Toplam olasılık formülü

Olarak olasılık teorisi , toplam olasılık a, teoremi mümkün hesaplamak için yapar olasılığını bir bölgesinin durumunda bir uygun aynştınlmasıyla ayrıntılı sistemi olaylar.

Eyaletler

Toplam olasılık formülü - Kendimize bir olasılık alanı vermek durumunda bir olduğunu etraflı (sonlu veya sayılabilir ) sistem olaylarının ne olursa olsun eğer ve herhangi bir olay için, o zaman ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}).}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ I’de}}$ ${\ displaystyle i \ I,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0,}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ toplamı _ {i \ içinde I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i}) = \ toplamı _ { i \ içinde I} \ mathbb {P} (A \ cap B_ {i}).}

Notlar:

Ne zaman tanımlayan yumuşayıp poz bir sorun: olacağını koşullu olasılık arasında yani oluşur asla bir olay, bilerek olağan tanımı daha sonra nadiren zararlıdır oluşur 0 ... Bir kongre, bölünmesi yol açacak özniteliği için aralarında keyfi değere 0 ve 1: biz olayın olasılığını öngörmek gerekir asla bilerek beri öylesine atama, asla meydana keyfi bir değer herhangi bir hataya neden olur. Öte yandan, toplam olasılık formülünde, 0 ile 1 arasında keyfi bir değer atamak konu dışıdır, çünkü daha sonra bu değeri ile çarpıyoruz Özet olarak, bu konvansiyonla, olasılık formülü toplamı için varsayım gereksizdir . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $AT$ ${\ displaystyle B_ {i}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $AT$ ${\ displaystyle B_ {i},}$ $Bi}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {P} (B_ {i}).}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0}$
Buna göre kapsamlı bir sistem olan hipotez zayıflatılabilir : ile değiştirilebilir . Öte yandan , ayrık olanların olması esastır . ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ I’de}}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, i \ I} B_ {i} = \ Omega}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, i \ in I} B_ {i} \ supset A.}$ $Bi}$

Varyant

Teorem - Bir olasılık uzayı ve A olaylarını düşünün . Eğer bir olan bölme olayı (sonlu ya da sayılabilir) B , ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ I’de}}$

{\ mathbb {P}} (A | B) = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i } | B).

Gösteri

{\ başlangıç ​​{hizalı} {\ mathbb {P}} (A \ cap B) & = \ sum _ {{i \ I'de}} {\ mathbb {P}} (A \ cap B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{ i \ içinde I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) {\ mathbb {P}} (B), \ end { hizalı}}

çünkü CQFD ${\ displaystyle B_ {i} \ cap B = B_ {i}.}$

Doğal sonucu - Eğer bir olan bölme olayı (sonlu ya da sayılabilir) B , ve eğer bağlı değildir i , daha sonra koşullu olasılıkların ortak değeri olan ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ I’de}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B).}$

Gösteri

Koşullu olasılıkların ortak değerini x ile belirtin Sonra ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

{\ begin {hizalı} {\ mathbb {P}} (A | B) & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb { P}} (B_ {i} | B) \\ & = x \ \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) \\ & = x. \ son {hizalı}}

CQFD

Bu sonuç mümkün kılar hesaplama azaltmak için hesaplanmasına olayı, bazen daha kolay B i , olay daha küçüktür B , daha kesin bilgiler sağlar ve böylece prognozu (prognoz = şartlı olasılık hesaplama) kolaylaştırır. Durum genellikle biri diğerinin görüntüsü olan iki Markov zincirini incelerken ortaya çıkar . Galton-Watson süreçleri için Markov özelliğinin kanıtı, pek çok örnekten sadece bir tanesidir. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}),}$

Özellikle, sonuç, B = where olduğu durumda sıklıkla kullanılır ve daha sonra, hesaplamasını şu hesaplamaya indirgemeyi mümkün kılar : ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

Ayrıca görün

Bileşik olasılık formülü