Temsil edilebilir işlev

Matematikte birçok evrensel özellik vardır . Kategorilerin biçimciliği, bu özelliklerin çok basit bir şekilde ifade edilmesini mümkün kılar.

Tanım

Let F olmak yerel olarak küçük kategori ve F bir kontravaryant funktor sırasıyla kovaryant, içinde Ens (setlerinin kategorisi). Biz söylemek F olduğu Temsil bir nesne var olup olmadığını X arasında böyle F funktor izomorftur sırasıyla functor, . VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}X^=HÖm(.,X):Y↦HÖm(Y,X){\ displaystyle {\ hat {X}} = Hom (., X): Y \, Hom'a (Y, X)}HÖm(X,.):Y↦HÖm(X,Y){\ displaystyle Hom (X ,.): Y \ mapsto Hom (X, Y)}

Yoneda lemma

Doğal dönüşümler arasında içinde F elemanlarına bijectively gelmektedir . X^{\ displaystyle {\ hat {X}}}F(X){\ displaystyle F (X)}

Bu nedenle, functor'un bir izomorfizmi olduğunda , F fonktörünün (burada F (X) ' in bir öğesidir) ile temsil edildiğini söylüyoruz . (X,ζ){\ displaystyle (X, \ zeta)}ζ{\ displaystyle \ zeta}ζ^:X^→F{\ displaystyle {\ hat {\ zeta}}: {\ hat {X}} \ rightarrow F}

Temsil edilebilir ortak değişken işlevler

• Toplam

Izin vermek bir kategori, A ve B iki nesnesi . Biz functor düşünün içinde Ens içinde X'in biçerdöver . Bu işlevi temsil etmek , toplamın evrensel özelliğine karşılık gelir . VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}HÖm(AT,X)×HÖm(B,X){\ displaystyle Hom (A, X) \ times Hom (B, X)}

• Serbest modül , serbest grup , serbest değişmeli grup , serbest monoid , polinomlar .

Ben bir set ve A değişmeli bir halka olalım . Kategorisinin funktor bir de Modül Set (gruplar sırasıyla kategorisi, değişmeli grupları, monoidler, bir bir karşı cebiri) bir Modül (sırasıyla tüm dizi) ortakları sunulabilen. Biz elde serbest bir Modül sırasıyla baz ücretsiz grup I , değişmeli grup , alfabenin dayalı kelimelerin serbest monoid ben , hangi polinomların cebir ben değişkenli kümesidir. F{\ displaystyle F}Fben{\ displaystyle F ^ {I}}AT(ben){\ displaystyle A ^ {(I)}}AT(ben){\ displaystyle A ^ {(I)}}

• Tamamlandı

Let E olmak bir metrik uzay . Tam metrik uzay kategorisinden funktor Ens bir olduğunu tam metrik alan X, bir araya Hom (E, X) tamamlanması ile temsil edilir E .

• Stone-Čech ile sıkıştırılmış

Let E olmak bir topolojik uzay. Kompakt topolojik boşlukların funktor Ens bir kompakt boşluk X- birleştiren Hom (E, X) Stone-Cech kompaktlaştırılması ile temsil edilir E .

• Tensör ürünü

Let A aşağıdaki yekpare bir değişmeli halkası ve E ve F , iki A -modüller. Tensör ürün ve E ve F bir funktor olan bir Modül G her iki doğrusal uygulamaları bir araya de G . E×F{\ displaystyle E \ times F}

Temsil edilebilir aykırı işlevler

• Ürün

Izin vermek bir kategori, A ve B'nin iki nesnesi . Biz functor düşünün içinde Ens içinde X'in biçerdöver . Bu işlevi temsil etmek , ürünün evrensel özelliğine karşılık gelir . VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}HÖm(X,AT)×HÖm(X,B){\ displaystyle Hom (X, A) \ times Hom (X, B)}

• İndüklenmiş topoloji

Let X bir topolojik uzay ve olmayacak Y bir parçası X . Tarafından indüklenen topolojisi X ile Y kanonik enjeksiyon functor temsil mesafede en bölgesindeki Ens de A sürekli uygulamalar seti ilişkilendiren A içinde X görüntü dahildir Y .

• Kompakt açık topoloji

Let X'in olmak bir yerel kompakt topolojik uzay ve Y bir topolojik uzay. Funktor sürekli fonksiyonların alan ile temsil edilmektedir , X için Y, kompakt açık topoloji ile donatılmış. T↦HÖmTÖp(T×X,Y){\ displaystyle T \ mapsto Hom_ {Üst} (T \ times X, Y)}

Referans

Régine ve Adrien Douady , Cebir ve Galois teorileri [ baskıların detayı ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">