Çarpışma integralleri
Çarpışma integralleri gaz taşıma özelliklerinin hesaplanması katılan miktarlarda (difüzyon katsayısı, viskozite, iletkenlik) ve parçacıklar arasındaki etkileşim potansiyeli tarafından tarif edilen mikroskobik düzeyde o bağlantı vardır.
İki parçacığın elastik çarpışması
Etkileşime girmeden önce hızları h i ve h j a referans Galilean çerçevesi . Endeksler kayıtsız olarak aynı türü veya iki farklı türü temsil eder. Bu hızlar etkileşimden sonra v i ' ve v j ' değerindedir . Momentumun korunmasından dolayı sabit bir hıza sahip olan sınır merkezini merkez alan bir sisteme yerleştiriyoruz kendimizi . Dolayısıyla Galilean olan bu sistemde j parçacığının başlangıç hızı göreceli hızdır g ij = v i - v j. Simetri ile yörüngenin orijini ve g ij'yi içeren düzlemde yer alacağını söyleyebiliriz . (Şekle bakın) gibi bir referans seçiyoruz . Bu referans çerçevede, sapma θ etki parametresi bir fonksiyonu, b nispi hızı, g ij ve sadece iki etkileşim parçacıklar arasındaki mesafeye bağlıdır varsayılır etkileşim potansiyeli. Bu varsayım, iki atom arasındaki etkileşim için titizse, iki molekül için kullanılabilir olduğu düşünülebilir: bu durumda potansiyel, istatistiksel bir ortalama potansiyeldir.
Ω=gbenj||gbenj||=[1,0,0]{\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = {\ frac {\ mathbf {g} _ {ij}} {|| \ mathbf {g} _ {ij} ||}} = [1,0,0]}
Etkileşim çıktısının yönü ile tanımlanır . Nihai hızlar aşağıdaki hususlara göre hesaplanabilir:
Ω′=g′benj||g′benj||{\ displaystyle \ mathbf {\ Omega '} = {\ frac {\ mathbf {g'} _ {ij}} {|| \ mathbf {g '} _ {ij} ||}}}
- etkileşimde momentumun korunumu şunları içerir:
vben′+vj′=vben+vj{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} '+ \ mathbf {v} _ {j}' = \ mathbf {v} _ {i} + \ mathbf {v} _ {j}}- bağıl hız g ij , enerjinin korunumu nedeniyle sabit bir modüle sahiptir, bu nedenle g ij ' = g ij veya
|vben′-vj′|=|vben-vj|{\ displaystyle | \ mathbf {v} _ {i} '- \ mathbf {v} _ {j}' | = | \ mathbf {v} _ {i} - \ mathbf {v} _ {j} |}Etkileşimden sonraki hızlar bu nedenle
vben′(b,g)=vben-(gbenj⋅Ω′)Ω′{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} '(b, g) = \ mathbf {v} _ {i} - (\ mathbf {g_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ Omega'}) \, \ mathbf {\ Omega '}}
vj′(b,g)=vj+(gbenj⋅Ω′)Ω′{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {j} '(b, g) = \ mathbf {v} _ {j} + (\ mathbf {g_ {ij}} \ cdot \ mathbf {\ Omega'}) \, \ mathbf {\ Omega '}}
Dahası, etkileşim sırasında açısal momentumun korunumu b '= b'ye yol açar .
Çarpışmayı tanımlayan sistem tersine çevrilebilir. Liouville teoremi yazma sağlar
dvben′dvj′=dvbendvj{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i} '\ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {j}' = \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i} \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {j}}
Çarpışma integralinin tanımı
Chapman-Enskog yöntem bulmak için bir gaz halinde, mümkün kılar Navier Stokes denklemlerinin , bir sırası bir çözüm olarak asimptotik genişleme bölgesinin Boltzmann denklemine . Görünen miktarlar, parçacık çiftlerinin ( i , j ) çarpışmalarına bağlı aşağıdaki integralleri içerir .
Λbenjl,s=2πkTmbenj∫0∞∫0∞e-γbenj2γbenj2s+3(1-çünkülθ)bdbdγbenj,θ=θ(b,gbenj){\ displaystyle \ Lambda _ {ij} ^ {l, s} = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi kT} {m_ {ij}}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ gamma _ {ij} ^ {2}} \, \ gamma _ {ij} ^ {2s + 3} \ left (1- \ cos ^ { l} \ theta \ right) b \, \ mathrm {d} b \, \ mathrm {d} \ gamma _ {ij} \ ,, \ quad \ theta = \ theta \ left (b, g_ {ij} \ sağ )}veya
mbenj=(mben-1+mj-1)-1{\ displaystyle m_ {ij} = \ sol (m_ {i} ^ {- 1} + m_ {j} ^ {- 1} \ sağ) ^ {- 1}} |
indirgenmiş kütle
|
γbenj=mbenjkTgbenj2{\ displaystyle \ gamma _ {ij} = {\ sqrt {\ frac {m_ {ij}} {kT}}} {\ frac {g_ {ij}} {2}}} |
düşürülmüş bağıl hızdır.
|
Devir olduğu varsayılan seçilen potansiyel V ( r ) için minimum yaklaşma mesafesi (en azından ortalama olarak tüm çarpışmalarda):
rm=b(1-V(r)12mbenjgbenj2)-12{\ displaystyle r_ {m} = b \ sol (1 - {\ frac {V (r)} {{\ frac {1} {2}} m_ {ij} g_ {ij} ^ {2}}} \ sağ ) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}Sapma açısı şu şekilde verilir:
θ=π-2∫rm∞(1rm2-1r2)-12drr2{\ displaystyle \ theta = \ pi -2 \ int _ {r_ {m}} ^ {\ infty} \ sol ({\ frac {1} {r_ {m} ^ {2}}} - {\ frac {1 } {r ^ {2}}} \ sağ) ^ {- {\ frac {1} {2}}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {r ^ {2}}}}Hesaplama, σ ij çaplı potansiyel sert küreler için analitiktir :
[Λbenjl,s]SD=kT2πmbenj(s+1)!2[1-1+(-1)l2(1+l)]πσbenj2{\ displaystyle \ sol [\ Lambda _ {ij} ^ {l, s} \ sağ] _ {SD} = {\ sqrt {\ frac {kT} {2 \ pi m_ {ij}}}} {\ frac { (s + 1)!} {2}} \ sol [1 - {\ frac {1 + (- 1) ^ {l}} {2 (1 + l)}} \ sağ] \ pi \ sigma _ {ij } ^ {2}}Genel durumda, örneğin basitliği ve gerçekçiliği nedeniyle geçmişte yaygın olarak kullanılan bir Lennard-Jones potansiyeli ile , indirgenmiş çarpışma integrallerini tanımlarız:
Λ¯ben,j=Λben,j[Λbenjl,s]SD{\ displaystyle {\ overline {\ Lambda}} ^ {i, j} = {\ frac {\ Lambda ^ {i, j}} {\ sol [\ Lambda _ {ij} ^ {l, s} \ sağ] _ {SD}}}}Yapım gereği, bu integrallerin değeri birliğe yakındır. Çeşitli potansiyeller için tablolaştırılmıştır.
Taşıma özellikleri
L ve s miktarları, oluştukları taşıma katsayılarının ifadeleriyle ilgilidir.
Emlak |
çarpışma (i, i) |
çarpışma (i, j ≠ i)
|
---|
viskozite |
Λ2,2{\ displaystyle \ Lambda ^ {2,2}} |
Λ2,2{\ displaystyle \ Lambda ^ {2,2}}, Λ1,1{\ displaystyle \ Lambda ^ {1,1}}
|
iletkenlik |
Λ2,2{\ displaystyle \ Lambda ^ {2,2}} |
Λ2,2,Λ1,s,s=1,2,3{\ displaystyle \ Lambda ^ {2,2} \ ,, \ Lambda ^ {1, s}, s = 1,2,3}
|
yayılma |
Λ1,1{\ displaystyle \ Lambda ^ {1,1}} |
Λ1,1{\ displaystyle \ Lambda ^ {1,1}}
|
termal difüzyon |
--- |
Λ2,2,Λ1,s,s=1,2,3{\ displaystyle \ Lambda ^ {2,2} \ ,, \ Lambda ^ {1, s}, s = 1,2,3}
|
Böylece homojen bir gaz elde ederiz:
- kendi kendine difüzyon katsayısı |
D=1ρ38πmkTΛ¯1,1{\ displaystyle {\ mathcal {D}} = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {3} {8}} {\ frac {\ sqrt {\ pi mkT}} {{\ overline {\ Lambda}} ^ {1,1}}}}
|
- dinamik viskozite
|
μ=516πmkTΛ¯2,2{\ displaystyle \ mu = {\ frac {5} {16}} {\ frac {\ sqrt {\ pi mkT}} {{\ overline {\ Lambda}} ^ {2,2}}}}
|
- termal iletkenlik
|
λ=52VSVμ=2532VSVπmkTΛ¯2,2{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {5} {2}} C_ {V} \ mu = {\ frac {25} {32}} {\ frac {C_ {V} {\ sqrt {\ pi mkT}} } {{\ overline {\ Lambda}} ^ {2,2}}}}
|
İlgili Makaleler
Referanslar
-
(in) Sydney Chapman ve Thomas George Cowling , The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases: a view of viskozite, termal iletim ve gazlarda difüzyon , Cambridge / New York / Port Chester vb. Cambridge University Press ,1991, 422 s. ( ISBN 0-521-40844-X )
-
(en) Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss ve Robert Byron Bird , Moleküler Gaz ve Sıvı Teorisi , John Wiley and Sons ,1966( ISBN 978-0-471-40065-3 )
-
(in) Gilberto Medeiros Kremer , " The Methods of Chapman-Enskog and Grad and Applications " , RTO-EN-AVT 194 , 2011 [1]
-
Raymond Brun , Reaktif gazların dinamiklerine giriş , Toulouse, Cépaduès ,2015, 402 s. ( ISBN 978-2-36493-190-9 )
-
(inç) Max Klein ve Francis J. Smith, " 10 m Değerler için (m, 6) Potansiyel Fonksiyon için Çarpışma İntegrallerinin Tabloları " , Ulusal Standartlar Bürosu Araştırma Dergisi. A. Fizik ve Kimya , cilt. 71A, n, o , 4,1968( çevrimiçi okuyun )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">