Grup morfizmi

Bir morfizmanın ait gruplar ya da grup homomorfizmasının olan tatbik saygı iki grup arasında bir yapı grubu.

Daha doğrusu, bu bir olan magmanın morfizmanın gruptan bir gruba , yani bir uygulama demek ki böyle (G,∗){\ displaystyle (G, *)}(G′,⋆){\ displaystyle (G ', \ yıldız)}f:G→G′{\ displaystyle f: G \ - G '}

∀x,y∈Gf(x∗y)=f(x)⋆f(y){\ displaystyle \ forall x, y \ in G \ quad f (x * y) = f (x) \ yıldız f (y)},

ve sonra bunu çıkarırız

• f ( e ) = e ' (burada e ve e' , G ve G ' ninilgili nötrlerini belirtir) ve
• ∀ x ∈ G f ( x −1 ) = [ f ( x )] −1 .

Gösteri

• e∗e=e{\ displaystyle e * e = e}bu nedenle  ; tarafından beste ters ait , biz olsun (diğer bir deyişle, bir grup morfizmanın tutar idempotence ve bir grubun doğal element olan tek İdempotent elementtir).f(e)⋆f(e)=f(e){\ Displaystyle f (e) \ yıldız f (e) = f (e)}f(e){\ displaystyle f (e)}f(e)=e′{\ displaystyle f (e) = e '}
• x∗x-1=x-1∗x=e{\ displaystyle x * x ^ {- 1} = x ^ {- 1} * x = e}bu nedenle  ; bu nedenle ve birbirlerinin tersidir.f(x)⋆f(x-1)=f(x-1)⋆f(x)=e′{\ displaystyle f (x) \ yıldız f (x ^ {- 1}) = f (x ^ {- 1}) \ yıldız f (x) = e '}f(x){\ displaystyle f (x)}f(x-1){\ displaystyle f (x ^ {- 1})}

Bu gösteriler daha genel bir bağlamda geçerlidir: bkz. § "  Monoidlerin Morfizmi  " ve " Bir elementin simetrisi "   , monoidler hakkındaki makalenin.

Kendi içindeki bir G grubunun morfizmine G'nin endomorfizmi denir .

Bir bijektif morfizm ise , bunun grupların bir izomorfizmi olduğunu söylüyoruz . Bu durumda, aynı zamanda grupların bir izomorfizmidir. Dahası , başka bir deyişle izomorfizm bir endomorfizm ise , bunun grubun bir otomorfizmi olduğunu söylüyoruz . f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}(G,∗)=(G′,⋆){\ displaystyle (G, *) = (G ', \ yıldız)}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}G{\ displaystyle G}

Bir grup morfizmi , grup yasasını taşır ve bu nedenle bu yasayla bağlantılı tüm özellikleri korur . Bu nedenle, grup teorisinin ana nesnelerinin morfizmlerin etkisi altında nasıl davrandığını incelemek ilginçtir .

Örnekler

• Sıfır morfizmanın gelen G için G ' olan sabit bir harita x ↦ e' .
• Karmaşık üstel fonksiyon doğrular:VS→VS∗,z↦ez{\ displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} ^ {*}, \, z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}ez+z′=ez×ez′.{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {z + z '} = \ mathrm {e} ^ {z} \ times \ mathrm {e} ^ {z'}.}Bu nedenle, (ℂ *, ×) içindeki (ℂ, +) gruplarının ve - kısıtlama ile - (ℝ + *, ×) içindeki (ℝ, +) gruplarının bir morfizmidir .

Alt gruplarla bağlantılar

Izin vermek bir grupların morfizmi olalım . Yani : f:G→G′{\ displaystyle f: G \ - G '}

• ters görüntüsü herhangi bir alt-grubu içinde bir alt grubudur , ve fazla ise olan , normal olarak daha sonra normal olan .f-1(H′){\ displaystyle f ^ {- 1} (H ')} H′{\ displaystyle H '}G′{\ displaystyle G '}G{\ displaystyle G}H′{\ displaystyle H '}G′{\ displaystyle G '}f-1(H′){\ displaystyle f ^ {- 1} (H ')}G{\ displaystyle G}
• doğrudan resim herhangi bir alt-grubu içinde bir alt grubudur , ve fazla ise normaldir sonra normal olan (bu nedenle de , eğer örten).f(H){\ displaystyle f (H)}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}f(H){\ displaystyle f (H)}f(G){\ displaystyle f (G)}G′{\ displaystyle G '}f{\ displaystyle f}

Çekirdek ve görüntü

Herhangi bir uygulamaya gelince , bir grup morfizminin görüntüsü şu şekilde tanımlanır: f:G→G′{\ displaystyle f: G \ - G '}

ben⁡(f)=f(G),{\ displaystyle \ operatöradı {im} (f) = f (G),}

ve bir surjective imajını eşittir ancak ve ancak . f{\ displaystyle f}G′{\ displaystyle G '}

Çekirdek ( Kern Almanca, çekirdek İngilizce) Morfizm daha özeldir. Morfizmin çekirdeğine küme diyoruzf{\ displaystyle f}

ker⁡(f)=f-1({e′}),{\ displaystyle \ ker (f) = f ^ {- 1} (\ {e '\}),}

ve olduğu injektif ve sadece çekirdek indirgenir eğer . f{\ displaystyle f}{e}{\ displaystyle \ {e \}}

Önceki §'ye göre , herhangi bir morfizm için , bir alt grubudur ve normal bir alt grubudur . Ayrıca, eğer S a, oluşturan parça arasında G , ardından f ( S ) im (bir üretim parçası f ). f:G→G′{\ displaystyle f: G \ - G '}ben⁡(f){\ displaystyle \ operatöradı {im} (f)}G′{\ displaystyle G '}ker⁡(f){\ displaystyle \ ker (f)}G{\ displaystyle G}

Grupların izomorfizmleri

Bir izomorfizm grubu , bir grup morfizmi, önyargılıdır .

Grubundan bir izomorfizm olduğunda grup , kendi karşılıklı bijection grubundan bir izomorfizm olan grubuna  ; daha sonra iki grubun izomorfik olduğunu söyleriz ki bunu not ederiz . G{\ displaystyle G}G′{\ displaystyle G '}G′{\ displaystyle G '}G{\ displaystyle G}G≃G′{\ displaystyle G \ simeq G '}

Grup otomorfizmleri

Bir grup otomorfizmi , hem grupların bir izomorfizmi hem de bir grup endomorfizmi olan bir morfizmdir.

G grubunun otomorfizm seti genellikle Aut ( G ) olarak gösterilir . Bu bir alt grup arasında gelen bijections grubundan G için G (yasasına verilen bileşim ).

İzomorfizm teoremleri

Aşağıdaki üç izomorfizm teoremi, gruplar dışındaki yapılara genelleştirilebilir. Özellikle bkz. Evrensel Cebir # Bölüm ve izomorfi teoremlerine geçiş .

İlk izomorfizm teoremi

f{\ displaystyle f}bir izomorfizm indükleyen bölüm grubu için .G/ker⁡f{\ displaystyle G / \ ker f \,}f(G){\ displaystyle f (G) \,}

Bu temel teoremden diğer iki izomorfizm teoremi çıkardık.

İkinci izomorfizm teoremi

N, G'nin normal bir alt grubuysa ve H, G'nin bir alt grubuysa, bu durumda H'nin normal bir alt grubudur ve aşağıdaki izomorfizme sahibiz: H∩DEĞİL{\ displaystyle H \ cap N}

H/(H∩DEĞİL)≃DEĞİLH/DEĞİL.{\ displaystyle H / (H \ cap N) \ simeq NH / N.}

Üçüncü izomorfizm teoremi

İstiyorsunuz N ve M , normal iki alt grup G şekilde M dahildir N . O zaman N / M , G / M'nin normal bir alt grubudur ve aşağıdaki izomorfizme sahibiz:

(G/M)/(DEĞİL/M)≃G/DEĞİL.{\ displaystyle (G / M) / (N / M) \ simeq G / N.}

Not

1. Bir gösteri için, örneğin Wikiversity'deki gruplarla ilgili kursun § "Homomorfizmler" bölümüne bakın . Normal alt gruplardaki tamamlayıcılar için, bkz. Normal alt grup # Grup morfizmleri ile bağlantı .

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• İç otomorfizm
• Grup kategorisi
• Homomorfik şifreleme

Kaynakça

• Josette Calais, Grup teorisinin unsurları , Paris, PUF , 1984.
• Bernard Charles ve Denis Allouch, General Algebra , Paris, PUF, 1984.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">