Özel görelilik formu
Bu makale, özel görelilikte faydalı bir dizi formül içermektedir .
gösterimler
Kullanılan depolar
İki dikkate Galileli kareleri referans Oxyz ve O'x'y'z 'eksen Ox ve O'x' aynıdır, O'y ' ve O'z' sırasıyla paralel olan Ox ve Oy . O'x'y'z' koordinat sisteminin Oxyz koordinat sistemine göre , Ox ekseni boyunca v'ye eşit sabit bir hızla hareket ettiği varsayılır .
Birinci koordinat sistemiyle ilgili tüm nicelikler kesme işareti olmadan (örneğin, orada dörtlü sürücü tarafından bir olay konumlandırılacaktır ) ve ikinci koordinat sistemi için kesme işareti ile not edilecektir (bu nedenle dörtlü sürücü orada belirtilecektir ).
(vsT,r)=(vsT,x,y,z){\ görüntü stili (ct, \ mathbf {r}) = (ct, x, y, z)}(vsT′,r′)=(vsT′,x′,y′,z′){\ displaystyle (ct ', \ mathbf {r'}) = (ct ', x', y ', z')}
O ve O' zamanlarının aynı kökeni için çakıştığını varsayıyoruz .
T=T′=0{\ görüntü stili t \, = \, t '\, = \, 0}
Biz sorarız:
β=vvs{\ displaystyle \ beta \, = \, {\ frac {v} {c}}}
y=11-β2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}
veya bağımlılığı belirtmek gerekirse v .
y(v)=11-v2vs2{\ displaystyle \ gama (v) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}
açısal hız parametresi
Formülleri basitleştirmek için , aşağıdaki formüllerle tanımlanan açısal hız parametresini θ tanıtmak yararlıdır :
β=tan(θ){\ displaystyle \ beta \, = \, \ tanh (\ teta)} yani
θ=NSTNSolumsuzlukH(β){\ displaystyle \ teta \, = \, \ matematik {atanh} (\ beta)}
Bu parametreyi kullanarak şunları yazabiliriz:
y=11-tan2(θ)=cosh(θ){\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} (\ teta)}}} = \ cosh (\ teta)}
βy=tan(θ)cosh(θ)=günah(θ){\ displaystyle \ beta \ gamma \, = \, \ tanh (\ teta) \ cosh (\ teta) = \ sinh (\ teta)}
koordinat dönüşümü
Aynı olayın uzamsal-zamansal koordinatlarının ( ct , x , y , z ) dörtlü sürücüünün bir referans çerçevesinden diğerine gittiğimizde nasıl dönüştürüldüğünü verirler :
(vsT,r){\ görüntü stili (ct, \ matematik {r})}
{vsT=y(vsT′+βx′)x=y(x′+βvsT′)y=y′z=z′{\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} ct = \ gama (ct '+ \ beta x') \\ x = \ gama (x '+ \ beta ct') \\ y = y '\\ z = z' \ {durumlar}}} sona erdirhangi matris formunda verir (görselleştirmesi daha kolay):
(vsTxyz)=(yβy00βyy0000100001)(vsT′x′y′z′){\ displaystyle {\ başlangıç {pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ bitiş {pmatrix}} = {\ başlangıç {pmatrix} \ gamma & \ beta \ gama & 0 & 0 \\\ beta \ gama & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} {\ start {pmatrix} ct '\\ x' \\ y '\ z ' \ bitiş {pmatrix}}}θ açısının hiperbolik fonksiyonlarını kullanarak, düzlem döndürme ile koordinat eksenlerinin değişimi için formüllere benzer ifadeler elde ederiz , ancak hiperbolik fonksiyonlarla:
{vsT=vsT′cosh(θ)+x′günah(θ)x=vsT′günah(θ)+x′cosh(θ){\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} ct = ct '\ cosh (\ teta) + x' \ sinh (\ teta) \\ x = ct '\ sinh (\ teta) + x' \ cosh (\ teta) \ {durumlar}}} sona erdirTers dönüşümler, hızın işareti değiştirilerek elde edilir.
Lorentz dönüşümleri tüm dörtlü sürücüler için geçerlidir.
Temiz zaman
Aşağıdaki nicelik koordinat değişikliğinde değişmez
vs2τ2=vs2T2-(x2+y2+z2)=vs2T′2-(x′2+y′2+z′2){\ displaystyle c ^ {2} \ tau ^ {2} \, = \, c ^ {2} t ^ {2} - (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) = \, c ^ {2} t '^ {2} - (x' ^ {2} + y '^ {2} + z' ^ {2})}ve uygun zamanı tanımlar τ.{\ görüntü stili \, \ tau \ ,.}
Oxyz referans çerçevesinde hareket eden bir parçacık düşünün . t anındaki konumu ( x , y , z ) ve hızı w ise , o zaman:
NST=11-w2vs2NSτ=y(w)NSτ{\ displaystyle {\ rm {d}} t = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {w ^ {2}} {c ^ {2}}}}} {\ rm {d }} \ tau = \ gama (w) {\ rm {d}} \ tau}
Bir saat Eğer O'x'y'z ' referans çerçevesine önlemleri süresi Bu referans çerçevesi içinde aynı yerde meydana gelen iki olay arasındaki, bu nedenle bir uzaysal mesafe ile ayrılmış , daha sonra süresi ölçülür Oxyz çerçevesi referans dır-dir:
ΔT′{\ görüntü stili \ Delta \, t '}Δx′=0{\ görüntü stili \ Delta \, x '= 0}
ΔT=ΔT′cosh(θ)=yΔT′=ΔT′1-v2vs2.{\ displaystyle \ Delta t = \ Delta t '\ cosh (\ teta) = \ gama \ Delta t' = {\ frac {\ Delta t '} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ ,.}Özellikle, harici bir kıyaslamada ölçülen süre her zaman doğal süreden daha büyüktür .
Sabit bir nesne ise O'x'y'z ' referans çerçevesi uzunluğu olan L' boyunca O'x ' ekseni bu çerçevede (in doğal uzunluk), uzunluğu L aynı zamanda ölçülen t olarak Oxyz çerçeve nesnenin önünü ve arkasını sınırlayan Ox ekseninin iki noktası arasındaki mesafeye göre referans , bu nedenle 'ye karşılık gelir :
ΔT=0{\ görüntü stili \ Delta t \, = \, 0}
NS=NS′y=NS′1-v2vs2{\ displaystyle L = {\ frac {L '} {\ gamma}} = L' {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}Bir nesnenin hareket ettiği bir referans çerçevesinde ölçülen uzunluk, nesnenin kendi uzunluğundan daha küçüktür.
Sinematik
Bir nokta olarak mobil ise O'x'y'z ' referans çerçevesi bir hız ile paralel O'x' ve modülü 'w , daha sonra hızlı olarak Oxyz çerçevesine referans paralel olan Ox ve modülüdür :
w′{\ görüntü stili \ matematik {w '}}w{\ görüntü stili \ matematik {w}}
w=w′+v1+w′vvs2{\ displaystyle w \, = \, {\ frac {w '+ v} {1 + {\ frac {w'v} {c ^ {2}}}}}}}açısal parametreleri kullanarak,
α′=NSTNSolumsuzlukH(w′vs){\ displaystyle \ alpha '\, = \, \ matrm {atanh} \ sol ({\ frac {w'} {c}} \ sağ)}
α=NSTNSolumsuzlukH(wvs){\ displaystyle \ alpha \, = \, \ matrm {atanh} \ sol ({\ frac {w} {c}} \ sağ)}
θ=NSTNSolumsuzlukH(vvs){\ displaystyle \ teta \, = \, \ matematik {atanh} \ sol ({\ frac {v} {c}} \ sağ)}
katkı yasasına sahibiz .
α=α′+θ{\ displaystyle \ alpha \, = \, \ alpha '+ \ teta}
Daha genel olarak, O'x'y'z' referans çerçevesindeki hareket noktasının hızının bileşenleri varsa , Oxyz referans çerçevesindeki hızının bileşenleri şunlardır:
w′{\ görüntü stili \ matematik {w '}}(wx′,wy′,wz′){\ görüntü stili (w_ {x} ', w_ {y}', w_ {z} ')}(wx,wy,wz){\ görüntü stili (w_ {x}, w_ {y}, w_ {z})}w{\ görüntü stili \ matematik {w}}
wx=wx′+v1+wx′vvs2{\ displaystyle w_ {x} = {\ frac {w_ {x} '+ v} {1 + {\ frac {w_ {x}' v} {c ^ {2}}}}}}
wy=1-v2vs2wy′1+wx′vvs2{\ displaystyle w_ {y} = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} {\ frac {w_ {y} '} {1 + {\ frac {w_ {x} 'v} {c ^ {2}}}}}}
wz=1-v2vs2wz′1+wx′vvs2{\ displaystyle w_ {z} = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} {\ frac {w_ {z} '} {1 + {\ frac {w_ {x} 'v} {c ^ {2}}}}}}
Ters dönüşümler, v hızının işareti değiştirilerek elde edilir .
dörtlü hız
Uzayda hareket eden bir parçacık düşünün. Bir kuadrivector oluşturan bileşenleri , parçacığın uygun zamanı nerede olduğu için aynıdır . Bu dört kat hızdır .
(vsT,r)=(vsT,x,y,z){\ görüntü stili (ct, \ mathbf {r}) = (ct, x, y, z)}(vsNSTNSτ,NSrNSτ)=(vsNSTNSτ,NSxNSτ,NSyNSτ,NSzNSτ){\ displaystyle (c {\ frac {{\ rm {d}} t} {{\ rm {d}} \ tau}}), {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {r}} {{ \ rm {d}} \ tau}}) = ({\ frac {c {\ rm {d}} t} {{\ rm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ rm {d} } x} {{\ rm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ rm {d}} y} {{\ rm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ rm { d}} z} {{\ rm {d}} \ tau}})}τ{\ görüntü stili \ tau}
Olarak , ağırlık olarak parçacık hızının modülüdür Oxyz çerçeve , dört hızlı de yazılmıştır:
NST=11-w2vs2NSτ=y(w)NSτ{\ displaystyle {\ rm {d}} t = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {w ^ {2}} {c ^ {2}}}}} {\ rm {d }} \ tau = \ gama (w) {\ rm {d}} \ tau}
y(w)(vs,NSrNST)=y(w)(vs,w){\ displaystyle \ gamma (w) (c, {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {r}} {{\ rm {d}} t}}) = \ gama (w) (c, \ matematik {w})}parçacığın referans çerçevesindeki hızı nerede dikkate alınır. Bu dörtlü sürücüye uygulanan Lorentz dönüşümü, hız bileşimi formüllerini bulmayı mümkün kılar.
w{\ görüntü stili \ matematik {w}}
ivmelerin dönüşümü
Bir nokta olarak mobil ise O'x'y'z ' referans çerçevesi , bir hız ile bileşenleri ve bir ivme bileşenlerinin , daha sonra bileşenlerin kendi hızlanma içinde Oxyz çerçevesi referans vardır:
w′{\ görüntü stili \ matematik {w '}}(wx′,wy′,wz′){\ görüntü stili (w_ {x} ', w_ {y}', w_ {z} ')}NS′=NSw′NST′{\ displaystyle \ mathbf {a '} = {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {w'}} {{\ rm {d}} t '}}}(NSx′,NSy′,NSz′){\ görüntü stili (a_ {x} ', a_ {y}', a_ {z} ')}(NSx,NSy,NSz){\ görüntü stili (a_ {x}, a_ {y}, a_ {z})}NS=NSwNST{\ displaystyle \ matematik {a} = {\ frac {{\ rm {d}} \ matematik {w}} {{\ rm {d}} t}}}
NSx=(1-v2vs2)3/2NSx′(1+wx′vvs2)3{\ displaystyle a_ {x} = \ sol (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sağ) ^ {3/2} {\ frac {a_ {x} '} {\ sol (1 + {\ frac {w_ {x} 'v} {c ^ {2}}} \ sağ) ^ {3}}}}
NSy=(1-v2vs2)NSy′(1+wx′vvs2)-NSx′wy′vvs2(1+wx′vvs2)3{\ displaystyle a_ {y} = \ sol (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sağ) {\ frac {a_ {y} '\ sol (1 + {\ frac {w_ {x} 'v} {c ^ {2}}} \ sağ) -a_ {x}' {\ frac {w_ {y} 'v} {c ^ {2}}}} {\ sol ( 1 + {\ frac {w_ {x} 'v} {c ^ {2}}} \ sağ) ^ {3}}}}
NSz=(1-v2vs2)NSz′(1+wx′vvs2)-NSx′wz′vvs2(1+wx′vvs2)3{\ displaystyle a_ {z} = \ sol (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sağ) {\ frac {a_ {z} '\ sol (1 + {\ frac {w_ {x} 'v} {c ^ {2}}} \ sağ) -a_ {x}' {\ frac {w_ {z} 'v} {c ^ {2}}}} {\ sol ( 1 + {\ frac {w_ {x} 'v} {c ^ {2}}} \ sağ) ^ {3}}}}
Ters dönüşümler, v hızının işareti değiştirilerek elde edilir .
Dörtlü hızlanma
Hıza gelince , parçacığın doğal zamanının nerede olduğu ile verilen bir ivme dörtlü sürücü tanımlayabiliriz . Bu dörtlü sürücü, Lorentz dönüşümleri ile bir referans çerçevesinden diğerine değişir. Daha önce tanımlanmış ivme ile ilişkisi , bir bileşik fonksiyonun ikinci türevini hesaplama kurallarından kaynaklanmaktadır. Not belirli bir anda partikül hızı. Sahibiz :
(vsNS2TNSτ2,NSr2NSτ2){\ displaystyle (c {\ frac {{\ rm {d ^ {2}}} t} {{\ rm {d}} \ tau ^ {2}}}, {\ frac {{\ rm {d}} \ matematik {r ^ {2}}} {{\ rm {d}} \ tau ^ {2}}})}τ{\ görüntü stili \ tau}NS=NSr2NSτ2{\ displaystyle \ matematik {a} = {\ frac {{\ rm {d}} \ matematik {r ^ {2}}} {{\ rm {d}} \ tau ^ {2}}}}w{\ görüntü stili \ matematik {w}}
NSTNSτ=y(w){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} t} {{\ rm {d}} \ tau}} = \ gama (w)}
NS2TNSτ2=y(w)NSy(w)NST=(w,NS)vs2y(w)4{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d ^ {2}}} t} {{\ rm {d}} \ tau ^ {2}}} = \ gamma (w) {\ frac {{\ rm { d}} \ gama (w)} {{\ rm {d}} t}} = {\ frac {(\ mathbf {w}, \ mathbf {a})} {c ^ {2}}} \ gama ( w) ^ {4}}, burada hız ve ivme arasındaki olağan skaler ürünü ifade eder .
(w,NS){\ görüntü stili (\ matematik {w}, \ matematik {a})}w{\ görüntü stili \ matematik {w}}NS{\ görüntü stili \ matematik {a}}
NSrNSτ=y(w)w{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} \ matematik {r}} {{\ rm {d}} \ tau}} = \ gama (w) \ matematik {w}}
NS2rNSτ2=y(w)2NS+y(w)NSy(w)NSTw=y(w)2NS+(w,NS)vs2y(w)4w{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d ^ {2}}} \ matematik {r}} {{\ rm {d}} \ tau ^ {2}}} = \ gama (w) ^ {2} \ matematik {a} + \ gama (w) {\ frac {{\ rm {d}} \ gama (w)} {{\ rm {d}} t}} \ matematik {w} = \ gama (w) ^ {2} \ mathbf {a} + {\ frac {(\ mathbf {w}, \ mathbf {a})} {c ^ {2}}} \ gamma (w) ^ {4} \ mathbf {w} }
Sol taraftaki elemanlardaki Lorentz dönüşümleri, daha önce sağ taraftaki elemanlarda görülen hız ve ivme dönüşümlerine eşdeğerdir.
Dinamik
Enerji-impuls dörtlü sürücü
Enerji ivme quadrivector hareket eden bir parçacık ürünü olan dört hızı çarpı kütle m parçacığın (istirahat):
(PT,P)=(mvsNSTNSτ,mNSrNSτ){\ displaystyle (p_ {t}, \ mathbf {p}) = (m {\ frac {c {\ rm {d}} t} {{\ rm {d}} \ tau}}), m {\ frac { {\ rm {d}} \ matematik {r}} {{\ rm {d}} \ tau}})}
Diğer bir deyişle,
(PT,Px,Py,Pz)=(mvsNSTNSτ,mNSxNSτ,mNSyNSτ,mNSzNSτ){\ displaystyle (p_ {t}, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}) = (m {\ frac {c {\ rm {d}} t} {{\ rm {d}}) \ tau}}, m {\ frak {{\ rm {d}} x} {{\ rm {d}} \ tau}}, m {\ frak {{\ rm {d}} y} {{\ rm { d}} \ tau}}, m {\ frac {{\ rm {d}} z} {{\ rm {d}} \ tau}})}
Parçacığın hızı w modülünde ise , elimizde:
w{\ görüntü stili \ matematik {w}}
NSTNSτ=y(w)≡11-w2vs2{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} t} {{\ rm {d}} \ tau}} \, = \, \ gamma (w) \ eşdeğer {\ frac {1} {\ sqrt { 1 - {\ frac {w ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}ve :
PT=mvsNSTNSτ=y(w)mvs=Evs{\ displaystyle p_ {t} = m {\ frac {c {\ rm {d}} t} {{\ rm {d}} \ tau}} = \ gama (w) mc = {\ frac {E} { vs}}}
E=y(w)mvs2=mvs21-w2vs2{\ displaystyle E = \ gama (w) mc ^ {2} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {w ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}} parçacığın enerjisidir.
öyle ki . Modülü :
(PT,P)=y(w)(mvs,mw){\ görüntü stili (p_ {t}, \ mathbf {p}) = \ gama (w) (mc, m \ mathbf {w})}P{\ görüntü stili \ matematik {p}}
P=my(w)w=mw1-w2vs2{\ displaystyle p = m \ gama (w) w = {\ frac {mw} {\ sqrt {1 - {\ frac {w ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}Düşük hızlarda w≪vs{\ görüntü stili w \, \ ll \, c}
E=mvs2+12mw2{\ displaystyle E \, = \, mc ^ {2} + {\ frac {1} {2}} mw ^ {2}}hala ilişkimiz var
P=Evs2w{\ displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {E} {c ^ {2}}} \ mathbf {w}}Aşağıdaki miktar bir referans değişikliğinde değişmezdir
E2-P2vs2=m2vs4{\ displaystyle E ^ {2} -p ^ {2} c ^ {2} \, = \, m ^ {2} c ^ {4}}Bir foton için m = 0 ve
E=Pvs{\ görüntü stili E \, = \, bilgisayar}
Kinetik enerji
Hızı w olan bir parçacığın kinetik enerjisi ,
K=E-mvs2=mvs2(11-w2vs2-1){\ displaystyle K \, = E-mc ^ {2} \, = \, mc ^ {2} \ sol ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {w ^ {2}}} { c ^ {2}}}}}} - 1 \ sağ)}İçin w≪vs{\ displaystyle w \ ll c}
K=12mw2{\ displaystyle K \, = \, {\ frac {1} {2}} mw ^ {2} \,}ve için w≃vs{\ displaystyle w \ simeq c}
K≃E≃Pvs≃mvs22(1-wvs){\ displaystyle K \ simeq E \ simeq pc \ simeq {\ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {2 (1 - {\ frac {w} {c}})}}}}
Referans formüllerinin değiştirilmesi
(Evs,P){\ görüntü stili ({\ frac {E} {c}}, \ mathbf {p})} bir dörtlü sürücü olarak, bileşenleri Lorentz dönüşümleri aracılığıyla bir referans işaretinden diğerine geçer, burada:
{Evs=y(E′vs+βPx′)Px=y(βE′vs+Px′)Py=Py′Pz=Pz′{\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} {\ frac {E} {c}} = \ gama ({\ frac {E '} {c}} + \ beta p' _ {x}) \\ p_ {x} = \ gama (\ beta {\ frac {E '} {c}} + p' _ {x}) \\ p_ {y} = p '_ {y} \\ p_ {z} = p' _ {z } \ bitiş {durumlar}}}Neresi
{Evs=E′vscosh(θ)+Px′günah(θ)Px=E′vsgünah(θ)+Px′cosh(θ)Py=Py′Pz=Pz′{\ displaystyle {\ başlangıç {vakalar} {\ frac {E} {c}} = {\ frac {E '} {c}} \ cosh (\ teta) + p' _ {x} \ sinh (\ teta) \\ p_ {x} = {\ frac {E '} {c}} \ sinh (\ teta) + p' _ {x} \ cosh (\ teta) \\ p_ {y} = p '_ {y} \\ p_ {z} = p '_ {z} \ son {durumlar}}}Ters dönüşümler, bir referans çerçevesinin yer değiştirme hızının v işaretinin diğerine göre değiştirilmesiyle elde edilir .
Quaddrivector kuvveti ve kuvvetlerin dönüşümü
Parçacık için geçerli olan olağan kuvvet , aşağıdaki Newton yasasını karşılar:
F{\ görüntü stili \ matematik {F}}
F=NSPNST{\ displaystyle \ matematik {F} = {\ frac {{\ rm {d}} \ matematik {p}} {{\ rm {d}} t}}}ve kuvvet çarpı m kütleli parçacığın hızının olağan skaler çarpımının şunu sağladığını gösterebiliriz :
(F,w){\ görüntü stili (\ mathbf {F}, \ mathbf {w})}F{\ görüntü stili \ matematik {F}}w{\ görüntü stili \ matematik {w}}
(F,w)=NSENST=NSy(w)NSTmvs2=y(w)3(w,NS)m=y(w)2(w,NS)Evs2{\ displaystyle (\ mathbf {F}, \ mathbf {w}) = {\ frac {{\ rm {d}} E} {{\ rm {d}} t}} = {\ frac {{\ rm { d}} \ gama (w)} {{\ rm {d}} t}} mc ^ {2} = \ gamma (w) ^ {3} (\ mathbf {w}, \ mathbf {a}) m = \ gamma (w) ^ {2} (\ mathbf {w}, \ mathbf {a}) {\ frac {E} {c ^ {2}}}}parçacığın ivmesi nerede .
NS=NSwNST{\ displaystyle \ matematik {a} = {\ frac {{\ rm {d}} \ matematik {w}} {{\ rm {d}} \ matematik {t}}}}
t ile ilgili bağıntıyı türeterek , şunu elde ederiz:
P=y(w)mw{\ displaystyle \ matematiği {p} = \ gama (w) m \ matematiği {w}}
F=y(w)mNS+y(w)3(w,NS)mvs2w{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ gamma (w) m \ matbf {a} + \ gamma (w) ^ {3} (\ mathbf {w}, \ matbf {a}) {\ frac {m} { c ^ {2}}} \ matematik {w}}Kuadrivector kuvveti, parçacığın özzamanının nerede olduğu ile tanımlanır . Mesela bizde:
(NSEvsNSτ,NSPNSτ){\ görüntü stili ({\ frac {{\ rm {d}} E} {c {\ rm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ rm {d}} \ matematikbf {p}} {{ \ rm {d}} \ tau}})}τ{\ görüntü stili \ tau}NSTNSτ=y(w){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} t} {{\ rm {d}} \ tau}} = \ gama (w)}
(NSEvsNSτ,NSPNSτ)=y(w)((F,w)vs,F){\ görüntü stili ({\ frac {{\ rm {d}} E} {c {\ rm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ rm {d}} \ matematikbf {p}} {{ \ rm {d}} \ tau}}) = \ gama (w) ({\ frac {(\ mathbf {F}, \ mathbf {w})} {c}}, \ mathbf {F})}Bu quadrivector modifiye edilir Oxyz referans çerçevesi için O'x'y'z ' referans çerçevesi Lorentz dönüşümleri ile. Daha sonra kuvvetin bileşenlerinin dönüştürülme şeklini elde edebiliriz :
(Fx,Fy,Fz){\ görüntü stili (F_ {x}, F_ {y}, F_ {z})}F{\ görüntü stili \ matematik {F}}
Fx=Fx+vvs2(F,w)1+vwxvs2{\ displaystyle F_ {x} = {F_ {x} + {v \ c üzerinde ^ {2}} (\ mathbf {F}, \ mathbf {w}) \ üzeri 1+ {vw_ {x} \ c üzerinde ^ {2}}}}
Fy=Fyy(1+vwxvs2){\ displaystyle F_ {y} = {F_ {y} \ üzerinde \ gama (1+ {vw_ {x} \ c üzerinde ^ {2}})}}
Fz=Fzy(1+vwxvs2){\ displaystyle F_ {z} = {F_ {z} \ üzerinde \ gama (1+ {vw_ {x} \ c üzerinde ^ {2}})}}
elektromanyetizma
Elektromanyetik alanın dönüşümü
Den kuvvetlerini kuralları Oxyz referans çerçevesi için O'x'y'z ' referans çerçevesi olması halinde, Lorentz kuvveti bir yüklü parçacık hareket uygulanan Oxyz çerçevesinde referans ve bir elektrik alanı içerisine daldırılan ve bir manyetik alan , aşağıdaki elektrik ve manyetik alan dönüşüm formüllerine yol açar, böylece Lorentz kuvvet ifadesi O'x'y'z' referans çerçevesinde geçerli kalır :
E{\ görüntü stili \ matematik {E}}B{\ görüntü stili \ matematik {B}}
{Ex′=ExEy′=y(Ey-vBz)Ez′=y(Ez+vBy)Bx′=BxBy′=y(By+vvs2Ez)Bz′=y(Bz-vvs2Ey){\ displaystyle \ left \ {{\ start {matrix} E '_ {x} = E_ {x} \\ E' _ {y} = \ gama (E_ {y} -vB_ {z}) \\ E ' _ {z} = \ gama (E_ {z} + vB_ {y}) \\ B '_ {x} = B_ {x} \\ B' _ {y} = \ gama (B_ {y} + {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ {z}) \\ B '_ {z} = \ gama (B_ {z} - {\ frac {v} {c ^ {2}}} E_ { y}) \ bitiş {matris}} \ sağ.}Maxwell denklemleri daha sonra da iki depolarda saklanır.
Yukarıdaki formüller bir quadrivector sahip olması eşdeğerdir , bir skaler potansiyeli ve vektör potansiyel başka referans bir çerçeveden gidince Lorentz dönüşümleri ile modifiye edilir.
(ϕvs,İLE){\ görüntü stili ({\ frac {\ phi} {c}}, \ matematik {A})}ϕ{\ görüntü stili \ phi}İLE{\ görüntü stili \ matematik {A}}
Çeşitli fenomenler
ν{\ görüntü stili \ nu}Frekans olarak alınan Oxyz çerçeve arasında referans sabit bir kaynağı tarafından yayılan bir sinyalin O'x'y'z ' referans çerçevesi , bir ile doğal frekansı , foton ile yaptığı açı Ox' ekseni olarak O çerçevenin X'Y'Z '' bu kaynağın, eksen açı Ox olarak Oxyz koordinat sistemi , ile ilgili olarak kaynak hızını Oxyz ve radyal hız elde ederiz:
ν′{\ görüntü stili \ nu '}θ′{\ görüntü stili \ teta '\,}θ{\ görüntü stili \ teta \,}v{\ görüntü stili v \,}vr≡vçünkü(θ′){\ displaystyle v_ {r} \ eşdeğer v \ cos (\ teta ')}
ν=y(1+βçünkü(θ′))ν′≡1+vrvs1-v2vs2ν′{\ displaystyle \ nu \, = \, \ gamma \, (1+ \ beta \ cos (\ teta ')) \ nu' \ equiv {\ frac {1 + {\ frac {v_ {r}} {c} }} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \, \ nu '}Düşük hızlarda v≪vs{\ görüntü stili v \ ll c}
Δνν≡ν-ν′ν′≃ν-ν′ν≃vrvs.{\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ nu} {\ nu}} \ eşdeğer {\ frac {\ nu - \ nu '} {\ nu'}} \ simeq {\ frac {\ nu - \ nu '} { \ nu}} \ simeq {\ frac {v_ {r}} {c}} \ ,.}Kaynak uzaklaşırsa, v pozitiftir, negatiftir, negatiftir, böylece frekans azalır (dalga boyu artar, bu kırmızıya kaymadır ).
çünkü(θ′){\ displaystyle \ cos (\ teta ')}vr=vçünkü(θ′){\ displaystyle v_ {r} \, = \, v \ cos (\ teta ')}
Yukarıdaki ile aynı gösterimlerle, elimizde:
{çünkü(θ′)=β+çünkü(θ)1+βçünkü(θ)günah(θ′)=1ygünah(θ)1+βçünkü(θ){\ displaystyle {\ start {vakalar} \ cos (\ teta ') = {\ frac {\ beta + \ cos (\ teta)} {1+ \ beta \ cos (\ teta)}} \\\ günah (\ teta ') = {\ frac {1} {\ gamma}} {\ frac {\ günah (\ teta)} {1+ \ beta \ cos (\ teta)}} \ son {vakalar}}}dörtlü dalga
Önceki iki fenomen bir sahip olmasına türetilir dalga vektör , bir darbe dalga ve dalga vektörü bu Lorentz dönüşümlerini uyguladığında,.
(ωvs,k){\ görüntü stili ({\ frac {\ omega} {c}}, \ mathbf {k})}ω{\ görüntü stili \ omega}k{\ görüntü stili \ matematik {k}}
İlgili Makaleler