Antik Mısır'da geometri

Olarak eski Mısır matematik , problemlerine geometrisi , özellikle de, bu, papirüs RHIND , endişe sayısal miktarlar değerlendirilmesi, uzunlukları, alan ve hacim, özellikle hesaplama.

Ancak, tarihlerinin çok erken dönemlerinde gerçekleştirilen teknik ve mimari beceriler göz önüne alındığında, geometri şüphesiz onların tercih alanıydı ve mimariyle ilişkili bu bilim Mısırlılar için büyük bir itibar yarattı. Bu, ülkelerinin antik Yunan alimlerini hac ziyaretinde karşılamasının nedenlerinden biridir .

Mısırlı böylece bir yaklaşım tutarındadır çapı, bir 8/9 karesi bir diskin alanı hesaplanarak başarılı pi 3.1605 buna eşittir. Piramitlerin ve silindirlerin hacimlerini ve bir kürenin alanını hesaplayabilirler. Orta Krallık'ın matematik papirüsünde ortaya çıkan bazı problemler , çeşitli tam sayıların kökleriyle ilişkili uzunlukları hesaplamayı mümkün kılar.

Üçgen

Bu rakamın alanının hesaplanması, Rhind papirüsünün R51 , Moskova papirüsünün M4, M7 ve M17 problemlerinde ve tümü Orta Krallık'tan kalma olarak incelenmiştir . R51 problemi, dünya matematik tarihinde, bir üçgenin alanının hesaplanmasıyla ilgili ilk yazılı tanıklığı oluşturur.

Rhind Papyrus R51 Sorun Bildirimi

"Bir toprak üçgeni hesaplama örneği. Biri size, "Mrytinde on khet ve tabanında dört khetlik bir üçgen" derse. Alanı nedir? ". Dikdörtgen yapmak için iki olan dördün yarısını hesaplayın. On ile ikiyi çarptığınızdan emin olun. Bu onun alanı. "

Mryt terimi muhtemelen yükseklik veya kenar anlamına gelir, ancak alanı hesaplamak için kullanılan formül, yorumu ilk çözümün lehine çevirir . Çizici üçgenin taban yarısını aldı ve bu yan ve yüksekliğe, yani oluşan dikdörtgen alanı hesaplanır

A = {\ frac {taban} {2}} {mryt}

bugün kullanılan genel formüle eşdeğer:

S = {\ frac {ah} {2}}

3-4-5 üçgeni

Kenarları 3-4-5 orantılı olan bir üçgen dikdörtgendir, dik açı 3. ve 4. taraflarla tanımlanır. Bu özellik Pisagor teoreminin tersi ile kanıtlanmıştır , çünkü 3 2 + 4 2 = 5 2 (çünkü 9 + 16 = 25). Böyle bir üçgene, Plutarch ve Isis , Osiris ve Horus'a bağlayarak 3-4-5 üçgeninin ezoterik bir yorumunu verdiği On Isis and Osiris adlı eserine atıfta bulunularak, bazen "Mısır üçgeni" denir . Plutarkhos sonunda yazdığı I st yüzyıl veya bir sonraki başında ve hiçbir şey eski Mısır hakkında varılabilir.

3-4-5 dik üçgen çok eskiden biliniyor: Pisagor üçlüsünden 3-4-5 Babil tabletlerinde bahsediliyor, ancak eski Mısır söz konusu olduğunda işler çok daha az net. Rhind papirüsünün dört bölümü: R57, R58, R59a ve R59b, bir piramidin eğimiyle ilgili hesaplamalarla ilgilidir ve bu eğim 4/3'tür (bkz. Rhind papirüsü ), yani kenarları olan karşılık gelen üçgen piramidin yarı tabanı, yüksekliği ve bir yüzün en büyük eğim çizgisi, 3-4-5 üçgeniyle orantılıdır. Bununla birlikte, bu sorunların hiçbiri üçüncü tarafın ölçüsünü vermez, hatta bir üçgenden bahsetmez.

Kirişlerin yardımıyla Mısırlı mimarların bazen 3-4-5 üçgeni ile dik açılarını takip etmeleri mümkündür, ancak yazılı bir kayıt yoktur. Yöntemin kesinliği ve o sırada kullanılan ipler ve esneklikleri hakkında bildiklerimiz göz önüne alındığında, yöntem piramitler gibi büyük binalar için işe yaramadı.

Kefren piramit dört örneklerinden gelen üçgen saygı inşa edilebilir Rhind papirüse 5 gibi olmak yüzünün büyük eğim hattı olan 4 gibi bir baz ve uçları yarı tabanına üstten dikey: dik üçgen, yatayla en büyük eğim çizgisinin 53 ° 07'48 " teorik açısına karşılık gelen 3 gibidir . Petrie tarafından ölçülen açı ( 53 ° 10 ', Khafre piramidine bakın ) Bu değer. bazın kare, yan 215.16 m , 8 içinde kesin olduğunu cm , iki taraf ', yüzler 5' dakika içinde ana noktaları ile yönlendirilmiştir 1 içinde paralel 143,87 değerlendirildi, yükseklik m , için karşılık dörtyüzlü 53 ° 13 ' eğime .

Bir eğimin hesaplanması

Rhind papirüsünün R56, R57, R58 ve R59 problemleri , bir piramidin eğimini hesaplama yöntemini detaylandırır . Bu eğim, eski Mısır dilinde seked (en) terimiyle belirtilmiştir . Yarım tabanın yüksekliğe bölünmesinin sonucudur.

Rhind Papyrus R56 Problem İfadesi

“ Kenarı 360 ( arşın ) ve yüksekliği 250 ( arşın ) olan bir piramit . Eğimini bildiğinizden emin olun. 360'ın yarısını alın. Sonuç 180'dir. 250'yi çarpın, böylece 180'i bulun. Bu, bir arşın 1/2 1/5 1 / 50'si yapar. Bir arşın 7 avuç içi değerindedir. 7'yi şu şekilde çarpın: "

	1	7
	1/2	3 1/2
	1/5	1 1/3 1/15
	1/50	1/10 1/25

“Eğim 5 1/25 yüzgeçtir. "

Bu çözüm, modern matematikçi için , piramidin yarı tabanı ve özü tarafından oluşturulan açının kotanjantının yedisinin çarpımını temsil eder (karşıdaki şekilde b ve a ile oluşturulan açı). Mısırlılar bunu önce arşın, sonra avuç içlerinde ifade ettiler (bir arşın yedi avuç içi değerindedir). Bu nedenle, sekans , kesinlikle bir eğimi temsil etmiyordu, bunun yerine, orantısal üçgenin yüksekliği bir arşın olan yatay kenarının ölçüsünü temsil ediyordu, kenar o zaman avuç içi olarak ifade edildi. Bu nedenle, formül piramidin sıralanmasına izin verdi . ${\ displaystyle seqed = {\ frac {b} {h}} \ cdot 7}$

Sıra aynı zamanda piramidin eğimini takip eden bir taşın alt ve üst kenarlarının uzunlukları arasındaki farktır. Böylelikle kesimi belirlemeyi mümkün kıldı.

Yamuk veya kesik üçgen

Bir yamuğun alanı, Rhind papirüsünün R52 probleminde mükemmel bir şekilde hesaplanmıştır :

"Size söylenirse:" Yüksekliğinde yirmi khet, tabanında altı khet ve kesik çizgisinde dört khet olan kesik üçgenin alanı nedir? ". Tabanını kesik çizgisine ekleyin. Bu on yapar. On beşin yarısını alın, böylece bir dikdörtgen elde edersiniz. Yirmi kere beş yapın. Yüz bu. Bu onun yüzeyidir. Şu şekilde hesaplayın: "

	1	1000
	1/2	500


✔	1	2000
	2	4000
✔	4	8000

		10.000 (100 setjat)

Formülü uygulamaya eşdeğer yöntem . ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ cdot (4 + 6) \ cdot 20}$

Dikdörtgen

Moskova papirüs sunar bir dikdörtgen alanının hesaplanmasında mükemmel bilgisini gösteren bir sorun:

Moskova papirüs M6 sorun bildirimi

"Dikdörtgeni hesaplama örneği. Birisi size söylerse: Uzunluğunun 1/2 1/4 genişliğinde 12 setjatlık bir dikdörtgen . 1'i elde etmek için 1/2 1/4 hesaplayın. Sonuç 1 1/3'tür. 12 setjat kez 1 1/3 alın. Sonuç 16'dır. Karekökünü hesaplayın. Sonuç, uzunluğu için 4'tür. Bunun 1/2 1 / 4'ü genişlik için 3'tür. "

Açıklama

Bu problem, en-boy oranı ve sabit alan ile bir dikdörtgenin uzunluğunun belirlenmesinden ibarettir.

Yazanın ortaya çıkardığı sorun	Modern cebirsel dilde problemin transkripsiyonu

12 setjatlık bir dikdörtgen .	Alanı 12 Setjat olan bir dikdörtgen düşünün (B ile gösterilir). B = 12.
1/2 ila 1/4 uzunluğunda.	Genişliğin bu dikdörtgenin uzunluğuna oranı 1/2 + 1 / 4'tür. L bu uzunlukta olsun. genişlik eşittir l = L * (1/2 + 1/4)
1'e sahip olmak için 1/2 1/4 hesaplayın.	1 genişliğini seçin ve 1/2 + 1 / 4'ün tersini yaparak uzunluğu hesaplayın.
Sonuç 1 1 / 3'tür.	Sonuç, uzunluğun genişliğe oranı olan 1 + 1 / 3'tür.
12 setjat kez 1 1/3 alın	Dikdörtgeni L kenarına sahip bir kareye dönüştürmek anlamına gelen B * (1 + 1/3) veya L * [L * (1/2 + 1/4)] * (1 + 1/3) = L²'yi hesaplayın.
Sonuç 16'dır.	L² = 16.
Karekökünü hesaplayın.	L'yi hesaplayın.
Sonuç, uzunluğu için 4'tür.	L = 4. Bu nedenle 12 setjat dikdörtgenin uzunluğu 4'tür.
Bunun 1/2 1 / 4'ü genişlik için 3'tür.	12 setjat dikdörtgenin genişliği 4 * (1/2 + 1/4), yani l = 3'tür.

Daire ve elips

Bir diskin alanının hesaplanması, muhtemelen eski Mısırlılar tarafından matematikte yapılan en önemli ilerlemelerden biridir. Aynı zamanda , problemle yakından ilişkili gibi görünen pi sayısı ve dairenin karesi ile alıştırmalar hakkında en çok konuşulanlardan biridir . Alanın hesaplanması böylece Rhind papirüsünün R41, R42, R43, R48 ve R50 problemlerinde ve son olarak Moskova papirüsünün M10 probleminde ele alınmaktadır .

Rhind Papyrus R50 Problem İfadesi

"Dokuz khet'lik bir yuvarlak alanın hesaplanmasına örnek. Alanın alanı ne kadar? Dokuzuncu olanını çıkarın. Sekiz tane kaldı. Sekizi sekize çarpın. Bu altmış dört. Bu alanın alanı, yani altmış dört setjat . Aşağıdaki gibi yapın: "

	1	9
✔	1/9	1

"Çıkarın, 8 tane kaldı"

	1	8
	2	16
	4	32
✔	8	64

Alanın alanı altmış dört setjattır . "

Yazar tarafından uygulanan formül bu nedenle açıktır: d diskin çapıdır. İfade, dokuz khet'in çap olduğu anlamına gelen dokuz khet'lik yuvarlak bir alana atıfta bulunur. ${\ displaystyle Aire = (d- (1/9) * d) ^ {2}}$

Bu formül, bu eşdeğerdir: . Bir diskin alanını hesaplamak için modern formül veya çoğu yazar, eski Mısırlılara, değerin 256/81 veya 3.1605'e yaklaşmasını, zaman için dikkate değer bir değer olarak atfeder. Bununla birlikte, yukarıda tartışılan R50 sorunu, Mısırlıların bu sabitin varlığından haberdar olduklarını kanıtlamaz. Kesin olan tek şey, bir diskin alanını çapından hesaplayıp, kareye benzeterek büyük bir hassasiyetle yaklaşık bir değer verebilmesidir. Kullanılan yöntem, Rhind papirüsünün R48 probleminin geometrik bir taslağında iyi bir açıklama bulabilir . ${\ displaystyle Aire = (64/81) * d ^ {2}}$ $\ pi r ^ {2}$ ${\ displaystyle (\ pi / 4) d ^ {2}}$ $\ pi$

Rhind Papirüs Problemi R48 İşlemleri

	1	8 setjat
	2	16 setjat
	4	32 setjat
✔	8	64 setjat

✔	1	9 setjat
	2	18 setjat
	4	36 setjat
✔	8	72 setjat

		81

Sorun, yorumlanmasını zorlaştıran herhangi bir ifade içermiyor. Bununla birlikte, ilgisi yukarıda açıklanan matematiksel işlemlere eşlik eden taslakta yatmaktadır. Bu, bir kare içine yazılmış, garip bir şekilde çizilmiş bir daireyi (veya sekizgen bir şekli) temsil eder. Açıktır ki, hesaplamalar, R50 problemininkiyle karşılaştırılabilen yeni çaplı diskin alanıyla ilgilidir.

Bu çizimle ilgili ilk hipotez, yazarın aradığı diski bir sekizgene eşdeğer olarak görmesidir. İkincisi, böylece kenarları diskin çapına eşit olan bir kareye yazılmıştır. Alanı 9² - 2 * 3² = 63 olan sekizgen, diskin yüzeyi daha sonra 64'e yaklaştırılır.

Michel Guillemot tarafından ileri sürülen ikinci hipotez, çizimi daha sadık bir şekilde yeniden üretir ve diskin yüzeyinin alanı tam olarak 9² - (3² + 2 * 4) = 64 olan düzensiz bir sekizgene eşdeğer olduğunu düşünür (aşağıdaki şekle bakın). altında). Yazar, bu sekizgeni parçalayarak kenar 8'in bir karesini yeniden oluşturabileceğini varsayarak daha da ileri gitti; bu , dairenin karesini alma fikrinin zaten akıllarında mevcut olduğunu iddia ediyor . Bununla birlikte, bu son hipotez, bir diskin alanı ile kenarları 8 / 'e eşit olan bir karenin alanı arasındaki eşitliği ilerletme anlamına gelen R50 probleminde kullanılan formüle tatmin edici bir açıklama getirme avantajına sahiptir 9 inci disk çapının.

Bu geometrik araştırma , Luksor tapınağının bir duvarında Ludwig Borchardt tarafından keşfedilen başka bir eskizde bir eşdeğer bulabilir . Dikdörtgen kullanılarak yapılmış bir elipstir, iki şeklin alanları sadece% 1 farklıdır.

Yarım küre

Moskova papirüsünün M10 ifadesi birçok kez incelendi, ancak yazarlar sorunun yorumlanması konusunda hala hemfikir değiller. Bir yarım dairenin yüzeyini incelemeyi savunanlar, bir yarım küre çalışmasının savunucularına karşıdır. Görünüşe göre, ifadeler göz önüne alındığında ve bunun yarattığı birçok soruya rağmen, bu son teklif en kabul edilebilir olanıdır.

Moskova Papyrus M10 Sorun Bildirimi

"Bir nbt hesaplama örneği . Size: " Temeli limitler arasında 4 1/2 olan bir nbt ." Yüzeyini bilmeme izin verir misin? ". 9'un 1 / 9'unu hesapladığınızdan emin olacaksınız . Bu nedenle, nbt yuvarlak bir nesnenin yarısıdır, bu gerçekleşecektir 1. Kalanı 8'de hesapladığınızdan emin olacaksınız. 1 / 9'u hesapladığınızdan emin olacaksınız. 8. 2/3 1/6 1/18 olacaktır. Bu 8'in kalanını bu 2/3 1/6 1 / 18'e kıyasla hesapladığınızdan emin olacaksınız. 7 1/9 olur. Yani 7 1/9, 4 1/2 kere hesapladığınızdan emin olacaksınız. 32 olacak. İşte yüzeyi. Mükemmel buldun. "

Nbt terimi çöp olarak çevrilir. Bu nedenle Mısırlı, sonuç olarak 32 veren bir hesaplamaya götürür. Sylvia Couchoud , bir yarım kürenin alanı için 256/81 oranındaki Mısır oranının tam olarak aynı sonucu verdiğini fark etti . ${\ displaystyle Aire = (256/81) / 2 * d ^ {2}}$ $\ pi$

Bir hacmin hesaplanması

Etüt yapmak, alan hesaplamaları, ev hayatı ve büyük binaların inşası hakkında sağlam bir bilgi gerektirse de, tahıl ambarları veya büyük cenaze yapıları gibi hacimlerin nasıl hesaplanacağını bilmek gerekiyordu.

Bir küpün hacmi

Rhind papirüs problemi R44'te gösterildiği gibi , kübik şekilli bir katının hacmi için formül eski Mısırlılar tarafından biliniyordu: V = l * L * H burada l, L ve H sırasıyla uzunluk, genişlik ve yüksekliktir.

Rhind Papyrus R44 Problem İfadesi

"Dikdörtgen bir tavan arası hesaplama örneği. Uzunluğu 10, genişliği 10, yüksekliği 10'dur. Bu ne kadar tane yapar? 10'u 10 ile çarpın. 100'ü 10 ile çarpın. Bu 1000'dir. 1000 veya 500'ün yarısını alın. Bu 1500'dür. Bu, khar cinsinden miktarıdır. 1500'ün 1 / 20'sini alın. Bu 75 yapar, onun dört kat-heqat miktarı veya 7500 heqat tahıl. "

Bir silindirin hacmi (tahıl ambarlarına başvuru)

Bir silindirin hacminin hesaplanması, yuvarlak tabanlı tahıl ambarlarının içeriğinin araştırılmasında kullanılır . Bu tür tahıl ambarının Mısır tasvirleri sıktır (karşı tarafa bakınız). Üst kısım ovaldir ancak hesaplamalarda asla dikkate alınmaz. Tahıl, üstteki bir tuzaktan sokulduğu için, tahıl yığını, tahıl ambarının çapının azaldığı sınırı asla aşmamalıdır.

Böyle bir hacmin iki tür hesaplaması vardır. Aşağıdaki örnek, bir diskin alanını hesaplamaya dayalı ilk türü göstermektedir.

Rhind Papyrus R41 Sorun İfadesi

"Çapı 9 ve yüksekliği 10 olan yuvarlak bir tavan arası hesaplama örneği. 9'un 1 / 9'unu çıkarın, yani 1. Kalan 8'i 8 ile 8'i çarpın. 64'ü 10'la çarpın. arşın ( ima edilen kübik arşın ). Yarısını buna ekle. Bu 960 yapar: khar cinsinden içerik. 960 veya 48'in 1 / 20'sini alın. Dörtlü tahıl yığınında 48 heqat verir. "

Hesaplama yöntemi :

	1	8
	2	16
	4	32
✔	8	64

	1	64
✔	10	640
✔	1/2	320

		960

✔	1/10	96
✔	1/20	48

Eşdeğer cebirsel formül bu nedenle d diskin çapı ve h ile silindirin yüksekliği olacaktır. ${\ displaystyle Volume_ {silindir-en-khar} = [(d- (1/9) * d) ^ {2}] * h * (3/2)}$

Papirüs Kahun arada, hediyeler ikinci yöntemini içeren bir hesaplama:

Kahun papirüsünün K4 probleminin hesaplanması

✔	1	12
	2/3	8
✔	1/3	4

		16

✔	1	16
✔	10	160
✔	5	80

		256

✔	1	256
	2	512
✔	4	1024
✔	1/3	85 1/3

		1365 1/3

İfadesi eksik olan bir silindiri hesaplama problemine cevap veren bu hesaplama, modern cebir diline çevrilebilir. Açıklama, yazıcıdan 12 arşın çapında ve 8 arşın yüksekliğinde yuvarlak bir tahıl ambarının hacmini khar cinsinden hesaplamasını istemekti.

Yazıcının muhakemesini şu formülün uygulanmasıyla tercüme edeceğiz: formül, bir diskin alanının hesaplanmasına dayalı olarak yukarıda belirtilene tamamen eşdeğerdir. ${\ displaystyle Volume_ {silindir-en-khar} = (2/3) * h * [d + (d / 3)] ^ {2}}$

Kesik bir piramidin hacmi

M14 Moskova papirüs sorunu , eski Mısırlıların karmaşık ve tamamen doğru hesaplama yöntemlerini icat etme ve kullanma konusundaki olağanüstü yeteneklerini ortaya çıkarması bakımından dikkat çekicidir.

Moskova papirüs M14 sorun bildirimi

"Kesik bir piramidi hesaplama yöntemi. Size söylersek: Tabanda yüksekliği 4'e, üstte 2'ye 6 olan bir piramit. 4'ün karesini hesaplayın. Sonuç 16'dır. 4'ün çiftini alın. Sonuç 8'dir. 2'nin karesini alın. Sonuç 4'tür. 16, 8 ve 4'ü toplamanız gerekir. Sonuç 28'dir. / 3 / 6. Geliyor 2. 2 kere 28 al. 56 geliyor. Sonuç 56. Doğru bulacaksın. "

Bu ifade aşağıdaki hesaplamayı açıklamaktadır:

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} 6 (4 ^ {2} +4 \ times 2 + 2 ^ {2})}

bunu tam olarak şu şekilde çevirebiliriz:

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} h (a ^ {2} + ab + b ^ {2}).}

kesik bir piramidin genel tam formülü.

Mısırlıların böylesine karmaşık bir yöntemi belirlemek için uyguladıkları yöntemler bizim için bilinmiyor. Babilliler yalnızca aşağıdaki formül ile ilişkili olabilir sonuca yaklaşık bir yaklaşım geldi:

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {2}} h (a ^ {2} + b ^ {2})}

Kesilmiş bir koninin hacmi

Bir Geç papirüs , ancak keşfedilen Mısır'da en Oxyrhynchus bir hacmi ile fırsatlar kesildi koni bir ile özdeşleşmiş clepsydra . Bu enstrümanın tarifi, Karnak'ın clepsydrasını çok yakından hatırlatır ve eski Mısırlıların bu tür hacimleri çok erken hesaplayabildiklerini gösterir.

Notlar ve referanslar

A. Buffum Chace, Rhind papirüs , pl. 73.
M. Clagett, Eski Mısır Bilimi , s. 70 .
Rossi 2007 , s. 64.
Rossi 2007 , s. 64-65.
S. Couchoud, Math. Mısırlı , s. 79 .
(in) Corinna Rossi , Eski Mısır'da Mimarlık ve Matematik , Cambridge University Press,2007( 1 st ed. 2003), 280 , s. ( ISBN 978-0-521-69053-9 ) , s. 218.
Rossi 2007 , s. 155.
Sayısal olarak: atan (2x143.87 / 215.16) = 53 ° 13 've atan (4/3) = 53 ° 07'48 ".
A. Buffum Chace, Rhind Papyrus , pl. 78
A. Buffum Chace, Rhind Papyrus , pl. 74
M. Clagett, Eski Mısır Bilimi , s. 69 .
A. Buffum Chace, Rhind Papyrus , pl. 72
S. Couchoud, Math. Mısırlı , s. 64-65 .
S. Couchoud, Math. Mısırlı , s. 66 .
K. Vogel, Vorgriechische Mathematik , s. 66 .
M. Guillemot, Hakkında… , s. 125-146 .
L. Borchardt, Altägyptische Werkzeichnung , pl. VI
S. Couchoud, Math. Mısırlı , s. 88-96 .
A. Buffum Chace, Rhind Papyrus ,, pl. 66
A. Buffum Chace, Rhind Papyrus , pl. 63
M. Clagett, Eski Mısır Bilimi , s. 82 .
S. Couchoud, Math. Mısırlı , s. 86-88 .

Kaynaklar

Arnold Buffum Chace , The Rhind Mathematical Papyrus: Seçilmiş Fotoğraflar, Çeviriler, Çevriyazımlar ve Edebi Çevirilerle Ücretsiz Çeviri ve Yorum , cilt. II , 1927-1929
Marianne Michel , Eski Mısır'ın Matematiği. Numerasyon, metroloji, aritmetik, geometri ve diğer problemler , Brüksel, Safran (baskılar) ,2014, 604 s. ( Mayıs ISBN 978-2-87457-040-7 ).
Sylvia Couchoud , Mısır Matematiği. Pharaonic Egypt'in matematiksel bilgisi üzerine araştırma , Le Léopard d'Or baskıları,1993
(tr) Marshall Clagett , Eski Mısır Bilimi, Bir Kaynak Kitap , cilt. 3: Eski Mısır Matematiği , Amerikan Felsefe Topluluğu,1999
Kurt Vogel , Vorgriechische Mathematik , cilt. ben
Michel Guillemot, " Mısır figür geometrisi hakkında ", Sciences et Technique en Perspective , cilt. 21,1992
Ludwig Borchardt , Altägyptische Werkzeichnung ,1896
Théophile Obenga , Mısır Geometrisi, eski Afrika'nın dünya matematiğine katkısı , Chez L'Harmattan,1995
Vasily Vasilievich Struve , Mathematischer Papyrus des Stastlichen Musuems der Scönen Künste, Moskau'da ,1930