Koch pul ilk biridir fraktal eğrileri uzunluğunda terimi buluşa “fraktal (e)” daha önce tarif edilmiş Benoit Mandelbrot'un .
1904 yılında İsveçli matematikçi Helge von Koch tarafından icat edildi .
Her bir çizgi parçasını aşağıdaki gibi yinelemeli olarak değiştirerek bir çizgi parçasından oluşturabiliriz:
Bu üç adımdan sonra ortaya çıkan nesne, cadı şapkasının enine kesitine benzer bir şekle sahiptir.
Koch eğrisi, yukarıda belirtilen adımlar süresiz olarak tekrarlandığında elde edilen eğrilerin sınırıdır.
Boyut kavramının bir uzantısı , Koch eğrisine değeri olan bir fraktal boyutu (tamsayı değil) atfetmeyi mümkün kılar.
Koch eğrisi sonsuz uzunluğa sahiptir, çünkü yukarıdaki değişiklikleri her doğru parçasına uyguladığımızda, toplam uzunluk üçte dört ile çarpılır.
Bununla birlikte, eğri tarafından sınırlanan yüzey sonludur, çünkü çapı ilk segment olan yarım diskte bulunur. Alan birimini, ilk yinelemede oluşturulan üçgen alan 1 olacak şekilde seçtiysek, ikinci yinelemede oluşturulan dört üçgenin her birinin alanı 1/9'dur: bu nedenle toplam alanı artırdık. 4/9. Yineleme n için ekliyoruz . Toplam alan, sonunda, yakınsak bir geometrik seri toplanarak elde edilir :
.
Koch eğrisi, sürekli bir eğrinin bir örneğini oluşturur, ancak her noktasında türevlenemez.
Koch pulunu bir kasılma ailesinin çekicisi olarak düşünebiliriz , bu da örneğin onun bir R² kompaktı olduğunu kanıtlamayı mümkün kılar .
Koch kar tanesi, bir önceki fraktal ile aynı şekilde , bir doğru parçası yerine bir eşkenar üçgenden başlayarak ve üçgenleri dışa doğru yönlendirerek modifikasyonlar yaparak elde edilir. Çevre başlangıç üçgen (aşama 0) için p , aşama talaşın çevre N (4/3) olan , n s .
Ayrıca bir altıgenden başlayabilir ve üçgenleri içe doğru yönlendirerek çalışabiliriz.
Her iki durumda da, birkaç tekrardan sonra form elde ederiz bir kar tanesi andıran kar bile.
Eğri gibi, Koch pulu da sonsuz uzunluktadır ve sonlu bir alanı sınırlar. Bu, ilk adımda sadece 3 üçgenin oluşturulması nedeniyle ilk üçgenin alanının 8/5'ine eşittir.
Von Koch'un konseptini takiben, dik açılar (Kuadratik), diğer açılar (Cesàro fraktal) veya daha yüksek boyutlardaki uzantılar (kürecik, Koch yüzeyi) dikkate alınarak çeşitli varyantlar tasarlandı.