In matematik , daha doğrusu içinde cebir , bir abelyan grup (adını Niels Abel ) veya değişmeli grup , bir olan grup olan iç hukuk kompozisyon olduğunu değişmeli . Değişmeli grubu bir şekilde tanımlanabilir, aksi görülen modülü ile değişmeli halka arasında ℤ ilgili tam sayı ; değişmeli grupların incelenmesi daha sonra belirli bir modül teorisi durumu olarak ortaya çıkar.
Biz basit ve açık bir şekilde sınıflandırmak bilen kadar sonlu Çeşidi değişmeli gruplar için isomorphism ve özellikle açıklamak için sonlu değişmeli gruplar .
Biz demek grup zaman, değişmeli, ya değişmeli iç kompozisyonun hukuk grubunun ise değişmeli zaman söylemek olduğunu,:
herkes içinBir değişmeli grubun yasası bazen ek olarak, yani + işareti ile not edilir. Bu kural kabul edildiğinde, nötr öğe 0 olarak gösterilir , grubun bir x öğesinin simetrisi - x olarak gösterilir ve herhangi bir göreceli tam sayı n için şunu belirtiriz:
Ek olarak gösterilen bir değişmeli grubun x elemanı ve n göreceli tamsayı için, grubun nx elemanının yukarısında tanımladık . Grubu bu şekilde bir görünür modülü üzerindeki halka tamsayılar ℤ. Tersine, herhangi bir ℤ-modülü bu şekilde elde edilir.
Bu süreç, değişmeli gruplar teorisini modüller teorisinin özel bir durumu olarak düşünmeyi mümkün kılar; ters yönde, değişmeli gruplar bağlamında belirtilen belirli sonuçlar, daha büyük modül sınıflarına, özellikle bir ana halka üzerindeki modül sınıfına genelleştirilebilir . Bu nedenle , sonlu tipte değişmeli grupların yapı teoreminin ispatının geri dönüşümü, herhangi bir ana halka üzerinde geçerli olan analog bir teoremi kanıtlamayı mümkün kılar, kendisi de diğer tüm sorulara uygulanabilir - özellikle matrislere yakın benzerlik ile sınıflandırma a'da katsayılarla değişmeli alan .
Serbest bir değişmeli gruba , bir ℤ modülü olarak özgür olan (ve bir grup olarak değil ), yani bir tabanı olan bir değişmeli grup diyoruz .
Gibi vektör uzayı , serbest değişmeli gruplar (sınıflandırılır isomorphism için , kendi sıraya göre) gibi tanımlanmıştır kardinal bir baz ve bir serbest değişmeli grubunun herhangi bir alt grubunun kendisi serbest değişmeli olan. Herhangi bir değişmeli grubu nedenle izomorf bölüm bir serbest değişmeli bir alt-grubu ile serbest değişmeli grubun.
Tanım gereği, sonlu bir üretici kısma sahip olan değişmeli gruplardır : dolayısıyla özellikle sonlu değişmeli gruplar ve bir Öklid uzayının ağları .
Sonlu çarpımlar, bölümler ve aynı zamanda sonlu tipin değişmeli gruplarının alt grupları sonlu tiptir. Sonlu tipte değişmeli grupların bir yapı teoremi, bu grupların tam listesini izomorfizme kadar netleştirmeyi mümkün kılar; özellikle sonlu tipteki herhangi bir değişmeli grubun döngüsel grupların sonlu bir çarpımı olduğunu gösterir . Özellikle, sonlu mertebeden elemanı olmayan (nötr hariç) sonlu tipte bir değişmeli grup değişmeli serbesttir.
Bir değişmeli grup G'nin herhangi bir tamsayı n > 0, G = nG olduğunda bölünebilir olduğu söylenir . Arketipleri, rasyonel sayıların toplamalı grubu ℚ ve p - Prüfer gruplarıdır . Bölünebilir değişmeli grupların bir yapı teoremi, herhangi bir bölünebilir grubun, bu modellerin kopyalarının doğrudan bir toplamı (sonlu veya sonsuz) olduğunu gösterir.
Kategori tüm abel grup bir prototipidir değişmeli kategori .
Wanda Szmielew (de) , bir öğrenci Tarski o 1955 yılında ortaya, birinci dereceden teorisi değişmeli grupların olduğunu Karar verilebilen (grupların birinci dereceden teorisi aksine).
(en) László Fuchs (en) , Abelian Groups , Pergamon Press ,1960, 3 e ed. ( 1 st ed. 1958) ( okundu çevrimiçi )