Doğrusal enterpolasyon

Doğrusal interpolasyon sürekli bir fonksiyon tarafından kabul değerinin tahmin edilmesi için en basit yöntemdir arasında iki sabit nokta ( interpolasyon ). Bunun için kullanılmasını içerir olduğu afin fonksiyonu (formu f ( x ) = mx + b , iki belirlenmiş noktalardan geçen). Bu teknik, aşkın fonksiyonlarla hesaplama için yalnızca sayısal tablolar mevcut olduğunda sistematik olarak kullanıldı : tablolar, bu amaç için hesaplama için kullanılan bir hesaplama yardımcısı olan "tablo farklılıkları" marjına da dahil edildi Doğrusal enterpolasyon.

Son olarak, doğrusal enterpolasyon, yamuk yöntemini kullanan dijital kareleme tekniğinin temelidir .

Prensip

Bir fonksiyon tarafından alınan değerleri iki noktada bildiğimizi ve : $f$ $x_ {a}$ $x_ {b}$

$f (x_ {a}) = y_ {a}$ ve
$f (x_ {b}) = y_ {b}$ .

Yöntem fonksiyonu yaklaşan oluşur tarafından afin fonksiyonu şekilde ve ; bu fonksiyon denklem için vardır (üç eşdeğer formülasyon): $f$ ${\ bar {f}}$ ${\ bar {f}} (x_ {a}) = y_ {a}$ ${\ bar {f}} (x_ {b}) = y_ {b}$

{\ displaystyle {\ bar {f}} (x) = {\ frac {y_ {a} -y_ {b}} {x_ {a} -x_ {b}}} x + {\ frac {x_ {a} \ cdot y_ {b} -x_ {b} \ cdot y_ {a}} {x_ {a} -x_ {b}}}}

ayrıca yazabileceğimizi ( birinci sıradaki Taylor-Young formülü ):

{\ displaystyle {\ bar {f}} (x) = y_ {a} + (x-x_ {a}) {\ frac {y_ {b} -y_ {a}} {x_ {b} -x_ {a }}}}

veya:

{\ bar {f}} (x) = {\ frac {x_ {b} -x} {x_ {b} -x_ {a}}} y_ {a} + {\ frac {x-x_ {a}} {x_ {b} -x_ {a}}} y_ {b}

Bu son formül, ağırlıklı ortalamaya karşılık gelir.

Örnekler

Bilinmeyen bir işlevin enterpolasyonu

Örneğin, f (2) = 0.9093 ve f (3) = 0.1411 değerlerini bildiğimiz halde f (2.5) ' i belirlemek istersek , bu yöntem 2.5 olduğunu bilerek iki değerin ortalamasını almaktan oluşur. iki noktanın orta noktası. Bu nedenle elde ederiz . ${\ displaystyle f (2 {,} 5) \ yaklaşık {\ frac {0 {,} 9093 + 0 {,} 1411} {2}} = 0 {,} 5252}$

Bilinen bir işlevin enterpolasyonu

Ya $günahı$ hesaplamak için $(0.71284)$ . Masalar Laborde Vermek:

$x$	$günah x$	Δ ( tablo farkı )
0.712	0,653 349 2
		756 7
0.713	0.654 105 9
		756 1
0.714	0,654 862 0

Bu durumda :

{\ displaystyle x_ {a} = 0 {,} 712}

ve çünkü 0.712 <0.71284 <0.713;

{\ displaystyle x_ {b} = 0 {,} 713}

{\ displaystyle y_ {a} = 0 {,} 6533492}

;

{\ displaystyle y_ {b} -y_ {a} = \ Delta = 7567 \ times 10 ^ {- 4}}

ve nihayet .

{\ displaystyle x-x_ {a} = 0 {,} 71284-0 {,} 712 = 84 \ times 10 ^ {- 5}}

Bu yüzden vardır: . ${\ displaystyle \ sin 0 {,} 71284 \ yaklaşık 0 {,} 6533492 + {\ frac {7567 \ times 10 ^ {- 4} \ times 84 \ times 10 ^ {- 5}} {10 ^ {- 3} }} = 0 {,} 6539848}$

Uygulamada hesaplamalar şu şekilde yapılır:

günah 0.712	≈	0,653 349 2
Δ ×. . . . 84	→	. . . . . 635 628
günah 0.712 84	≈	0,653 984 8

Tabloların üreticisi bunu yaparak mutlak hatanın 2 × 10 -7'den az olduğunu açıklıyor . Aynı yöntem açıklanmıştır logaritma tabloları arasında Bouvart ve Ratinet .

Hassas

Bu yöntem hızlı ve kolaydır, ancak doğruluğu büyük ölçüde sapmaya bağlıdır . ${\ displaystyle | x_ {b} -x_ {a} |}$

Diferansiyel ve integral hesabı kötü durum interpolasyon hatasını hesaplamak için, belli varsayımlara mümkün, konuyu kılar. Özellikle, enterpolasyon yapmak istediğimiz f fonksiyonu iki kez sürekli türevlenebilirse ve bu durumda enterpolasyon hatası şu şekilde verilir: ${\ displaystyle x \ in [x_ {a}, x_ {b}]}$

{\ displaystyle | f (x) - {\ çubuğu {f}} (x) | \ leq C (x_ {b} -x_ {a}) ^ {2}}

nerede .

{\ displaystyle C = {\ frac {1} {8}} \ max _ {y \ in [x_ {a}, x_ {b}]} | f '' (y) |}

Başka bir deyişle, hatanın üst sınırı, düğümler arasındaki mesafenin karesiyle orantılıdır. Diğer enterpolasyon yöntemleri, üç veya daha fazla noktadan (iki yerine) destek alarak, enterpolasyon hatasında bir azalma ummaya izin verir: örneğin, Newton'un bölünmüş farkları yöntemi veya l ' polinom enterpolasyonu . Bununla birlikte, bazı durumlar, nokta sayısı arttığında enterpolasyon hatasının patladığı Runge fenomenine duyarlıdır .

Doğrusal enterpolasyon, bir denklemin sıfırlarını ( yanlış konum yöntemi ) veya integrallerin sayısal hesaplamasını ( yamuk yöntemi ) bulmak için kullanılabilir.

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

Kaynakça

Jean Laborde ( Jean Kuntzmann'ın tercihi ), Temel fonksiyonların sayısal tabloları , ed. Dunod , 1961 (kamış 1968, 1976) - 149 sayfa
André Delachet , Les logarithmes , PuF , kolaj . " Ne biliyorum? ",1960( yeniden baskı 1964, 1968, 1972, 1977), 128 s. , "Logaritmik hesap", s. 47-80