Lorentz dönüşümleri

Bu makale Lorentz dönüşümlerini teknik bir bakış açısıyla sunmaktadır. Bu konuda daha genel fiziksel bilgi edinmek isteyen okuyucu, özel görelilik makalesine başvurabilir .

Lorentz dönüşümleri doğrusal dönüşümler olan koordinatları bir noktanın Minkowsky uzay-zaman dört boyutlu. Özel görelilikte , fizik denklemlerinin korunduğu ve tüm Galile referans çerçevelerinde ışık hızının aynı kaldığı Galile referans çerçevesinin değişim yasalarına karşılık gelirler . Bazen relativistik eşdeğer kabul edilmektedir Galileo dönüşümleri arasında klasik mekaniğin .

En yaygın biçim şudur:

{t′=γ(t-vxvs2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} t '& = \ gamma \ sol (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ sağ) \\ x' & = \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {hizalı}} \ sağ.}

Burada ( t , x , y , z ) ve ( t ', X ', Y ', Z ') bir koordinatlarını temsil durumunda olan nispi hız referans iki eylemsiz içinde eksenine paralel olan , bir hız hafif ve Lorentz faktörü olduğunu . v{\ displaystyle v}x{\ displaystyle x}vs{\ displaystyle c}γ=11-v2vs2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

"Lorentz dönüşümleri" terimi, yukarıda sunulan koordinat değişikliklerine, bazen özel Lorentz dönüşümleri veya Lorentz yükseltmesi olarak veya Lorentz grubu olarak adlandırılan daha büyük bir kümeye atıfta bulunabilir . Bu grup, özel görelilik varsayımları ile uyumlu doğrusal dönüşümler dizisinden oluşur , yani Minkowski uzay değişmezinin sözde normunu terk edenler . Lorentz grubu, yalnızca herhangi bir uzay boşluğu yönü için Lorentz yükseltmelerini değil , aynı zamanda statik uzay dönüşleri adı verilen uzay çerçevesinin dönüşlerini de içerir. Çerçevesinde göreli kuantum kuram ve bilgi temel parçacıkların , ters dönüşüm zaman duygusu ve uzay çerçevesinin yönünü bunlar özel görelilikte anlamsız görünse de, kabul edilir. Lorentz grubunun kendisi , önceki tanımı doğrusal dönüşümlerle sınırlı kalmadan afin dönüşümlere genişleten Poincaré grubunun bir alt grubudur . Poincaré grubu böylece, uzay-zaman referans çerçevesinin kökenindeki bir kaymayı içerenler de dahil olmak üzere, özel görelilikte yetkilendirilmiş tüm referans çerçevesi değişikliklerini temsil etmeyi mümkün kılar.

"Matematiksel fizik üzerine Deux Mémoires de Henri Poincaré" yayının girişinde, Acta Matematica , cilt. 38, p.  293-308 , 1921'de Hendrik Lorentz , Maxwell denklemlerinin , Henri Poincaré'nin bu yasayı Lorentz adıyla vaftiz ederek matematiksel olarak ortaya koyduğu herhangi bir Galile referans çerçevesinde aynı şekilde yazılmasını sağlamak olduğunu belirtir . İkincisi, daha sonra kusurlu bulduğu bir versiyonunu vermişti.

En yaygın sunumlar

İki Galile referans çerçevesini ve biri diğerine göre tekdüze doğrusal çeviride ele alıyoruz , öyle ki , ekseninin yönüne göre hızla hareket ediyor . Sırasıyla ve üç uzamsal koordinatı ve bu referans çerçevelerinin her birinden gözlemlenen aynı olayı bulmayı mümkün kılan zamanı gösteririz . R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}v{\ displaystyle v}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}x{\ displaystyle x} (t,x,y,z){\ displaystyle \ (t, x, y, z)} (t′,x′,y′,z′){\ displaystyle \ (t ', x', y ', z')}

Bu iki referans çerçevesi arasındaki Lorentz dönüşümleri şu şekildedir:

Lorentz dönüşümü ( yön ) x{\ displaystyle x} {t′=γ(t-vxvs2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} t '& = \ gamma \ sol (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ sağ) \\ x' & = \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {hizalı}} \ sağ.}

ile ve . γ=11-β2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} ~} β=v/vs{\ displaystyle ~ \ beta = v / c}

Parametre , belirli bir dönüşüm için sabittir. Mutlak değeri şuna eşit veya daha büyük olamayan, pozitif veya negatif bir cebirsel niceliktir  : (des ekseninin pozitif yönündeki bir yer değiştirme pozitif olarak sayılır). Bu nedenle sadece ışık altı hızlara izin verilir ve bu nedenle olası değerler şunlardır: ve . v{\ displaystyle v}vs{\ displaystyle c}-vs<v<vs {\ displaystyle -c <v <c ~}x{\ displaystyle x}β{\ displaystyle \ beta}γ{\ displaystyle \ gamma} -1<β<1 {\ displaystyle ~ -1 <\ beta <1 ~} 1≤γ<+∞{\ displaystyle ~ 1 \ leq \ gamma <+ \ infty}

Bu sınırların dışındaysa dönüşümler tanımlanmaz . Gerçekten de, sonsuz bir değer alır ve bir hale karmaşık sayı için . Zaman ve mekanın koordinatları ölçülebilir büyüklüklerdir, değerleri zorunlu olarak gerçek bir sayı ile tanımlanır . v{\ displaystyle v}γ{\ displaystyle \ gamma}v=vs{\ displaystyle v = c}v>vs{\ displaystyle v> c}

Dahası, görelilik ilkesi sayesinde, Galile'deki hiçbir referans çerçevesi diğerine göre ayrıcalıklı değildir. Bu nedenle, dönüşümler gitmek için için gelen gitmek için aynı formda olmalıdır için . Tek asimetri, göreceli olarak hızda hareket etmesidir . Ters dönüşümler şu şekilde yazılır: R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}-v{\ displaystyle -v}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}

Ters Lorentz dönüşümü ( yön ) x{\ displaystyle x} {t=γ(t′+vx′vs2)x=γ(x′+vt′)y=y′z=z′{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} t & = \ gamma \ sol (t '+ {\ frac {vx'} {c ^ {2}}} \ sağ) \\ x & = \ gamma \ left (x '+ vt' \ right) \\ y & = y '\\ z & = z' \ end {hizalı}} \ sağ.}

Lorentz dönüşümleri burada koordinatların pasif dönüşümleri  (in) olarak sunulmuştur , başka bir deyişle, aynı olayın iki farklı referans çerçevesinden gözlemlenme şeklini karşılaştırdık. Başka bir bakış açısı, onları referans çerçevesini değil, fiziksel sistemin kendisini etkileyen aktif dönüşümler olarak düşünmekten ibarettir . Yeni koordinatlar daha sonra olguyu, tüm sistem aynı referans çerçevesinde ekseni boyunca hızda tekdüze doğrusal bir harekete başlatılacak olsaydı gözlemleneceği gibi tanımlar .  (t′,x′,y′,z′){\ displaystyle \ (t ', x', y ', z')}-v{\ displaystyle -v}x{\ displaystyle x}

Alternatif formlar

• Kullanarak , dönüşümlerin daha simetrik bir yazımını elde ederiz:β=v/vs{\ displaystyle \ beta = v / c}

 {vst′=γ(vst-β.x)x′=γ(x -β.vst)y′=yz′=z{\ displaystyle \, ~ \ sol \ {{\ başlar {hizalı} ct '& = \ gamma \ left (ct- \ beta .x \ sağ) \\ x' & = \ gamma \ left (x ~ - \ beta .ct \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {hizalı}} \ right. \,}

• Bir çift olay için. Koordinatlardaki farklılıkları ele alan bir biçim daha ilginç görünebilir, çünkü aslında deneysel olarak ölçülen veya fiziksel düzlemde ilgi çekici olan uzunluklar ve zaman aralıklarıdır . Not etmek sureti ile ve referans, her çerçeve, Lorentz dönüşümleri potansiyel doğrusallığı gözlenen iki olay arasındaki koordinat farklılıklar: Δx,Δy,...{\ displaystyle \ \ Delta x, \ Delta y, ...} Δx′,Δy′,...{\ displaystyle \ \ Delta x ', \ Delta y', ...}

{Δt′=γ(Δt-vΔxvs2)Δx′=γ(Δx-vΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} \ Delta t '& = \ gamma \ sol (\ Delta t - {\ frac {v \ Delta x} {c ^ {2}}} \ sağ) \\ \ Delta x '& = \ gamma \ left (\ Delta xv \ Delta t \ right) \\\ Delta y' & = \ Delta y \\\ Delta z '& = \ Delta z \ end {hizalı}} \ sağ .}

• Göreli kuantum teorisinde, zamansal tersine çevirme T ve uzaysal tersine çevirme P de kabul edilir. Fiziğin denklemlerini ( elektrik yükünün olmadığı durumda) değişmez bırakan Lorentz dönüşümleri şu şekildedir:

 {vsΔt′=ϵ1γ(vsΔt-βΔx)Δx′=ϵ2γ(Δx-βvsΔt)Δy′=ϵ2ΔyΔz′=ϵ2Δz,{\ displaystyle \, ~ \ sol \ {{\ başlar {hizalı} c \ Delta t '& = \ epsilon _ {1} \ gamma \ sol (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ sağ) \\\ Delta x '& = \ epsilon _ {2} \ gamma \ left (\ Delta x- \ beta c \ Delta t \ right) \\\ Delta y' & = \ epsilon _ {2} \ Delta y \\\ Delta z '& = \ epsilon _ {2} \ Delta z \ end {hizalı}} \ sağa. \ ,,}nerede zamansal ve / veya uzamsal yönde bir değişiklik olursa göstermektedir.ϵben=±1{\ displaystyle \ epsilon _ {i} = \ pm 1}Not: Daha genel olarak, kuantum fiziğinde kullanılan herhangi bir dönüşüm , özel göreliliğin Lorentz grubunun (orthochronous ve uygun) bir dönüşümü ile formdadır ve . Eigen ve orthochronous dönüşümler grubu olan bağlı bu ayrıştırma Lorentz grubu dört bağlı bileşenlerin oluştuğuna işaret etmektedir.S⋅Λ{\ displaystyle S \ cdot \ Lambda}Λ{\ displaystyle \ Lambda}S∈{bend;T;P;TP}{\ displaystyle S \ in \ {Id; T; P; TP \}}

Matris sunumu

Matris biçiminde Lorentz dönüşümleri yazılır:

[vst′x′y′z′]=[γ-βγ00-βγγ0000100001][vstxyz]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ beta \ gamma & 0 & 0 \\ - \ beta \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}

not edilen matris aşağıdaki beklenen özellikleri karşıladığında: Λ{\ displaystyle \ Lambda}

• det(Λ)=+1{\ displaystyle \ det (\ Lambda) = + 1}, bu da dönüşümün alanın yönünü koruduğu anlamına gelir .
• ΛT η Λ=η {\ displaystyle \ Lambda ^ {T} ~ \ eta ~ \ Lambda = \ eta ~}, Minkowski metriği nerede , yani matris sözde ortogonaldir ve Minkowski uzayının sözde normunu korur .η{\ displaystyle \ eta}  η=dben-deg(1,-1,-1,-1){\ displaystyle ~ \ eta = \ mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}

Ters dönüşüm şu şekilde verilir: Λ-1{\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1}}

[vstxyz]=[γβγ00βγγ0000100001][vst′x′y′z′]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ beta \ gamma & 0 & 0 \\ beta \ gamma & \ gama & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t '\\ x' \\ y ' \ z '\ end {bmatrix}}}

4 × 4 matris biçimindeki bu yazı , Lorentz grubunun standart temsiline karşılık gelir (½, ½). Bu gösterim altında dönüştürülen nesneler, dört sürücüdür (burada, zaman konumlu dört sürücü). Bununla birlikte, diğer matris gösterimleri mümkündür ve Lorentz dönüşümlerinin farklı yapıdaki nesnelere uygulanmasını mümkün kılar (örneğin: elektromanyetik alan , Dirac bispiners ...).

Hiperbolik rotasyon olarak sunum

Tanımlar ve takip eder . Hiperbolik trigonometri ilişkisi ile analoji , hızlılığı şöyle ifade ederek tanımlamayı mümkün kılar :  γ=11-β2 {\ displaystyle ~ \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} ~} β=v/vs ,{\ displaystyle ~ \ beta = v / c ~,} γ2-(γβ)2=1{\ displaystyle \ \ gama ^ {2} - (\ gama \ beta) ^ {2} = 1}
 cosh2⁡ϕ-sinh2⁡ϕ=1 {\ displaystyle ~ \ cosh ^ {2} \ phi - \ sinh ^ {2} \ phi = 1 ~} ϕ{\ displaystyle \ phi}

 cosh⁡(ϕ)=γ≥1 {\ displaystyle ~ \ cosh (\ phi) = \ gamma \ geq 1 ~}ve ile . sinh⁡(ϕ)=γβ∈R,{\ displaystyle ~ \ sinh (\ phi) = \ gamma \ beta \ in \ mathbb {R} \ ,,}ϕ=tartışmak⁡(v/vs)∈R{\ displaystyle \ phi = \ operatorname {argth} {\ sol (v / c \ sağ)} \ in \ mathbb {R}}

Herhangi bir özel Lorentz dönüşümü böylece yazılabilir:

[vst′x′y′z′]=[cosh⁡(ϕ)-sinh⁡(ϕ)00-sinh⁡(ϕ)cosh⁡(ϕ)0000100001][vstxyz] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh (\ phi) & - \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \\ - \ sinh (\ phi) & \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ uç {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}

Ve tersi biçim:

[vstxyz]=[cosh⁡(ϕ)sinh⁡(ϕ)00sinh⁡(ϕ)cosh⁡(ϕ)0000100001][vst′x′y′z′] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cosh (\ phi) & \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \ \\ sinh (\ phi) & \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct '\ x' \ y '\\ z' \ end {bmatrix}} \.}

Bir benzerlik dönme matrisi , bir şekilde, herhangi bir özel Lorentz dönüşümü görmek için sıradan alan derivasyonlarda açısı hiperbolik dönme içinde Minkowsky uzay-zaman ( hızıdır). Ancak bu "dönme", zamansal koordinatı da etkileme özelliğine sahiptir. Psödo-dikgen karakter dönme bu dönüşümler gerçekten olduğu gösterir matrisler izometri arasında tasvirine.ϕ{\ displaystyle \ phi}ϕ{\ displaystyle \ phi}

Çapraz formda sunum

Hiperbolik trigonometri fonksiyonlarının tanımları ve özellikleriyle , Lorentz dönüşümlerinin biraz farklı bir sunumunu elde ederiz:

{vst′-x′=eϕ(vst-x)vst′+x′=e-ϕ(vst+x)y′=yz′=z.{\ displaystyle {\ begin {case} ct'-x '= e ^ {\ phi} (ct-x) \\ ct' + x '= e ^ {- \ phi} (ct + x) \\ y' = y \\ z '= z. \ end {vakalar}}}

Ya matris biçiminde:

[vst′-x′vst′+x′y′z′]=[eϕ0000e-ϕ0000100001][vst-xvst+xyz] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct'-x '\\ ct' + x '\\ y' \\ z '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} e ^ {\ phi} & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & e ^ {- \ phi} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } ct-x \\ ct + x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}

İki ekseni ışık konisinin düzlemle (Oxt) veya (Ox't ') diğer referans işaretiyle kesişme noktasını oluşturan işaret seçeneklerine sahip köşegenleştirilmiş bir şekil nedir ve hangilerinin' içinde gerçekleştirilmesi imkansızdır? üç boyutlu fiziksel uzay .

Herhangi bir yön için sunum

Lorentz dönüşümleri uzayda herhangi bir yöne genelleştirilebilir. Birbirine göre düzgün doğrusal çeviri iki Galilean referans çerçeve, bu göreceli hareketi Bunun için ilgili olarak bir ile tarif edilir hız vektörü ve iki referans çerçevelerinin kökeni denk şekilde , dönüştürme vektörü şeklinde yazılır : R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} v{\ displaystyle \ mathbf {fi.}}t=t′=0{\ displaystyle t = t '= 0}

Lorentz dönüşümü ( herhangi bir yön v ) {t′=γ(t-v⋅rvs2)r′=r+(γ-1)(r⋅vv2)v-γtv{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} t '& = \ gamma \ sol (t - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r}} {c ^ {2}}} \ sağ) \\\ mathbf {r '} & = \ mathbf {r} + (\ gamma -1) \ left ({\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}} {v ^ {2} }} \ sağ) \ mathbf {v} - \ gamma t \ mathbf {v} \ end {hizalı}} \ sağ.}

nerede ve nerede ve her bir referans çerçevesinden gözlemlenen uzamsal koordinatları atayın. Bu formüller, tüm eylemsiz referans çerçevelerinde doğal olarak geçerli kalmalıdır. Göreceli hareketi ile ilgili olarak vektör ile tarif edilmektedir , ters dönüşüm nedenle yazılıdır: |v|=v{\ displaystyle | \ mathbf {v} | = v}r=(x,y,z){\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}r′=(x′,y′,z′){\ displaystyle \ mathbf {r '} = (x', y ', z')}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}-v{\ displaystyle - \ mathbf {fi.}}

Ters Lorentz dönüşümü ( yön - belirtilmemiş v ) {t=γ(t′+v⋅r′vs2)r=r′+(γ-1)(r′⋅vv2)v+γt′v{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} t & = \ gamma \ sol (t '+ {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r'}} {c ^ {2}}} \ right) \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r '} + (\ gamma -1) \ left ({\ frac {\ mathbf {r'} \ cdot \ mathbf {v}} {v ^ { 2}}} \ sağ) \ mathbf {v} + \ gamma t '\ mathbf {v} \ end {hizalı}} \ sağ.}

Matris yazmada şunu elde ederiz:

X′=ΛX{\ displaystyle X '= \ Lambda X}

ile:

Λ=[γ-γvx/vs-γvy/vs-γvz/vs-γvx/vs1+(γ-1)vx2v2(γ-1)vxvyv2(γ-1)vxvzv2-γvy/vs(γ-1)vyvxv21+(γ-1)vy2v2(γ-1)vyvzv2-γvz/vs(γ-1)vzvxv2(γ-1)vzvyv21+(γ-1)vz2v2],X′=[vst′x′y′z′]veX=[vstxyz].{\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ gamma v_ {x} / c & - \ gamma v_ {y} / c & - \ gamma v_ {z} / c \\ - \ gamma v_ {x} / c & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} ^ {2}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {y}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {y} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {x}} {v ^ {2}}} ve 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} ^ {2 }} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {z} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {x}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {y}} {v ^ {2}}} & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} ^ {2}} {v ^ {2}}} \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad X '= { \ begin {bmatrix} c \, t '\ \ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} \ quad {\ textrm {et}} \ quad X = {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \,.}

Diğer boyutlar için sunum

Quadrivektörler

Lorentz dönüşümleri başlangıçta zaman ve uzay koordinatlarındaki değişiklikler olarak sunulsa da , bunlar daha genel olarak bir dört sürücü tarafından tanımlanabilen herhangi bir fiziksel niceliğe uygulanır (dört sürücü, tanımı gereği bileşenleri aynı şekilde dönüştürülen dört boyutlu bir vektördür. zaman ve uzay koordinatları). Koordinatları değiştirirken , bu nedenle bir dört sürücü , doğrusal matris ilişkisi ile dönüştürülür: X{\ displaystyle X}X′{\ displaystyle X '}

X′=ΛX{\ displaystyle X '= \ Lambda X}

standart gösterimde 4 × 4 matris ile ifade edilen bir Lorentz dönüşümü burada . Ayrıca, ayarlayarak ile, herhangi bir quadrivector sözde normu ile verilir biçimde bir ilişki ve tatmin: Λ{\ displaystyle \ Lambda}X=(AT,Z){\ displaystyle X = (A, \ mathbf {Z})}Z=(Zx,Zy,Zz){\ displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {x}, Z_ {y}, Z_ {z})} X⋅X=XTηX {\ displaystyle ~ X \ cdot X = X ^ {\ mathrm {T}} \ eta X ~}

X⋅X=X′⋅X′⟺AT2-Z⋅Z=AT′2-Z′⋅Z′{\ displaystyle X \ cdot X = X '\ cdot X' \ quad \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ quad A ^ {2} - \ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {Z} = {A '} ^ {2 } - \ mathbf {Z} '\ cdot \ mathbf {Z}'}

dört sürücü normunun göreceli bir değişmez olduğunu gösterir .

Dört sürücü	AT	Z	X
Dörtlü sürücü konumu	Zaman	Vektör pozisyonu	(vst;r){\ displaystyle \ sol (ct; \ mathbf {r} \ sağ)}
Quadrivector dürtü	Enerji	Momentum vektör	(Evs;p){\ displaystyle \ sol ({\ tfrac {E} {c}}; \ mathbf {p} \ sağ)}
Dört sürücü hızı	Işık hızı	Hız vektörü	γsen(vs;sen){\ displaystyle \ gamma _ {u} \ sol (c; \ mathbf {u} \ sağ)}
Dört sürücü kuvveti	Mekanik Güç	Kuvvet vektörü	γsen(F⋅senvs;F){\ displaystyle \ gamma _ {u} \ sol ({\ tfrac {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}; \ mathbf {F} \ sağ)}
Potansiyel dört sürücü	Elektrik potansiyeli	Manyetik vektör potansiyeli	(Φvs;AT){\ displaystyle \ sol ({\ tfrac {\ Phi} {c}}; \ mathbf {A} \ sağ)}
Quadrivector akım yoğunluğu	Elektrik yüklerinin yoğunluğu	Akım yoğunluğu vektörü	(ρvs;J){\ displaystyle \ sol (\ rho c; \ mathbf {J} \ sağ)}
Dört sürücü dalgası	Nabız	Dalga vektör	(ωvs;k){\ displaystyle \ sol ({\ tfrac {\ omega} {c}}; \ mathbf {k} \ sağ)}
Quadrivector dönüşü	-	Çevirmek	(st;S){\ displaystyle \ sol (s_ {t}; \ mathbf {S} \ sağ)}

Ancak, dört sürücü şeklinde yazılamayan miktarlar vardır. Bu, örneğin açısal momentum ve ayrıca elektrik alanı ve manyetik alan için geçerlidir . Açısal momentum tanımı gereği olduğunu ve bir sonraki olur boost . Alanları ile ilgili olarak ve bunlar iki tamamlayıcı unsurunu oluşturan elektromanyetik alan ve bu yüzden ayrı transforme edilemez. Lorentz kuvvetini bu alanların tanımı olarak alarak, kovaryans ilkesinin elektromanyetizma yasalarına uygulanması , ifadenin eylemsiz referans çerçevesinin değişmesinden sonra özdeş bir formda kalması gerektiği anlamına gelir . L{\ displaystyle \ mathbf {L}} E{\ displaystyle \ mathbf {E}} B{\ displaystyle \ mathbf {B}}L=r×p{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}} L′=r′×p′{\ displaystyle \ mathbf {L} '= \ mathbf {r}' \ times \ mathbf {p} '}E{\ displaystyle \ mathbf {E}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}F=q(E+v×B){\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}F′=q(E′+v′×B′){\ displaystyle \ mathbf {F} '= q (\ mathbf {E}' + \ mathbf {v} '\ times \ mathbf {B}')}

Elektromanyetik alan

Alan dönüşümünün formülleri ve bu iki niceliğin 6 bileşenli bir matematiksel nesnede birleştirildiğini öne sürüyor: 2. derece çarpıklığın bir tensörü , yani bir ikiye ayırıcı . Elektromanyetik tensör olan matris formunda yazılır: E{\ displaystyle \ mathbf {E}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}

Fμν=(0-Ex/vs-Ey/vs-Ez/vsEx/vs0-BzByEy/vsBz0-BxEz/vs-ByBx0){\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} ve 0 \ end {pmatrix}} \ quad}( İmza sözleşmesi (+ - - -))

Lorentz dönüşümünden sonra elde edilen alanlar aşağıdaki şekilde matris formunda verilir: F′{\ displaystyle F '}Λ{\ displaystyle \ Lambda}

F′=ΛFΛT{\ displaystyle F '= \ Lambda F \ Lambda ^ {T}}

veya gergin yazıyla  :

F′μν=ΛμρΛνσFρσ{\ displaystyle F '^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ sigma} F ^ {\ rho \ sigma}}

Eksen boyunca basit bir destek için şunu elde ederiz: x{\ displaystyle x}

{Ex′=ExEy′=γ(Ey-βvsBz)Ez′=γ(Ez+βvsBy)Bx′=BxBy′=γ(By+βvsEz)Bz′=γ(Bz-βvsEy){\ displaystyle \ sol \ {{\ başla {hizalı} E '_ {x} & = E_ {x} {\ frac {} {}} \\ E' _ {y} & = \ gama (E_ {y} - \ beta cB_ {z}) {\ frac {} {}} \\ E '_ {z} & = \ gamma (E_ {z} + \ beta cB_ {y}) {\ frac {} {}} \ \ B '_ {x} & = B_ {x} \\ B' _ {y} & = \ gamma (B_ {y} + {\ tfrac {\ beta} {c}} E_ {z}) \\ B '_ {z} & = \ gamma (B_ {z} - {\ tfrac {\ beta} {c}} E_ {y}) \ end {hizalı}} \ sağ.}

Diğer miktarlar

Bileşenleri olan genel bir nesne için Lorentz dönüşümleri yazılmıştır: değil{\ displaystyle n}

X′=Π(Λ) X{\ displaystyle {X '} = {\ Pi (\ Lambda)} ~ X}

ile temsil bir matris ilişkilendiren bir dönüşüm ile . Farklı Lorenz grubu temsilleri (in) imal edilmiştir Lie cebir Lorentz grubunun matris üs . Π{\ displaystyle \ Pi}Λ{\ displaystyle \ Lambda}değil×değil{\ displaystyle n \ kere n} 

Fiziksel çıkarımlar

Lorentz dönüşümleri ile paralellik göstermektedir Galile dönüşümleri arasında klasik mekaniğin  :

Galileo'nun dönüşümü  {t′=tx′=x-vty′=yz′=z{\ displaystyle \, ~ \ sol \ {{\ başlar {hizalı} t '& = t \\ x' & = x-vt \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {hizalı}} \ sağ.}

{\ displaystyle ~~~~~~~~}

Lorentz dönüşümü {t′=γ(t-vx/vs2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {hizalı} t '& = \ gamma \ sol (t-vx / c ^ {2} \ sağ) \\ x' & = \ gama \ sol (x-vt \ sağ ) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {hizalı}} \ sağ.}

Klasik durumun aksine, zamansal koordinatın artık referans çerçevesinin değişikliğinden etkilendiğini, zamanın artık görelilikte mutlak olarak kabul edilemeyeceğini not ediyoruz. İki olay arasındaki eşzamanlılık kavramı göreceli hale gelir; bu , bir referans çerçevesinde iki eşzamanlı olayın bir diğerinde mutlaka böyle olmadığı anlamına gelir . Parantezlerin önünde bulunan faktör , uzunlukların kısalması ve sürelerin genişlemesi gibi olayların ortaya çıkmasına neden olur . Mutlak bir uzay ve zaman kavramından vazgeçilmesi , yayılması için mekanik bir destek olarak hizmet eden bir eterin varlığını öne süren klasik görüşün aksine, tüm Galile referans çerçevelerinde c'nin değişmezliğini garanti etmeyi mümkün kılar . ışık dalgaları. γ{\ displaystyle \ gamma}

Göreceli olmayan sınırlar

Galileo Grubu

Lorentz grubunun formülleri , cismin hızının ışığınkine göre küçük olduğu veya aynı anlama geldiği durumda, ışık hızının sonsuzluğa yönelmesini sağlayarak yaklaştırılabilir . Formüllerdeki terimi ihmal ederek, klasik fizikteki referans çerçevesi değişikliklerine karşılık gelen dönüşümler grubu olan Galileo grubunu buluruz .  v{\ displaystyle \ v} vs{\ displaystyle \ c} v/vs{\ displaystyle \ v / c}

Carroll'ın grubu

Carroll grubu, büyük uzay benzeri aralıklarla ilgilendiğimizde, Lorentz grubunun öğelerinin başka bir göreceli olmayan yaklaşımıdır . Jean-Marc Lévy-Leblond tarafından 1965'te keşfedilen bu yaklaşım, kaşifine göre sadece eğitim amaçlıdır.

Dönüşümleri bulmak için farklı yöntemler

• Einstein, özel görelilik için bir yöntem başlattı:

Kaynaktan görelilik ilkesi ve değişmezliği ışık hızı referansı, çerçevenin değişiklikten assumed homojenlik ve izotropi ölçü, mekan ve mümkün referans yapmak iki eylemsiz görmek için bir ideal bir durumda bir geometrik gösterimini kullanarak uzunluklar ve bir referans çerçevesinden diğerine geçen süre, farklı formüller, katsayıların bulunması gereken bir doğrusal denklemler sistemi ile gösterilir. Fiziksel olmayan dönüşümler bazen, ikinci dereceden bir denklemde pozitif çözümün seçimi ile detaylandırılmadan atılır; bu , geometrik olarak gösterilen , sağ elinkine benzer bir kural tarafından referans işaretlerinin oryantasyonunun fiziksel varsayımından kaynaklanan bir seçimdir. muhakemeye eşlik eden temsil.

• Relativistik kuantum fizikte, olarak kuantum alan teorisi , kullanılan dönüşümler olarak tanımlanır simetrileri arasında tasvirine (yokluğunda değişmeden denklemler bırakmak elektrik yükü ). Bu, uzay-zaman aralığını değiştirmeden bırakan doğrusal dönüşümlerin belirlenmesi anlamına gelir  : Bu, gözlemciler için referans çerçevesi değişikliklerinin bu dönüşümlerden yalnızca birkaçı olduğu ve hepsini bulmayı mümkün kılan matematiksel bir tanımdır.
  Bu yöntem aynı zamanda bazı özel görelilik ders kitaplarında da kullanılır, uzay-zaman aralığının referans çerçevesinin değiştirilmesiyle değişmezliğinin doğrudan özel göreliliğin iki aksiyomundan geldiğini ve buna uymayan dönüşümleri ortadan kaldırarak gösterildikten sonra kullanılır. üç boyutlu yer işaretleri için yönelim kuralı ( genel olarak sağ el kuralı ) ve zaman ekseninin geleceğe yönelimi  ; eleme çeşitli şekillerde yapıldı, bazen bariz olanın mührü ile işaretlendi ve bazen daha haklıydı.

• Bu dönüşümleri uzay-zamanın dört boyuta doğrusal uygulamalarını arayarak da bulabiliriz, ancak bir metrik olmadan , Maxwell denklemlerinin şeklini koruyarak .

Geometrik yöntem

Fiziksel uzay-zamanın , yalnızca eylemsiz olanların dikkate alındığı referans çerçevelerinin bu afin uzayın afin referans çerçeveleriyle tanımlandığı afin bir uzay olduğu varsayılır . Ek olarak, koordinatlara yalnızca sabit sayıların eklenmesiyle ortaya çıkan referans çerçeveleri arasındaki sabit ötelemeler ihmal edilir. Bu nedenle, koordinatların dönüşümü, bir matris ile temsil edilebilen doğrusal bir harita aracılığıyla gerçekleştirilir  :

Gösteri

İki referans çerçevesi Izin ve Ox ekseni boyunca bir nispi hız v, paralel eksenler üzerinde birbirlerine göre doğrusal çeviri. Olsun referans çerçevesi içinde bir durumun uzay-zaman koordinatları ve referans çerçevesi içinde koordinatları . (Gösterimleri basitleştirmek için, bu paragrafta diğer iki uzamsal bileşen y ve z dikkate alınmayacaktır ). R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}(x,t){\ displaystyle (x, t) \ dört}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}(x′,t′){\ displaystyle (x ', t') \ dört}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '\ quad}

• Görelilik ilkesinin kullanımı  :

Görelilik ilkesine göre, doğrusal dönüşümün katsayıları yalnızca referans çerçeveleri arasındaki göreceli hıza bağlıdır ve bu iki referans çerçevesinin dışında hiçbir şey dikkate alınmaz. Daha fazla kesinlik için, referans çerçevelerinin göreceli hızları söylenmelidir , konuya biraz daha yaklaşılır.

• Işık hızının ilk kullanımı  :

Referans çerçevesinde, bir ışık sinyalinin pozitif xs yönünde, dolayısıyla ışık hızında yer değiştirmesini düşünürsek, o zaman . Ancak bu hız, referans çerçevesinde aynı olduğundan, bu referans çerçevesinden görülen aynı sinyalin yer değiştirmesi dikkate alındığında, x'in ekseni x'inki ile aynı yönelimdedir ve aynı şekilde zamansal eksenler için sahip olmalıyız . Aynı şekilde, gelen sinyali dikkate alarak başlayın .R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} x=vst{\ displaystyle \ x = ct}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} x′=vst′{\ displaystyle \ x '= ct'}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}Bu nedenle: x-vst=0⟺x′-vst′=0{\ displaystyle x-ct = 0 \ Longleftrightarrow x'-ct '= 0} Ve x, t, x gibi bir 'T' sabit katsayılı ilişkileri ile bağlı olan, bizim sahip olmalıdır ve (a, b, a 've b', sabit katsayılar), nereye , ya da , bizim onlardan dolayısıyla için belirli bir sabit. x′=-de.x+b.vst{\ displaystyle \ x '= a.x + b.ct} vst′=-de′.x+b′.vst{\ displaystyle \ ct '= a'.x + b'.ct} x′-vst′=λ1.x-λ2.vst{\ displaystyle \ x'-ct '= \ lambda _ {1} .x- \ lambda _ {2} .ct}x-vst=0⟺x′-vst′=0 {\ displaystyle x-ct = 0 \ Longleftrightarrow x'-ct '= 0 \} λ1=λ2{\ displaystyle \ \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}} x′-vst′=λ.(x-vst){\ displaystyle \ x'-ct '= \ lambda. (x-ct)}λ{\ displaystyle \ lambda}

• Işık hızının ikinci kullanımı  :

Bir ışık sinyalinin negatif xs yönündeki yer değiştirmesini göz önünde bulundurarak ve aynı mantığı yaparak şunu elde ederiz: belirli bir sabit için. x′+vst′=μ.(x+vst){\ displaystyle \ x '+ ct' = \ mu. (x + ct)}μ{\ displaystyle \ mu}

• Işık hızına ilişkin sonuç  :

Önceki iki eşitliği ekleyip çıkararak şunu elde ederiz: {x′=-de.x-b.vstvst′=-de.vst-bx(2){\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} x '= ax-b.ct \\ ct' = a.ct-bx \ end {matris}} \ sağ. \ dört (2)} ile: ve .-de=(λ+μ)/2{\ displaystyle a = (\ lambda + \ mu) / 2 \ quad} b=(λ-μ)/2{\ displaystyle \ b = (\ lambda - \ mu) / 2}

• Depoların göreceli hızının ilk kullanımı :

Referans çerçevesi kökeni için , elimizdeki sistemi (2) birinci denkleme göre ve dolayısıyla, ederiz:R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}x′=0{\ displaystyle x '= 0} x=b-de.vst{\ displaystyle x = {\ frac {b} {a}}. ct} Tarafından gösteren ile referans çerçevesinin hızı referans çerçevesi ile ilgili olarak , bu nedenle yazabilir v{\ displaystyle \ v}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} v=xt=b-de.vs{\ displaystyle v = {\ frac {x} {t}} = {\ frac {b} {a}}. c}veya ile v=β.vs{\ displaystyle \ v = \ beta .c}β=vvs=b-de{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}} = {\ frac {b} {a}}} Bu nedenle yazabiliriz: {x′=-de.(x-β.vst)vst′=-de.(vst-β.x)(3){\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} x '= a. (x- \ beta .ct) \\ ct' = a. (ct- \ beta .x) \ end {matris}} \ sağ. \ quad (3)}

• Kriterlerin göreceli hızının ikinci kullanımı :

Referans çerçevesi kökeni için , elimizdeki sistemi (2) denklemlerine göre ve dolayısıyla, ederiz:R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}x=0{\ displaystyle x = 0} x′=-b-de.vst′{\ displaystyle x '= - {\ frac {b} {a}}. ct'} Tarafından gösteren ile referans çerçevesinin hızı referans çerçevesi ile ilgili olarak , bu nedenle yazabilir v′{\ displaystyle \ v '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} v′=x′t′=-b-de.vs=-v{\ displaystyle v '= {\ frac {x'} {t '}} = - {\ frac {b} {a}}. c = -v}.

• Kullanımı uzay varsayımlar  :

Ne zaman sahibiz . Katsayısı bu nedenle olası referans çerçevesi içinde yapılmış bir uzunluk ölçümünün dönüştürmek için yapar yapılan ölçüme, . Bu katsayı, referans çerçeveleri arasındaki göreceli hıza bağlı olabilir , ancak uzay izotropisi varsayımıyla ne yönüne ne de yönüne bağlı olabilir. Ayrıca paragrafın başında açıklandığı gibi x, t, x ', t' koordinatlarından bağımsızdır.t=0{\ displaystyle t = 0} x′=-de.x{\ displaystyle \ x '= balta}-de{\ displaystyle a}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} v{\ displaystyle \ v}-de{\ displaystyle a} Yani hız standardına bağlıdır ait demek ki, .-de{\ displaystyle a} v{\ displaystyle \ v} v2{\ displaystyle \ v ^ {2}}

• Görelilik ilkesinin kullanımı  :

Referans çerçevelerinin rolleri tersine ile ve ve bu haklı olan ve bu yönde ya da anlamı bağlı değildir , bu nedenle, ve yazabiliriz:R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}v′=-v{\ displaystyle v '= - v} -de{\ displaystyle \ a} v{\ displaystyle \ v} -de(v2)=-de((-v)2){\ displaystyle \ a (v ^ {2}) = a ((- v) ^ {2})} {x=-de.(x′+β.vst′)vst=-de.(vst′+β.x′)(4){\ displaystyle \ sol \ {{\ başlar {matris} x = a. (x '+ \ beta .ct') \\ ct = a. (ct '+ \ beta .x') \ end {matris}} \ sağ. \ quad (4)} Sistemin (4) ilk denklemindeki iki sistem denklemini kullanarak, aşağıdakilerden birini elde ederiz :x=-de2.(1-β2)x,{\ displaystyle x = a ^ {2}. \ sol (1- \ beta ^ {2} \ sağ) x \ ,,} -de=±11-β2{\ displaystyle a = {\ frac {\ pm 1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}} + İşareti seçilir, aksi takdirde x ekseni ile x 'ekseni arasındaki oryantasyonda bir değişiklik olur, bu varsayımla durum böyle değildir.

• Sonuç  :

Lorentz dönüşümleri yazılmıştır: {x′=11-β2.(x-β.vst)vst′=11-β2.(vst-β.x){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}. (x- \ beta .ct) \\ ct' = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}. (ct- \ beta .x) \ end {matris}} \ sağ.} Sık sık yazdıklarımız: {x′=γ.(x-β.vst)vst′=γ.(vst-β.x){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= \ gamma. (x- \ beta .ct) \\ ct' = \ gamma. (ct- \ beta .x) \ end {matrix}} \ sağ.} İle ve .β=vvs{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}γ=11-β2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}  

Sözde normun değişmezliğinden başlayan yöntem

Gösteri

Bu paragrafta, koordinatlar olanlardır eylemsiz çerçeve arasında , referans ve referans atalet çerçevenin olanlardır , bu iki çerçeveler aynı uzamsal ve zamansal kökene sahip olan referans.  (vst,x,y,z)=(vst,r→){\ displaystyle \ (ct, x, y, z) = (ct, {\ vec {r}})} R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} (vst′,x′,y′,z′)=(vst′,r→ ′){\ displaystyle \ (ct ', x', y ', z') = (ct ', {\ vec {r}} ~')}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R '}}}

İçinde uzay-zaman arasında Minkowski'yle , yalancı standart ile tanımlanır uzay-zaman aralığının kare  : ds2=ηαβdxαdxβ=dxαdxα=vs2dt2-dx2-dy2-dz2{\ displaystyle \ ds ^ {2} = \ eta _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta} = dx _ {\ alpha} dx ^ {\ alpha} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

Lorentz dönüşümleri , sözde norm değişmezini bırakan dörtlü koordinatlar üzerindeki doğrusal haritalardır : (vst,x,y,z)⟼(vst′,x′,y′,z′){\ displaystyle \ (ct, x, y, z) \ longmapsto (ct ', x', y ', z')} (vs.dt)2-dx2-dy2-dz2=(vs.dt′)2-dx′2-dy′2-dz′2{\ displaystyle \ (c.dt) ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = (c.dt ') ^ {2} -dx' ^ {2} - dy '^ {2} -dz' ^ {2}}

Dönüşümün yalnızca uzamsal koordinatlarla ilgili olduğu durum

Bu durumda, sözde normun değişmezliği , yani dönüşümün uzamsal normu koruduğu anlamına gelir : ilişkili 3x3 matris, ortogonal bir matristir .  dx2+dy2+dz2=dx′2+dy′2+dz′2{\ displaystyle \ dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = dx '^ {2} + dy' ^ {2} + dz '^ {2}}

• Determinantı pozitif ise uzayda bir rotasyondur ve dolayısıyla uzayın yönünü korur . Uzay-zamanın dönüşümü zamanı değiştirmeden bırakır ve uzay vektörleri üzerinde sabit bir açının dönüşü olarak hareket eder, fiziksel olarak gerçekçi olduğu kabul edilir.
• Bunun determinantı negatifse, uzayın yönünü tersine çeviren düzlemsel bir simetri de vardır . Zamanı değiştirmeden bırakan ancak uzaysal yönelimi tersine çeviren dönüşüm fiziksel olarak gerçekçi kabul edilmez, ancak denklemlerin matematiksel özelliklerini keşfetmek için kullanılabilir.

Dönüşümün zamansal koordinatla da ilgili olduğu durum

Notasyonu daha hafiflik için, yerine göre , göre vs.  dt{\ displaystyle \ dt} t{\ displaystyle \ t} dx{\ displaystyle \ dx} x{\ displaystyle \ x}

• Böyle bir dönüşümün doğrusallığı şunları yazmayı mümkün kılar:

{vst′=-de.vst+Tv→.r→r→ ′=w→.vst+AT.r→{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ct '= a.ct + {} ^ {T} \! {\ vec {v}}. {\ vec {r}} \\ {\ vec {r }} ~ '= {\ vec {w}}. ct + A. {\ vec {r}} \ end {matris}} \ sağ.} burada , sabit bir gerçek, sabit katsayılar ile bir 3x3 matristir, ve ile alan iki sabit vektörleri olarak , transpoze ve nokta ürünün vektörleri ve . -de{\ displaystyle \ a} AT{\ displaystyle \ A}v→{\ displaystyle {\ vec {fi.}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}Tv→={\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {v}} =}v→{\ displaystyle {\ vec {fi.}}}Tv→.r→={\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {v}}. {\ vec {r}} =}v→{\ displaystyle {\ vec {fi.}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} Bir tarafından Lorentz dönüşüm sadece uzamsal koordinatlar etkileyen, biz vektörler yapabilir ve bu nedenle vardır: eşdoğrusal ve burada bir birim vektörü olmalıdır ( aynı zamanda sabittir) ve ve (muhtemelen sıfır) iki sabit realse.v→{\ displaystyle {\ vec {fi.}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}v→=b.sen→{\ displaystyle {\ vec {v}} = b. {\ vec {u}}}w→=d.sen→{\ displaystyle {\ vec {w}} = d. {\ vec {u}}}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}‖sen→‖=1{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = 1} b{\ displaystyle \ b} d{\ displaystyle \ d} Bu nedenle yazabiliriz {vst′=-de.vst+b.Tsen→.r→r→ ′=d.sen→.vst+AT.r→{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} ct '= a.ct + b. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r}} \\ {\ vec {r}} ~ '= d. {\ vec {u}}. ct + A. {\ vec {r}} \ end {matris}} \ sağ.}

• Sözde norm, ikinci dereceden bir formdur , bir dönüşümle değişmezliği, ilişkili çift doğrusal formun değişmezliğine eşdeğerdir : B{\ displaystyle \ B}B((τ1,r→1),(τ2,r→2))=τ1.τ2-Tr→1.r→2{\ displaystyle B \ sol ((\ tau _ {1}, {\ vec {r}} _ {1}), (\ tau _ {2}, {\ vec {r}} _ {2}) \ sağ ) = \ tau _ {1}. \ tau _ {2} - {} ^ {T} \! {\ vec {r}} _ {1}. {\ vec {r}} _ {2}}

Şimdi bizde , bu nedenle ,B((vst,0→),(0,r→))=0{\ displaystyle B \ sol ((ct, {\ vec {0}}), (0, {\ vec {r}}) \ sağ) = 0}B((vst′,(0→)′),((0)′,r→ ′))=0{\ displaystyle B \ sol ((ct ', \ sol ({\ vec {0}} \ sağ)'), ((0) ', {\ vec {r}} ~') \ sağ) = 0}B((-de.vst,d.vst.sen→),(b.Tsen→.r→,ATr→))=...=vst.(-deb.Tsen→-d.Tsen→.AT).r→=0{\ displaystyle B \ left ((a.ct, d.ct. {\ vec {u}}), (b. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r} }, A {\ vec {r}}) \ sağ) = ... = ct. \ Left (ab. {} ^ {T} \! {\ Vec {u}} - d. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A \ sağ). {\ vec {r}} = 0} Bu eşitlik , sahip olduğumuz her şey ve herhangi bir uzay vektörü için geçerlidir . Eğer , o zaman matris tersine çevrilemez (çünkü 0'ı özdeğer olarak kabul eder çünkü ) ve ilişkili Lorentz dönüşümü dört boyutlu uzayın temel değişimi değildir: bu hipotezlere karşılık gelmez. Eğer , o zaman veya kısa bir çalışma gösteriyorsa, o zaman dönüşümün yalnızca uzayın vektörleriyle ilgili olduğu duruma geri dönelim. t∈R{\ displaystyle \ t \ in \ mathbb {R}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}-deb.Tsen→=d.Tsen→.AT{\ displaystyle ab. {} ^ {T} \! {\ vec {u}} = d. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A}Tsen→.AT=T0→{\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = {} ^ {T} \! {\ vec {0}}} AT{\ displaystyle \ A} TAT{\ displaystyle \ {} ^ {T} \! A}sen→≠0→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ neq {\ vec {0}}} d=0{\ displaystyle \ d = 0} -de=0{\ displaystyle \ a = 0} b=0{\ displaystyle \ b = 0} Yani , , ve , ile . -de≠0{\ displaystyle \ a \ neq 0} b≠0{\ displaystyle \ b \ neq 0} d≠0{\ displaystyle \ d \ neq 0}Tsen→.AT=α.Tsen→{\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = \ alpha. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}}α=-debd{\ displaystyle \ alpha = {{ab} \ d üzeri}}

• Poz veriyoruz ve var , ve ile . r||=Tsen→.r→{\ displaystyle \ r_ {||} = {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r}}}r→ ||=r||.sen→{\ displaystyle {\ vec {r}} ~ _ {||} = r_ {||}. {\ vec {u}}}r→=r→ ||+r→⊥{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} ~ _ {||} + {\ vec {r}} _ {\ perp}}r→⊥⊥sen→{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {\ perp} \ perp {\ vec {u}}}r2=(r ||)2+(r⊥)2{\ displaystyle r ^ {2} = \ sol (r ~ _ {||} \ sağ) ^ {2} + \ sol (r _ {\ perp} \ sağ) ^ {2}}

• Lorentz dönüşümünün değişmezliği bu demektir . Geliştirerek ve kullanarak , ile elde ederiz . (vst)2-r2=(vst′)2-(r′)2{\ displaystyle \ (ct) ^ {2} -r ^ {2} = (ct ') ^ {2} - (r') ^ {2}}Tsen→.AT=α.Tsen→{\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = \ alpha. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}}α=-debd{\ displaystyle \ alpha = {{ab} \ d üzeri}} (vst)2-r2=(-de2-d2).(vst)2+b2.(r||)2-(AT.r→)2{\ displaystyle \ (ct) ^ {2} -r ^ {2} = (a ^ {2} -d ^ {2}). (ct) ^ {2} + b ^ {2}. \ sol (r_ {||} \ sağ) ^ {2} - \ sol (A. {\ vec {r}} \ sağ) ^ {2}}

Bu eşitlik tüm uzay vektörleri için doğruysa , bizde: t∈R{\ displaystyle \ t \ in \ mathbb {R}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} {-de2-d2=1r2=(AT.r→)2-b2.(r||)2{\ displaystyle {\ {vakalar} a ^ {2} -d ^ {2} = 1 \\ r ^ {2} = \ sol (A. {\ vec {r}} \ sağ) ^ {2} - b ^ {2}. \ left (r_ {||} \ sağ) ^ {2} \ end {vakalar}}} Belirli bir durumu istismar ederek elde ederiz .r→=sen→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {u}}} b=±d{\ displaystyle \ b = \ pm d} Özel durumu kullanarak (yani ), elde ederiz ve matris endomorfizmi , kendine dik vektörlerin 2. boyut uzayının izometrisidir .r→⊥sen→{\ displaystyle {\ vec {r}} \ perp {\ vec {u}}} r||=0{\ displaystyle \ r_ {||} = 0}(AT.r→⊥)2=(r→⊥)2{\ displaystyle \ sol (A. {\ vec {r}} _ {\ perp} \ sağ) ^ {2} = \ sol ({\ vec {r}} _ {\ perp} \ sağ) ^ {2} } AT{\ displaystyle \ A}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}} Böylece, = ' ye dik vektörlerin düzlemine kısıtlama ayarlayarak , ve , elimizde:AT~{\ displaystyle {\ tilde {A}}} AT{\ displaystyle \ A}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}ϵ=±1{\ displaystyle \ epsilon = \ pm 1} {vst′=-de.vst+b.r||r→ ′=ϵ.b.sen→.vst+ϵ.-de.r||.sen→+AT~.r→⊥=(ϵ.b.vst+ϵ.-de.r||).sen→+AT~.r→⊥{\ displaystyle {\ begin {case} ct '= a.ct + b.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' = \ epsilon .b. {\ vec {u}}. ct + \ epsilon .a.r_ {||}. {\ vec {u}} + {\ tilde {A}}. {\ vec {r}} _ {\ perp} = \ left (\ epsilon .b.ct + \ epsilon .a.r_ {||} \ sağ). {\ vec {u}} + {\ tilde {A}}. {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {durum}}} İle  -de2-b2=1{\ displaystyle \ a ^ {2} -b ^ {2} = 1} Yine sadece uzamsal koordinatlarla ve hatta daha kesin olarak dikey vektörlerin alt uzayıyla ilgili bir Lorentz dönüşümü kullanarak duruma geri dönebiliriz ve sonra elde ederiz:sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}AT~=bend2×2{\ displaystyle {\ tilde {A}} = Id_ {2 \ times 2}} {vst′=-de.vst+b.r||r→ ′=(ϵ.b.vst+ϵ.-de.r||).sen→+r→⊥⇒{vst′=-de.vst+b.r||r||′=ϵ.b.vst+ϵ.-de.r||r→ ⊥′=r→⊥{\ displaystyle {\ begin {case} ct '= a.ct + b.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' = \ left (\ epsilon .b.ct + \ epsilon .a. r_ {||} \ sağ). {\ vec {u}} + {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {case}} \ Rightarrow {\ begin {case} ct '= a.ct + b .r_ {||} \\ r '_ {||} = \ epsilon .b.ct + \ epsilon .a.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' _ {\ perp} = {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {vakalar}}} İle  -de2-b2=1{\ displaystyle \ a ^ {2} -b ^ {2} = 1}

• Vektörün yönünü , hiperbolik fonksiyonları kullanarak ekseni olarak seçerek ve zaman ve uzayın yönelimlerinin korunup korunmadığının tartışılmasına izin vererek, şunu elde ederiz:sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}} x{\ displaystyle \ x}ϵben=±1{\ displaystyle \ epsilon _ {i} = \ pm 1}

[vst′x′y′z′]=[ϵ1cosh⁡(ϕ)-ϵ1sinh⁡(ϕ)00-ϵ2sinh⁡(ϕ)ϵ2cosh⁡(ϕ)0000100001][vstxyz] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ epsilon _ {1} \ cosh (\ phi) & - \ epsilon _ {1} \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \\ - \ epsilon _ {2} \ sinh (\ phi) & \ epsilon _ {2} \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}  

Lorentz dönüşümlerinin tarihi ve doğuşu

• Woldemar Voigt 1887'de Doppler etkisi üzerine bir makale yayınladı ve burada bazı diferansiyel denklemlerin değişkenlerin değişiklikleri altında değişmezliğini fark etti (okuma kolaylığı için modern gösterimde):

x′=x-vt,y′=yγ,z′=zγ,t′=t-vxvs2,γ=11-v2vs2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = x-vt, \ quad y ^ {\ prime} = {\ frac {y} {\ gamma}}, \ quad z ^ {\ prime} = {\ frac {z} {\ gamma}}, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}}, \ quad \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- { \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

• 1889'da George Francis FitzGerald Science dergisinde , Hendrik Lorentz'in FitzGerald'dan bağımsız olarak 1892'de yazdığı bir makalede formüle edeceği bir hipotez olan uzunluk kısalması hipotezini formüle ettiği Ether and the Earth's Atmosphere adlı makalesini yayınladı .

Eserinde Maxwell'in elektromanyetik teorisi ve organları hareket yaptığı başvuruda 1892, Lorentz Voigt çok farklı dönüşümleri kullanacağız:x′=vsvs2-v2x,y′=y,z′=z,t′=t-ϵvsx′ile ϵ=vvs2-v2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = {\ dfrac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ dfrac {\ epsilon} {c}} x ^ {\ prime} \ quad {\ text {with}} \ epsilon = {\ dfrac {v} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}Voigt için olduğu kadar Lorentz için de bu dönüşümler, belirli bir anlamı olmayan yalnızca matematiksel araçlardır.Lorentz, bu dönüşümlerle zaman koordinatının görüntüsüne karşılık gelen yerel zaman kavramını ortaya koymaktadır. Ancak bu yerel zamanın onun için matematikten başka bir anlamı yoktur:

“  Lorentz için dönüştürülmüş koordinatların ve alanların doğrudan fiziksel önemi olmayan matematiksel yardımcılar olduğunu anlamak önemlidir.  "

- Olivier Darrigol, Görelilik teorisinin doğuşu , Poincaré semineri, 2005.

• 1899 tarihli bir makalede Lorentz, daralma hipotezinin doğal olarak yeniden formüle ettiği dönüşümlerden kaynaklandığını gözlemledi:

x′=vsvs2-v2x,y′=y,z′=z,t′=t-vvs2-v2x{\ displaystyle x ^ {\ prime} = {\ dfrac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ dfrac {v} {c ^ {2} -v ^ {2}}} x}

• 1904 tarihli bir makalede Lorentz, farklı dönüşümler bile verdi:

x′=klx,y′=ly,z′=lz,t′=lkt-klwvs2xile k2=vs2vs2-w2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = klx, \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ {\ prime} = {\ frac {l} { k}} t-kl {\ frac {w} {c ^ {2}}} x \ quad {\ text {with}} k ^ {2} = {\ dfrac {c ^ {2}} {c ^ { 2} -w ^ {2}}}}Bu nedenle, 1904'te, bu dönüşümlerin biçiminin henüz tam olarak belirlenmediğini, deneme yanılma yoluyla, deneme yanılma yoluyla ortaya çıktığını görebiliriz.

• Ertesi yıl, 1905, Henri Poincaré Bilimler Akademisi'ne Palermo'da sunmayı planladığı ve Lorentz'in 1904 sonuçlarını doğrulayıp düzelttiği makalesini özetleyen Elektronun dinamikleri üzerine notunu sunar. Lorentz dönüşümleri (düzeltildi)

x′=kl(x+ϵt),y′=ly,z′=lz,t′=kl(t+ϵx)ile k=11-ϵ2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = kl (x + \ epsilon t), \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ {\ prime} = kl (t + \ epsilon x) \ quad {\ text {with}} k = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ epsilon ^ {2}}}}}ve bir grup oluşturmaları gerektiğini gözlemleyin.Böylece onlara son hallerini verir (sadece ters dönüşümleri dikkate alan işaret hariç):x′=k(x+ϵt),y′=y,z′=z,t′=k(t+ϵx)ile k=11-ϵ2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = k (x + \ epsilon t), \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = k (t + \ epsilon x) \ quad {\ text {with}} k = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ epsilon ^ {2}}}}}

• Aynı yıl Einstein, aynı dönüşümleri yeniden inşa ettiği ve onlara tüm anlamlarını verdiği Hareketli cisimlerin elektrodinamiği üzerine başlıklı makalesini yayınladı .

Notlar ve referanslar

1. Amaury Mouchet, Simetrilerin zarif verimliliği , Dunod,2013( çevrimiçi okuyun )
2. Henri Poincaré, Elektronun dinamikleri üzerine, Bilimler Akademisi Bildirileri, cilt. 140, p. 1504-1508, 5 Haziran 1905. El yazısı not .
3. Lorentz şöyle yazıyor: “1904'te yayınladığım bu düşünceler Poincaré'nin Elektronun Dinamikleri Üzerine Anı kitabını yazmasına neden oldu ve sözünü ettiğim dönüşüme adımı ekledi. [...] En uygun dönüşümü belirtmedim. Bu Poincaré ve ardından MM tarafından yapıldı. Einstein ve Minkowski. "
4. Henri Poincaré, Elektron dinamikleri üzerine , Rendiconti del Ciorcolo matematico di Palermo , cilt. 21, p. 129-176, 1906. 23 Temmuz 1905'te sunuldu.
5. Doğal birimlerden oluşan sistemlerde bazen poz vererek daha da basit bir form elde edilir . vs=1{\ displaystyle ~ c = 1}
6. James H. Smith, Introduction to Relativity , InterEditions (1968). Düzeltilmiş alıştırmalarla 2 e baskısı (1979) ( ISBN  978-2-7296-0088-4 ) . Masson (- Dunod tarafından yayınlanacaktır 3 th - basım 1997) ( ISBN  978-2-225-82985-7 )
7. WH Furry , "  Lorentz Transformation and the Thomas Prescession  ", American Journal of Physics , cilt.  23, n o  8,1 st Kasım 1955, s.  517–525 ( ISSN  0002-9505 , DOI  10.1119 / 1.1934085 , Bibcode  1955AmJPh..23..517F , çevrimiçi okuyun )
8. Dörtlü hızın tanımında yer alan faktör , bir referans çerçevesi değişikliği sırasında değişmez değildir.γsen{\ displaystyle \ gamma _ {u}}
9. Döndürme dördüncüsünün zamansal koordinatı , parçacığın uygun referans çerçevesinde 0'da sabitlenmiştir. Bununla birlikte, hareket eden bir gözlemci, sıfır olmayan bir değer ve değiştirilmiş bir dönüş algılayacaktır . ( Chaichian ve Hagedorn, Kuantum mekaniğinde simetri: Açısal momentumdan süpersimetriye , IoP,st{\ displaystyle s_ {t}}st{\ displaystyle s_ {t}}1997( ISBN  978-0-7503-0408-5 , çevrimiçi okuyun ) , s.  239)
10. Bununla birlikte, aynı Galilean referans çerçevesi içinde, zaman net bir şekilde tanımlanmaya devam ediyor. Başka bir deyişle, belirli bir atalet referans çerçevesindeki tüm sabit saatler , uzamsal olarak büyük mesafelerle ayrılmış olsalar bile zaman içinde senkronize kalırlar. Bu artık olduğu genel görelilik eşzamanlılık kavramı tüm anlamını yitirir ve artık hariç tanımlanabilir lokal olarak .
11. Carroll Group, JM Levy-Leblond , Annals of the IHP, 1965.
12. Bu , Gauthier-Villard editörü Albert Einstein'ın Mlle J. Rouvrière tarafından çevrilen 1921 tarihli görelilik teorisinde bulunabilir.
13. Yakın tarihli bir örnek, James H. Smith'in (Masson editörü, Philippe Brenier tarafından çevrilmiş, ön yüzü Jean-Marc Levy-Leblond tarafından 1997'de yeniden basılmıştır, ( ISBN 2-225-82985- 3) tarafından yazılan Göreliliğe Giriş kitabının 5. bölümünde yer almaktadır ( ISBN 2-225-82985- 3 ) ). 
14. Açık olanın haklı çıkardığı bir seçim örneği Jean-Claude Boudenot'un Électromagnétisme et gravitation relativistes kitabının (editör ellipses, 1989, ( ISBN  2-7298-8936-1 ) ) §19'da verilmiştir ; diğeri §4'te , Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Physique theorique , t.  2: Alan teorisi [ baskıların detayı ].
15. Seçim kriterlerini daha ayrıntılı olarak tartışan metin örnekleri şunları içerir: (en) Minkowski uzay zamanında Geometrik Fizik, EG Peter Rowe, Springer-Verlag ( ISBN  1852333669 ) , 2001; (en) Minkowski Uzay - Zamanının geometrisi Gregory L. Naber, Springer-Verlag ( ISBN  3540978488 ) , 1992'de, bölüm 1, §1.3'te bu seçimin nedeni olarak uzamsal ve zamansal yönelimlerin korunması sunulmuştur; Philippe Tourrenc'in kitabı Relativity et gravitation (Armand Colin éditeur , ( ISBN  2-200-21209-7 ) ), 23-25 . sayfalarda yazar, Yazışma İlkesini kullanarak, aralarında özel görelilik için Lorentz dönüşümlerinin seçimini haklı çıkarır. uzay-zaman aralığının değişmezliği hipotezinden çıkarılan tüm dönüşümler; bu yönelimlerin korunup korunmadığı konusu , La géometry de la relativité specialinte kitabının 1. bölümünde ayrıntılı olarak tartışılmıştır , Jean Parizet, editör ellipses, 2008, 172 sayfa, ( ISBN  978-2-7298-3902-4 )
16. Bu yöntem, farklı formlar kullanılarak ve yazım hataları ile, Özel göreliliğin geometrisi kitabının 1. bölümünde , Jean Parizet, editör elipsleri, 2008, 172 sayfa, ( ISBN  978-2-7298- 3902-4 ) sunulmuştur. .
17. Lev Landau ve Evgueni Lifchits , Teorik Fizik , t.  2: Alan teorisi [ baskıların detayı ]§1 ila 4.
18. Bu eşitlik yalnızca, referans çerçevesi değişikliğiyle uzay ve zaman yönelimlerinin korunması varsayımı için geçerlidir. Tüm genellik, bu nedenle, yazma gerekir , burada referans çerçeve (O x, t) ve (O, x 'T') göreli yönelimini belirtir ve bir tartışma ile paragraf sonu zenginleştirmek için mümkün kılan özel göreliliğin matematiği ile uyumlu farklı Lorentz dönüşümleri arasındaki seçimler üzerine, referans çerçevelerinin yöneliminde hiçbir değişiklik olmadığı hipotezini açıkça ortaya koyarak.x′=ϵ.vst′{\ displaystyle x '= \ epsilon .ct' \ quad}ϵ=±1{\ displaystyle \ epsilon = \ pm 1}
19. Bu gösterinin ana aşamaları, örneğin, Özel göreliliğin geometrisi kitabının 1. bölümünde , Jean Parizet, editör elipsleri, 2008, 172 sayfa, ( ISBN  978-2-7298-3902-4 ) .
20. Biz: evet , o zaman , o zaman . Sonuç: aslında kendi içinde dik olan vektörlerin 2. boyut uzayının bir endomorfizminin matrisidir .sen→⊥v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ perp {\ vec {v}}}Tsen→.AT.v→=α.Tsen→.v→=0{\ displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A. {\ vec {v}} = \ alpha. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {v}} = 0}sen→⊥AT.v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ perp A. {\ vec {v}}} AT{\ displaystyle \ A}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
21. Woldemar Voigt, Ueber das Doppler'sche Princip , Göttinger Nachrichten, num. 7, s41-51, 1887
22. HALorentz, Die akrabası Bewegung der Erde und des Äthers , Zittingsverlag Akad. Islak. Amsterdam, cilt. 1, sayfa74, 1892.
23. HALorentz, Maxwell'in elektromanyetik teorisi ve hareketli cisimlere uygulanması , Hollanda Tam ve Doğa Bilimleri Arşivleri, T. XXV, 1892.
24. HALorentz, Hareketli Sistemlerde Elektriksel ve Optik Olayların Basitleştirilmiş Teorisi, Hollanda Kraliyet Sanat ve Bilim Akademisi Bildirileri, cilt. 1, s. 427-442, 1899.
25. HALorentz, Işık hızından daha küçük herhangi bir hızda hareket eden bir sistemdeki elektromanyetik fenomen, Hollanda Kraliyet Sanat ve Bilim Akademisi Bildirileri, cilt. 6, s. 809, 1904.
26. André Rougé, Sınırlı Görelilik. Henri Poincaré'nin katkısı , Ecole polytechnique, 2008.

Ayrıca görün

Kaynakça

• [Voigt 1887] (de) Woldemar Voigt , "  Ueber das Doppler'sche Princip  " , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , cilt.  43 inci  yıl, n O  214 Mart 1887, s.  41-51 ( VikiKaynak okumak , çevrimiçi okumak [PDF] ).
• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon ( Pref.  Of Thibault Damour ) Kısıtlı görelilik: parçacıklardan astrofiziğe , Les Ulis Paris, EDP Bilimleri ve CNRS , coll.  "Güncel / fiziksel bilgi",Mayıs 2010, 1 st  ed. , 1  hacim , XXVI -776  s. , şek. , 15.5 x 23  cm ( ISBN  978-2-7598-0067-4 , EAN  9782759800674 , OCLC  690.639.994 , bildirim BNF n O  FRBNF41411713 , SUDOC  14466514X , online sunumu , Online okuma ).

İlgili Makaleler

• Henri Poincaré
• Hendrik lorentz
• Görelilik
• Göreli hesaplamalar
• Kovaryans
• Lorentz değişmezliği

Dış bağlantılar

• (en) Jean-Marc Lévy-Leblond , "  Lorentz dönüşümünün bir türevi daha  " [PDF]
• Jean-Marc Levy-Leblond "  Les relativités  " Les Cashiers'in de Fontenay , n O  , 8,1977( çevrimiçi okuyun [PDF] ).
• (en) Victor Yakovenko, "  Lorentz Dönüşümünün Türetilmesi  " [PDF] , Maryland Üniversitesi .