Chebyshev'in işlevi
In matematik , Chebyshev fonksiyon numarası kullanılan iki işleve başvurabilirsiniz teori . İlk Chebyshev fonksiyonu θ ( x ) ya da θ ( x ) ile verilmiştir
ϑ(x)=∑p≤xlnp{\ displaystyle \ vartheta (x) = \ toplam _ {p \ leq x} \ ln p}burada toplam, p'den küçük veya x'e eşit asal sayılar üzerinden tanımlanır .
İkinci Chebyshev fonksiyonu ψ ( x ) toplamı en az asal güçler uzanan, benzer bir şekilde tanımlanır , x :
ψ(x)=∑pk≤xlnp=∑değil≤xΛ(değil)=∑p≤x⌊lnpx⌋lnp,{\ displaystyle \ psi (x) = \ toplamı _ {p ^ {k} \ leq x} \ ln p = \ toplamı _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ toplamı _ {p \ leq x} \ sol \ lfloor \ ln _ {p} x \ sağ \ rfloor \ ln p,}burada Λ belirtmektedir von Mangoldt işlevi . Chebyshev fonksiyonlar, özellikle ikinci ψ ( X ) da kullanımı daha kolay olduğu için, genellikle asal sayı sonuçları kullanılan asal sayı sayısı fonksiyonu , π ( x ) (bakınız kesin formülü , alt). İki Chebyshev işlevi asimptotik olarak x'e eşdeğerdir , bu da asal sayı teoremine benzer bir sonuçtur .
Her iki işlev de Pafnouti Chebyshev'den sonra adlandırılmıştır .
İlişkiler
Chebyshev'in ikinci işlevi birinciyle şu şekilde ilişkilendirilebilir:
ψ(x)=∑p≤xklnp{\ displaystyle \ psi (x) = \ toplam _ {p \ leq x} k \ ln p}burada k , p k ≤ x ve x < p k + 1 olacak şekilde benzersiz bir tamsayıdır . Değerleri k şu verilmiştir A206722 . Daha doğrudan bir ilişki verilir
ψ(x)=∑değil=1∞ϑ(x1değil).{\ displaystyle \ psi (x) = \ toplamı _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vartheta \ left (x ^ {\ frac {1} {n}} \ sağ).}Son toplamın yalnızca sınırlı sayıda sıfır olmayan terime sahip olduğunu fark ettik:
ϑ(x1değil)=0içindeğil>günlük2x =lnxln2.{\ displaystyle \ vartheta \ sol (x ^ {\ frac {1} {n}} \ sağ) = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad n> \ log _ {2} x \ = {\ frac {\ ln x} {\ ln 2}}.}İkinci Chebyshev işlevi, 1'den n'ye kadar tam sayıların en küçük ortak katlarının logaritmasıdır .
ppcm(1,2,...,değil)=eψ(değil).{\ displaystyle \ operatorname {ppcm} (1,2, \ noktalar, n) = {\ rm {e}} ^ {\ psi (n)}.}Değerleri PPKM (1,2, ..., n ) bir tam sayı için n ile verilir A003418 .
Asimptotik eşdeğerler ve sınırlar
Biz Chebyshev fonksiyonları için aşağıdaki sınırları (bu formülleri biliyorum p k olan k : asal sayı-inci p 1 = 2 , p 2 = 3 , vs.)
ϑ(pk)≥k(lnk+lnlnk-1+lnlnk-2,050735lnk)için k≥1011,ϑ(pk)≤k(lnk+lnlnk-1+lnlnk-2lnk)için k≥198,|ϑ(x)-x|≤0,006788xlnxiçin x≥10544111,|ψ(x)-x|≤0,006409xlnxiçin x≥e22,0,9999x<ψ(x)-ϑ(x)<1,00007x+1,78x3için x≥121.{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} \ vartheta (p_ {k}) & \ geq k \ sol (\ ln k + \ ln \ ln k-1 + {\ frac {\ ln \ ln k-2,050735} {\ ln k}} \ right) && {\ text {pour}} k \ geq 10 ^ {11}, \\ [8px] \ vartheta (p_ {k}) & \ leq k \ left (\ ln k + \ ln \ ln k-1 + {\ frac {\ ln \ ln k-2} {\ ln k}} \ sağ) && {\ text {for}} k \ geq 198, \\ [8px] | \ vartheta (x) -x | & \ leq 0.006788 {\ frac {x} {\ ln x}} && {\ text {for}} x \ geq 10 \, 544 \, 111, \\ [8px] | \ psi ( x) -x | & \ leq 0.006409 {\ frac {x} {\ ln x}} && {\ text {for}} x \ geq e ^ {22}, \\ [8px] 0.9999 {\ sqrt {x} } & <\ psi (x) - \ vartheta (x) <1.00007 {\ sqrt {x}} + 1.78 {\ sqrt [{3}] {x}} && {\ text {for}} x \ geq 121. \ end {hizalı}}}Dahası, Riemann hipotezi altında ,
|ϑ(x)-x|=Ö(x12+ε)|ψ(x)-x|=Ö(x12+ε){\ displaystyle {\ başlar {hizalı} | \ vartheta (x) -x | & = O \ sol (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ sağ) \\ | \ psi ( x) -x | & = O \ left (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon} \ sağ) \ end {hizalı}}}tümü için ε > 0 .
Θ ( x ) ve ψ ( x ) için üst sınırlar vardır, öyle ki
ϑ(x)<1,000028xψ(x)<1,03883x{\ displaystyle {\ başla {hizalı} \ vartheta (x) & <1.000028x \\\ psi (x) & <1,03883x \ end {hizalı}}}tüm x > 0 .
1.03883 sabitinin açıklaması A206431 tarafından verilmiştir .
Tam formül
1895'te Hans Carl Friedrich von Mangoldt , Riemann'ın zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırlarının toplamı olarak ψ ( x ) için açık bir ifade olduğunu kanıtladı :
ψ0(x)=x-∑ρxρρ-ζ′(0)ζ(0)-12ln(1-x-2).{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ toplamı _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} - {\ frac {\ zeta '(0)} {\ zeta (0)}} - {\ tfrac {1} {2}} \ ln (1-x ^ {- 2}).}(Sayısal değeri ζ ′ (0)/ζ (0)olduğu ln (2π) ). Burada, ρ traversler zeta fonksiyonu apaçık olmayan sıfır ve ψ 0 eşittir ψ bu en yüksek arasındaki ortalama değer alır süreksizliklerin bu nokta (ana güçler), haricinde, değerler ve doğru:
ψ0(x)=12(∑değil≤xΛ(değil)+∑değil<xΛ(değil))={ψ(x)-12Λ(x)x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,...ψ(x)değilse.{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ sol (\ toplamı _ {n \ leq x} \ Lambda (n) + \ toplamı _ {n <x} \ Lambda (n) \ sağ) = {\ başlar {durumlar} \ psi (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ Lambda (x) & x = 2,3,4,5,7,8, 9, 11,13,16, \ dots \\ [5px] \ psi (x) & {\ mbox {aksi halde.}} \ End {vakalar}}}Gönderen Taylor serisi için logaritma , açık formülde geçen terim toplamı olarak yazılabilirx ω/ωzeta fonksiyonunun önemsiz sıfırları üzerinde, ω = −2, −4, −6, ... , yani
∑k=1∞x-2k-2k=-12ln(1-x-2).{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {- 2k}} {- 2k}} = - {\ tfrac {1} {2}} \ ln \ sol (1 -x ^ {- 2} \ sağ).}Benzer şekilde, ilk terim, x =x 1/1, 1'deki zeta fonksiyonunun tek kutbuna karşılık gelir .
Özellikleri
Erhard Schmidt'in bir teoremi , açık bir pozitif sabit K için sonsuz sayıda doğal tamsayı x olduğunu belirtir, öyle ki
ψ(x)-x<-Kx{\ displaystyle \ psi (x) -x <-K {\ sqrt {x}}}ve sonsuz sayıda doğal sayı x öyle ki
ψ(x)-x>Kx.{\ displaystyle \ psi (x) -x> K {\ sqrt {x}}.}In Landau gösterimde , bu şekilde yazılabilir
ψ(x)-x≠Ö(x).{\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ sol ({\ sqrt {x}} \ sağ).}Hardy ve Littlewood , aşağıdaki daha kesin sonucu buldular:
ψ(x)-x≠Ö(xlnlnlnx).{\ displaystyle \ psi (x) -x \ neq o \ sol ({\ sqrt {x}} \ ln \ ln \ ln x \ sağ).}İlkellerle ilişki
İlk Chebyshev fonksiyonu logaritmasıdır primoriyel ait x ile gösterilen, x # :
ϑ(x)=∑p≤xlnp=ln∏p≤xp=ln(x#).{\ displaystyle \ vartheta (x) = \ toplamı _ {p \ leq x} \ ln p = \ ln \ prod _ {p \ leq x} p = \ ln \ sol (x \ # \ sağ).}Böylece, ilkel x # ' in asimptotik olarak e (1 + o (1)) x' e eşit olduğunu ve asal sayı teoremi ile p n # ' nin asimptotik davranışını çıkarsayabiliriz .
Hesap işleviyle ilişki
Chebyshev'in işlevi, asal sayı sayma işlevi ile ilgili olabilir. Sorarsak
Π(x)=∑değil≤xΛ(değil)lndeğil.{\ displaystyle \ Pi (x) = \ toplam _ {n \ leq x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ ln n}}.}Yani
Π(x)=∑değil≤xΛ(değil)∫değilxdttgünlük2t+1lnx∑değil≤xΛ(değil)=∫2xψ(t)dttgünlük2t+ψ(x)lnx.{\ displaystyle \ Pi (x) = \ toplam _ {n \ leq x} \ Lambda (n) \ int _ {n} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {t \ log ^ { 2} t}} + {\ frac {1} {\ ln x}} \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ psi ( t) \, \ mathrm {d} t} {t \ log ^ {2} t}} + {\ frac {\ psi (x)} {\ ln x}}.}Geçiş tt için sayısı fonksiyonu , π , denklemden elde edilir
Π(x)=π(x)+12π(x)+13π(x3)+⋯{\ displaystyle \ Pi (x) = \ pi (x) + {\ frac {1} {2}} \ pi ({\ sqrt {x}}) + {\ tfrac {1} {3}} \ pi \ sol ({\ sqrt [{3}] {x}} \ sağ) + \ cdots}Yana tt ( X ) ≤ x yaklaşıklama, bu son ilişki tekrar yazılabilir
π(x)=Π(x)+Ö(x).{\ displaystyle \ pi (x) = \ Pi (x) + O \ sol ({\ sqrt {x}} \ sağ).}
Riemann hipotezi
Riemann hipotezi devletler zeta fonksiyonu olmayan tüm önemsiz sıfır gerçek bir parçası olarak sahip olduğu1/2. Bu durumda, | x ρ | = √ x ve şu şekilde tanımlanabilir:
∑ρxρρ=Ö(xln2x).{\ displaystyle \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = O \ sol ({\ sqrt {x}} \ ln ^ {2} x \ sağ).}Eşitlikten şunu çıkarıyoruz:
π(x)=li(x)+Ö(xlnx).{\ displaystyle \ pi (x) = \ operatöradı {li} (x) + O \ sol ({\ sqrt {x}} \ ln x \ sağ).}Hipotez doğruluğuna İyi deliller önerdiği olmasından gelir Alain Connes biz açısından von Mangoldt formülü ayırt takdirde, ve diğerleri x , elimizdeki x = e u . Hesaplamalarla, tatmin edici Hamilton operatörünün üstelinin izleme formülünü elde ederiz:
ζ(12+benH^)|değil≥ζ(12+benEdeğil)=0,{\ displaystyle \ sol. \ zeta \ sol ({\ tfrac {1} {2}} + {\ rm {i}} {\ hat {H}} \ sağ) \ sağ | n \ geq \ zeta \ sol ( {\ tfrac {1} {2}} + {\ rm {i}} E_ {n} \ sağ) = 0,}ve
∑değilebensenEdeğil=Z(sen)=esen2-e-sen2dψ0dsen-esen2e3sen-esen=Tr(ebensenH^),{\ displaystyle \ sum _ {n} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} uE_ {n}} = Z (u) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {u} {2}} - {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {u} {2}}} {\ frac {{\ rm {d}} \ psi _ {0}} {{\ rm {d }} u}} - {\ frac {{\ rm {e}} ^ {\ frac {u} {2}}} {{\ rm {e}} ^ {3u} - {\ rm {e}} ^ {u}}} = \ operatöradı {Tr} \ left ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} u {\ hat {H}}} \ sağ),}trigonometrik toplamın e i uĤ operatörünün izi olarak kabul edilebileceği ( istatistiksel mekanikte ), bu sadece ρ = ise doğrudur1/2+ i E ( n ) .
Yarı klasik bir yaklaşımla, H = T + V potansiyeli şunları sağlar:
Z(sen)sen12π∼∫-∞∞eben(senV(x)+π4)dx{\ displaystyle {\ frac {Z (u) u ^ {\ frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ pi}}} \ sim \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ left (uV (x) + {\ frac {\ pi} {4}} \ sağ)} \, {\ rm {d}} x}ile Z ( u ) → 0 ise u → ∞ .
Bu doğrusal olmayan integral denklemin çözümleri (diğerleri arasında) şu şekilde elde edilebilir:
V-1(x)≈4π⋅d12dx12DEĞİL(x){\ displaystyle V ^ {- 1} (x) \ yaklaşık {\ sqrt {4 \ pi}} \ cdot {\ frac {{\ rm {d}} ^ {\ frac {1} {2}}} {{ \ rm {d}} x ^ {\ frac {1} {2}}}} N (x)}potansiyelin tersini elde etmek için:
πDEĞİL(E)=argümanξ(12+benE).{\ displaystyle \ pi N (E) = \ operatöradı {arg} \ xi \ sol ({\ tfrac {1} {2}} + {\ rm {i}} E \ sağ).}Yumuşatma işlevi
Düzleştirme işlevi ile tanımlanır
ψ1(x)=∫0xψ(t)dt.{\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ psi (t) \, {\ rm {d}} t.}Bunu gösterebiliriz
ψ1(x)∼x22.{\ displaystyle \ psi _ {1} (x) \ sim {\ frac {x ^ {2}} {2}}.}Varyasyonel formülasyon
X = e t'deki Chebyshev işlevi, işlevselliği en aza indirir.
J[f]=∫0∞f(s)ζ′(s+vs)ζ(s+vs)(s+vs)ds-∫0∞∫0∞e-stf(s)f(t)dsdt,{\ displaystyle J [f] = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (s) \ zeta '(s + c)} {\ zeta (s + c) (s + c)} } \, {\ rm {d}} s- \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- st} f (s) f (t) \, {\ rm {d}} s \, {\ rm {d}} t,}yani
f(t)=ψ(et)e-vstiçin vs>0.{\ displaystyle f (t) = \ psi \ sol ({\ rm {e}} ^ {t} \ sağ) {\ rm {e}} ^ {- ct} \ quad {\ text {pour}} c> 0.}Notlar
-
Pierre Dusart, “ süre keskin sınırları ψ , İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin , tt , s k ”, Araştırma Raporu hayır. 1998-06 , Limoges Üniversitesi,1998. Kısa bir versiyonu adı altında bulunan " k astar inci daha büyük olan , k (İn k + ln ln k - 1) için k ≥ 2 ," Bilgisayarla Matematik , vol. 68, n o 225,1999, s. 411-415
-
Pierre Dusart , " RH olmadan asal sayılar üzerinden bazı fonksiyonların tahminleri ", Matematik Konu Sınıflandırması,2007( arXiv 1002.0442 )
-
J. Barkley Rosser ve Lowell Schoenfeld , “ Asal sayıların bazı fonksiyonları için yaklaşık formüller. " Illinois J. Math. , cilt. 6,1962, s. 64–94. ( çevrimiçi okuyun )
-
(in) Harold Davenport , Çarpımsal Sayılar Teorisi , New York / Berlin / Heidelberg, Springer,2000, 104 p. ( ISBN 0-387-95097-4 , çevrimiçi okuyun )
-
Erhard Schmidt, " Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze ", Mathematische Annalen , cilt. 57,1903, s. 195-204
-
G .H. Hardy ve JE Littlewood, " Riemann Zeta-Fonksiyonu Teorisine Katkılar ve Asalların Dağılımı Teorisi ", Acta Mathematica , cilt. 41,1916, s. 119-196.
Referanslar
- Tom M. Apostol, Analitik sayı teorisine giriş , New York-Heidelberg, Springer-Verlag, cilt. "Matematikte Lisans Metinleri",1976, 340 p. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , çevrimiçi okuyun )
Dış bağlantılar
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">