t , x ) fonksiyonu, dinamik sistemin evriminin fonksiyonu olarak adlandırılır: evrim parametresi olarak adlandırılan değişken t'ye bağlı olarak, M'nin her noktasıyla tek bir görüntüyü ilişkilendirir . M , faz uzayı veya durum uzayı olarak adlandırılır ve x değişkeni sistemin başlangıç durumunu temsil eder . Ayrıca şunu da yazıyoruz:
Değişkenlerden birini ayarlarsak.
Adı mi akı içinde X ve yörünge grafiği ile ilgili olarak , x . Herşey
x'e göre yörünge olarak adlandırılır .
Alt kümesi S durum boşluğunun M Φ- olduğu değişmez tüm eğer x olarak S ve t de T
Özellikle, böylece S Φ- olduğu değişmez olduğu It'sa gerekli I ( x ) = T tüm x de S .
Faz uzayının matematiksel yapısına bağlı olarak birkaç ana dinamik türü vardır:
Lojistik fonksiyon, kendi içinde [0, 1] segmentinin bir uygulamasıdır ve sekans için tekrarlama görevi görür:
burada n = 0, 1,… ayrık zamanı, benzersiz dinamik değişkeni ve r 0 ile 4 arasında gerçek bir parametreyi belirtir .
Bu uygulamanın dinamikleri, r parametresinin değerine bağlı olarak çok farklı bir davranış sergiler :
Böylelikle, ekli şekilde özetlenen, parametre arttığında kaosa doğru düzenliliğin art arda çatallanmaları elde edilir.
Arnold'un "kedi" uygulaması (1968)Uygulama adı " kedi " Fransızca'ya tercüme edilemez bir İngilizce kelime oyunu geliyor: gerçekten de, " kedi " "dir kedi " İngilizce ve Vladimir Arnold bir şekilde bu kelimeyi kullanılan kısaltma ": bir Torus Sürekli Otomorfizmalar anlamıyla, : " sürekli otomorfizmalar ait torus ".
"Cat" uygulaması kendi içinde [0, 1] × [0, 1] karesinin bir uygulamasıdır:
burada ( mod 1) şu anlama gelir: bir tam sayıya kadar. Bu koşul, [0, 1] × [0, 1] karesinin kenarlarının, başlığın "simidini" oluşturmak için ikişer ikişer yapıştırılmış olduğu anlamına gelir. Bu, Lebesgue ölçümünü d x d y koruyan muhafazakar dinamik bir sistemdir .
Bu uygulama, dinamik sistemler teorisinin temel kavramlarını açıklamaya izin veren ilginç özelliklere sahiptir.
Hénon uygulaması (1976)Haritası Michel Henon a, bijection kare [0, 1] x [0, 1] kendisi tarafından belirlenen içinde:
burada bir ve B , iki parametre, tipik değerler olan vardır ve . Bu değerlerle dinamikler, Cantor türünde tuhaf bir fraktal doğa çekicisi sunar.
Hénon, denklemlerini 1963'te tanıtılan sürekli zaman Lorenz dinamik sisteminin basitleştirilmiş bir versiyonunu arayarak elde etti ( aşağıya bakınız ). Hénon'un dinamik sistemi muhafazakar değildir , çünkü dönüşümün Jacobian'ı sabittir ve değerlidir , bu da ilginç durumlarda birlikten farklıdır.
Hénon'un uygulaması da karmaşık bir dinamik sistem (in ) olarak incelenmiş ve genelleştirilmiştir .
Diğer örneklerIsaac Newton'un ( 1687 ) çalışmasından bu yana, herhangi bir fiziksel sistemin zamansal evriminin bir diferansiyel denklem (veya alan teorisine genellemeleri, kısmi diferansiyel denklemler ) tarafından iyi modellendiği fikri kabul edilmektedir. Bu diferansiyel modelleme, o zamandan beri kimya , biyoloji , ekonomi vb. Gibi diğer disiplinlere başarıyla genişletildi .
Tipik olarak birinci dereceden bir diferansiyel sistemi dikkate alırız:
fonksiyonu burada f çalışılan bir dinamik sistem tanımlar (bir sistem için , n serbestlik derecesi, kesinlikle bir konuşan vektörlerin alanı ile N görünüşüdür yavan, bir dizi bir noktadan, demek olduğu, boyutları n ölçekleme işlevleri) .
Kendimize Cauchy problemi adı verilen şu soruyu soruyoruz : ilk andaki faz uzayında fiziksel sistemin tam durumunu temsil eden bir başlangıç koşulu verildiğinde , herhangi bir an için faz uzayında sistemin tam durumunu bulun . Bu temel sorunun çözümü, bir diferansiyel denklemin çözümünün yerel varlığını ve benzersizliğini ( oldukça geniş bir varsayım altında) sağlayan Cauchy-Lipschitz teoreminde yatmaktadır .
Geleceğin şimdiki zaman tarafından belirlendiği varsayımı çok cesurca. Başarısı a priori açık değil. Yine de, Newton'un ardından gelen tüm büyük temel fizik teorileri onu benimsemiştir.
Muhafazakar bir sistemin determinizmiMuhafazakar bir fiziksel sistemin determinist olduğunu söylemeyi kabul edeceğiz , ancak ve ancak sistemin dinamikleri her bir başlangıç koşuluyla bir ve yalnızca bir son durumla ilişkiliyse . Bu , kendisinin faz uzayının şu şekilde bir eşleşmesi olduğunu ima eder :
Zaman zaman değişir, bu bijection bir oluşturur akışı ile ilgili bir demek ki, bir parametre ile sürekli bir grup örneğin,
. |
Bu açıklama, örneğin klasik mekaniğin Hamilton akışına ve aynı zamanda jeodezik akışa karşılık gelir .
Konservatif olmayan bir sistem durumuDeğerlendirilen fiziksel sistem muhafazakar olmadığında , harita önyargılı değildir ve genel olarak sistemin faz uzayında bir (veya daha fazla) çeker , yani temsilcinin altında bulunduğu değişmez faz uzayının bir alt kümesi vardır. Sistemin noktası , zaman sonsuzluğa yöneldiğinde yakınsar ve bu hemen hemen her başlangıç koşulu için .
Serbest van der Pol osilatörü ( yani harici uyarma olmadan), iki parametreye sahip olan x (t) koordinatıyla tanımlanan tek serbestlik dereceli bir sistemdir :
Diferansiyel denklemi yazılmıştır:
Bu enerji tüketen sistem, serbest olduğunda düzenli bir dinamiğe sahiptir, karşıt şekilde gösterilen bir sınır döngüsü şeklinde bir çeker ile karakterize edilir (burada poz verdiğimiz yer ):
Lorenz Sistemi (1963)1963 yılında, Edward Lorenz önerilen bir diferansiyel sistemi , üç serbestlik derecesi ile belirtildiği , ve yazıldığı:
Bu denklemlerde , ve üç pozitif gerçek parametrelerdir. Aşağıdaki değerler için , ve bu diferansiyel dinamik bir sistem vardır çekeri karşı şekildeki garip.
Biz ayırt lineer dinamik sistemlerin arasında doğrusal olmayan dinamik sistemlerin . İlkinde, denklemin sağ tarafı doğrusal olarak x'e bağlı olan bir fonksiyondur , öyle ki:
.Doğrusal bir sistemin iki çözümünün toplamı da çözümdür ("süperpozisyon ilkesi"). Doğrusal bir denklemin çözümleri, doğrusal cebirin kullanımına izin veren ve analizi büyük ölçüde basitleştiren bir vektör uzayı oluşturur . Sürekli zamanlı sistemler için, Laplace dönüşümü diferansiyel denklemleri cebirsel denklemlere dönüştürür.
Yukarıda verilen ilk iki örnek doğrusal olmayan sistemlerdir. Analizleri genellikle çok zordur. Öte yandan, doğrusal olmayan sistemler genellikle , onları görünüşte öngörülemez hale getiren sözde kaotik davranışlara sahiptir.
Doğrusal olmayan dinamik sistemler veya basitçe doğrusal parçalı tamamen öngörülemeyen davranışlar sergileyebilir, bu da rastgele görünebilir (mükemmel deterministik sistemler olmalarına rağmen). Bu öngörülemezliğe kaos denir . Kaosu açıkça tanımlamaya ve çalışmaya odaklanan dinamik sistemler dalına kaos teorisi denir .
Bu matematik dalı, dinamik sistemlerin uzun vadeli davranışlarını niteliksel olarak tanımlamaktadır. Bu çerçevede vurgu, dinamik sistemin denklemlerine kesin çözümler bulmak değil (ki bu zaten çoğu zaman umutsuzdur), daha ziyade "Sistem yakınlaşacak- uzun vadeli bir kararlılığa doğru ve eğer öyleyse, olası sabit durumlar nelerdir? Veya "Sistemin uzun vadeli davranışı başlangıç koşullarına bağlı mı?" ".
Önemli bir amaç, sistemin sabit noktalarının veya durağan durumlarının tanımlanmasıdır; bunlar, zamanla artık değişmediği değişkenin değerleridir. Bu sabit noktaların bazıları çekicidir , yani sistem mahallelerine ulaşırsa, sabit noktaya yakınsar.
Aynı şekilde, ilgilenen periyodik noktaları , adımların belirli sayıda (kendi sonra tekrarlanır sistemi durumları süresi ). Periyodik noktalar da çekici olabilir. Teoremi Charkovski sürekli evrim dayalı dinamik sisteminde gerçek değişkenin noktalarının olası dönemlerin setinde bir kısıtlamayı verir; özellikle 3. periyodun bir noktası varsa, herhangi bir dönemin noktaları vardır (kurucu makalenin başlığına göre "3. periyot kaos anlamına gelir" şeklinde özetlenir).
Karmaşık sistemlerin kaotik davranışı şaşırtıcı değildir - meteorolojinin karmaşık ve hatta kaotik davranışlar içerdiği uzun zamandır bilinmektedir . Daha ziyade, gerçek sürpriz, neredeyse önemsiz sistemlerde kaosun keşfidir; bu nedenle, lojistik fonksiyon basit bir ikinci derece polinomdur , ancak çözümlerinin davranışı kaotiktir.
Dinamik sistemler teorisi (daha genel makale)