Boole eşitsizliği
In olasılık teorisi , Boole eşitsizliği herhangi devletler olduğunu, sonlu veya sayılabilir ailesinin ait olayların , olayların en az biri oluşur olasılık ya da ayrı ayrı alınan olayların olasılıklarının toplamına eşit az olduğunu. Daha resmi,
Boole eşitsizliği - A 1 , A 2 , A 3 ,… en sayılabilir olay ailesi için , bizde:
P(⋃değilATdeğil)≤∑değilP(ATdeğil).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ sağ) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} \ sol (A_ {n} \ sağ).}
Gösteri
İlk olarak, sonlu bir olaylar ailesi durumunu tümevarım yoluyla ele alıyoruz .
(AT1,...,ATm){\ displaystyle (A_ {1}, \ noktalar, A_ {m})}
Bu, bunu kanıtlamak içindir .
P(AT1∪⋯∪ATm)≤P(AT1)+⋯+P(ATm){\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m} \ sağ) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m})}
Eşitsizlik sıralamada doğrudur . Bunun bir satırda doğru olduğunu varsayıyoruz ve bir olaylar ailesi olarak düşünüyoruz .
m=1{\ displaystyle m = 1}
m{\ displaystyle m}
(AT1,...,ATm+1){\ displaystyle (A_ {1}, \ noktalar, A_ {m + 1})}
m+1{\ displaystyle m + 1}
Ya : (tümevarım hipotezi).
E=AT1∪⋯∪ATm{\ displaystyle E = A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m}}
P(E)≤P(AT1)+⋯+P(ATm){\ displaystyle \ mathbb {P} (E) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m})}
Sonra: ,
P(AT1∪⋯∪ATm+1)=P(E∪ATm+1)=P(E)+P(ATm+1)-P(E∩ATm+1){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m + 1}) = \ mathbb {P} (E \ cup A_ {m + 1}) = \ mathbb {P} ( E) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1}) - \ mathbb {P} (E \ cap A_ {m + 1})}
burada: .
P(AT1∪⋯∪ATm+1)≤P(E)+P(ATm+1)≤P(AT1)+⋯+P(ATm)+P(ATm+1){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m + 1}) \ leq \ mathbb {P} (E) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m}) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1})}
Şimdi sayılabilir olaylar dizisi ile ilgileniyoruz .
(ATdeğil)değil≥1{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 1}}
Kesin olarak pozitif herhangi bir tam sayı için , yani ; sonra .
değil{\ displaystyle n}
Edeğil=AT1∪⋯∪ATdeğil{\ displaystyle E_ {n} = A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n}}
P(Edeğil)≤∑k=1değilP(ATk){\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {n}) \ leq \ toplamı _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {k})}
Boole eşitsizliği bunu sınıra geçerek takip eder ; aslında, ve herkes için , bu yüzden .
değil{\ displaystyle n}⋃değil≥1Edeğil=⋃değil≥1ATdeğil{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} E_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n}}
değil{\ displaystyle n}Edeğil⊂Edeğil+1{\ displaystyle E_ {n} \ alt küme E_ {n + 1}}
limP(Edeğil)=P(⋃değil≥1ATdeğil){\ displaystyle \ lim \ mathbb {P} (E_ {n}) = \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ sağ)}
- Başka bir yöntem (hem sonlu durumla hem de sayılabilir durumla ilgilenir).
Biz set ve her şey , .
AT1′=AT1{\ displaystyle \ A '_ {1} = A_ {1}}
değil≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
ATdeğil′=ATdeğil∖(AT1∪⋯∪ATdeğil-1){\ displaystyle A '_ {n} = A_ {n} \ setminus (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n-1})}
Yani , olaylar ikişer ikişer uyumsuzdur;
ayrıca, her şey için , bu nedenle (büyümesi ).
⋃değilATdeğil=⋃değilATdeğil′{\ displaystyle \ bigcup _ {n} A_ {n} = \ bigcup _ {n} A '_ {n}}
AT1′,AT2′,...{\ displaystyle A '_ {1}, A' _ {2}, \ noktalar}
değil,ATdeğil′⊂ATdeğil{\ displaystyle n, A '_ {n} \ alt küme A_ {n}}
P(ATdeğil′)≤P(ATdeğil){\ displaystyle \ mathbb {P} (A '_ {n}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {n})}
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
Bütün Buradan, aşağıdaki gibidir: .
P(⋃değilATdeğil)=P(⋃değilATdeğil′)=∑değilP(ATdeğil′)≤∑değilP(ATdeğil){\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ sağ) = \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {n} A '_ {n} \ sağ) = \ toplam _ {n} \ mathbb {P} (A '_ {n}) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n})}
Ölçü teorisi açısından , Boole eşitsizliği, bir olasılık ölçüsünün σ-alt eklemeli (herhangi bir ölçü gibi) olduğu gerçeğini ifade eder .
Sonuç - Neredeyse belirli olayların sonlu veya sayılabilir bir ailesinin kesişimi , B 1 , B 2 , B 3 ,…, neredeyse kesindir (Boole eşitsizliğini B n'nin tamamlayıcılarına uygulamak yeterlidir ).
Bonferroni eşitsizlikleri
Eşitsizlik Bonferroni nedeniyle, Carlo Emilio Bonferroni , yaygın eşitsizlik Boole. Sonlu olay birlikleri olasılığının üst ve alt sınırlarını sağlarlar .
Bonferroni eşitsizlikleri - Şimdi belirleyelim:
S1: =∑ben=1değilP(ATben),{\ displaystyle S_ {1}: = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {i}),}
S2: =∑ben<jP(ATben∩ATj),{\ displaystyle S_ {2}: = \ toplam _ {i <j} \ mathbb {P} (A_ {i} \ cap A_ {j}),}
ve 2 < k ≤ n için ,
Sk: =∑P(ATben1∩⋯∩ATbenk),{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum \ mathbb {P} (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}}),}
burada toplam, 1 ile n arasındaki tamsayıların kesin olarak artan tüm k - demetleri üzerinden gerçekleştirilir .
O halde 1 ≤ k ≤ n olacak şekilde herhangi bir tek tamsayı k için
P(⋃ben=1değilATben)≤∑j=1k(-1)j+1Sj,{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ sağ) \ leq \ toplamı _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ { j + 1} S_ {j},}
ve herhangi bir hatta tam sayı k şekilde 2 ≤ k ≤ n
P(⋃ben=1değilATben)≥∑j=1k(-1)j+1Sj.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ sağ) \ geq \ toplamı _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ { j + 1} S_ {j}.}
Boole eşitsizliğini k = 1 için buluyoruz .
Referanslar
Bu makale , kendisi GFDL altında bulunan bir PlanetMath makalesinden alınan İngilizce Wikipedia makalesinin çevirisine dayanmaktadır .
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">