Functor

In matematik , funktor için genelleme olduğu kategoriler kavramının morfizmalar .

Tanımlar

Bir functor (veya kovaryant functor ) F : → bir kategoriden bir kategoriye veridir $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Herhangi bir nesne için bir işlev X arasında , bir amacı ilişkilendiren F ( x arasında) , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$
Bir fonksiyon olan, herhangi bir morfizmanın için f : X → Y arasında , iştirakçi bir morfizmanın F ( f ): F ( x ) → F ( Y ) arasında , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

DSÖ

kimlikleri saygı: herhangi bir nesne için X arasında , $\ mathcal C$ ${\ displaystyle F (\ mathrm {Id} _ {X}) = \ mathrm {Id} _ {F (X)}}$
kompozisyona saygı gösterin: tüm X , Y ve Z nesneleri ve f : X → Y ve g : Y → Z morfizmaları için , $\ mathcal C$ $F (g \ circ f) = F (g) \ circ F (f) 'dir.$

Başka bir deyişle, bir işlevci, morfizm alanlarını ve ortak alanlarını, ok kimliklerini ve kompozisyonu korur.

Bir kontravaryant funktor G bir kategori bir kategoride kovaryant funktor olan ters kategorisi op (okların yönüne ters çevirme ile elde edilen bir olarak) . Herhangi bir morfizmanın için f : X → Y arasında , bu nedenle bir morfizmanın ilişkilendirir G ( f ): G, ( Y →) G ( x ) arasında , ve “uyumluluk ilişki” sahip G ( g ∘ f ) = G ( f ) ∘ G ( g ). $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Örnekler

Her nesneyi ve morfizmini kendisine gönderen , genellikle 1 veya id : → ile gösterilen bir kategorinin özdeşlik işlevi . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$
Unutulması Functors bu nesnelerin belirli özelliklerini "unutarak" tarafından başka kategoriden nesnelere bir kategoriden nesneleri göndermek:
- arasında funktor Ab içinde Grp ilişkilendiren grubunu kendisi bir ile değişmeli grubun , aynı zamanda sigara değişmeli gruplar içeren kategoride (biz grup değişmeli olduğu gerçeğini "unutulmuş") genel. Biz aynı zamanda, fanktorlar unutulması var Grp olarak kategori Mon arasında Monoidler ve olmasıyla H boşluklar (en) , ve Ab değişmeli Monoids kategorisinde;
- arasında funktor Grp içinde Set onun ilişkilendiren yatan set bir gruba (biz grup yapısını "unutulmuş") genel.
Yerel olarak küçük bir kategorideki herhangi bir X nesnesi için , iki işlev Hom : → Küme : Y ↦ Hom ( X , Y ) (ortak değişken) ve Y ↦ Hom ( Y , X ) (karşıt). $\ mathcal C$ $\ mathcal C$
Sabit funktoru görüntü nesnesi kimlik başlangıç kategoriye sahip her ok gönderir bitiş kategori ve aynı nesneye başlangıç kategorinin tüm nesneleri gönderir funktoru olup. Functors kategorisinin son nesnesidir.
( Tek nesne kategorileri olan ) iki monoid arasında , kovaryant işlevler basitçe monoidlerin morfizmleridir.
Bir ürün kategorisinden bir kategoriye tanımlanan bir functor genellikle bifunctor olarak adlandırılır . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ times {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal E}$

Fonksiyonların özellikleri

Sadık, tam, tamamen sadık görevliler

Functor F'nin : → olduğunu söylüyoruz : $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

sadık iki morfizm f , g : X → Y in , görüntüleri F ( f ), F ( g ): F ( X ) → F ( Y ) in olduğu anda eşitse ; $\ mathcal C$ $\ mathcal D$
Tam bir morfizmanın ise F ( x →) F ( Y ) bir eşittir F ( f );
hem sadık hem de dolu ise tamamen sadık.

Örnekler

Monoids bir morfizmanın (son örnek karşılaştırınız yukarıda ) güvenilir olan, ancak ve ancak yalnızca birebir olduğunu, ancak ve ancak, tam örten .
Unutulması fanktorlar Ab içinde Grp ve Grp içinde Mon tamamen sadık bulunmaktadır.
Unutulması funktor Grp içinde Set sadık (ancak tam) 'dir; eğer daha genel olarak, F bir dahil olan alt kategorisi bir kategoride , o zaman sadıktır. $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Konservatif işlevler

Önemsiz bir şekilde , herhangi bir functor F : → izomorfizmaları korur , yani eğer f içinde bir izomorfizm ise, o zaman F ( f ) bir izomorfizmdir . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Functor F'nin muhafazakar olduğu söylenir, eğer tersine , bir morfizm f in , F ( f ) bir in olduğu anda bir izomorfizmdir . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Örnekler

Bir morfizmanın F Monoids arasında (karşılaştırınız, uç § “Örnekler” ile elde edilmiş) tutucu ve eğer herhangi bir durumunda önceki göre F , bir ait tersinir elemanı tersinirdir.
Tamamen sadık her görevli muhafazakârdır.
Dan unutmadan funktor Grp içinde Set tutucu.

Yardımcı yetkililer

Let ve iki kategori, K bir funktoru içinde ve G, bir de , örneğin herhangi bir nesne için bu ve bir sahiptir eşleşme , doğal olarak , X ve Y , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ ${\ mathcal {C}}} içinde {\ displaystyle X \$ ${\ mathcal {D}}} içinde {\ displaystyle Y \$

{{\ rm {Hom}}} _ {D} \ left (F \ sol (X \ sağ), Y \ sağ) \ simeq {{\ rm {Hom}}} _ {C} \ sol (X, G \ sol (Y \ sağ) \ sağ).

Sonra F yardımcısı sol söylenir G ve G sağındaki yardımcısı F .

Kategori denkliği

Functor F : → , eğer bir Functor G : → varsa , kategorilerin bir denkliği ve G ∘ F (sırasıyla F ∘ G ) ile özdeşlik (resp. ) Arasında fonksiyonların doğal bir izomorfizmi olarak adlandırılır . Kategorilerin denkliği, kategorilerin izomorfizminden daha genel bir kavramdır . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Uyarılar

Functorlara bazen küçük kategorilerin Cat kategorisi için morfizm denir .

Notlar ve referanslar

(inç) Steve Awodey, Kategori teorisi - İkinci baskı , Oxford Logic Guides, s. 8, Def. 1.2
(inç) OF Rydeheard ve RM Burstall, Hesaplamalı Kategori Teorisi , Prentice Hall,1988, s. Bölüm 3, Kısım 3.5, Tanım 3
(tr) Horst Schubert (en) , Kategoriler , Springer ,1972( çevrimiçi okuyun ) , s. 241.

Ayrıca görün